線性規(guī)劃折射出的數(shù)學(xué)建模思想

葉啟海

中共中央國(guó)務(wù)院在《深化教育改革，全面推進(jìn)素質(zhì)教育》中指出：實(shí)施素質(zhì)教育，就是全面貫徹黨的教育方針，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)在培養(yǎng)學(xué)生的素質(zhì)上狠下工夫。數(shù)學(xué)素質(zhì)一般包括：數(shù)學(xué)意識(shí)、問(wèn)題解決、邏輯推理和信息交流四個(gè)方面。數(shù)學(xué)建模既有“數(shù)學(xué)意識(shí)”的因素，又是“問(wèn)題解決”的一部分，因此在中學(xué)實(shí)施“數(shù)學(xué)建?！钡慕虒W(xué)是增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要途徑之一。然而建模步驟不僅要求有相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還涉及許多非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)。求解過(guò)程除了數(shù)學(xué)和物理方法外，還常用到計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬、試算、檢驗(yàn)等。線性規(guī)劃問(wèn)題研究的是線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下取得最大值或最小值問(wèn)題，線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問(wèn)題中得到應(yīng)用：一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下如何使用它們完成最多的任務(wù)；二是如何合理安排和規(guī)劃能以最少的人力、物力、資金等資源完成該項(xiàng)任務(wù)。常見(jiàn)的線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題有物資調(diào)運(yùn)問(wèn)題，產(chǎn)品安排問(wèn)題，下料問(wèn)題，以及和相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的整合問(wèn)題。隨著強(qiáng)有力的算法和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展與應(yīng)用，線性規(guī)劃應(yīng)用已滲透到社會(huì)生活的各個(gè)層面，經(jīng)濟(jì)上能直接創(chuàng)造巨額財(cái)富，軍事上催生重大的戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)變革，甚至對(duì)人類文明的進(jìn)程產(chǎn)生直接影響。下面筆者通過(guò)對(duì)一個(gè)線性規(guī)劃應(yīng)用的分析，談?wù)勛约簩?duì)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的理解和嘗試。

一、相關(guān)定義

1.數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)際現(xiàn)象的過(guò)程。這里的實(shí)際現(xiàn)象既包含具體的自然現(xiàn)象比如自由落體現(xiàn)象，又含抽象的現(xiàn)象比如顧客對(duì)某種商品所取的價(jià)值傾向。這里的描述不但包括外在形態(tài)、內(nèi)在機(jī)制的描述，而且包括預(yù)測(cè)、試驗(yàn)和解釋實(shí)際現(xiàn)象等內(nèi)容。建模包括模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型求解、模型分析、模型檢驗(yàn)、模型應(yīng)用等方面。

2.數(shù)學(xué)建模過(guò)程框架

如圖1：

3.線性規(guī)劃的建模及其應(yīng)用

線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一種，線性規(guī)劃問(wèn)題研究的是線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下取得最大值或最小值問(wèn)題，運(yùn)用在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)中，解決運(yùn)輸調(diào)配、經(jīng)濟(jì)計(jì)劃、生產(chǎn)安排、產(chǎn)品用料配方等一類數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題。

二、線性規(guī)劃問(wèn)題建模舉例

中學(xué)階段涉及線性規(guī)劃的問(wèn)題基本都是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，例如實(shí)際生產(chǎn)中的運(yùn)輸問(wèn)題、計(jì)劃安排、合理配料等都可以借助線性規(guī)劃解決。下面我們就通過(guò)例題分析一下具體的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。

例：家具公司制作木質(zhì)的書(shū)桌和椅子，需要木工和漆工兩道工序。已知木工平均4h做一把椅子，8h做一張書(shū)桌；漆工平均2h漆一把椅子，lh漆一張書(shū)桌；該公司每周木工、漆工的最多工時(shí)分別有8000個(gè)和l300個(gè)。又已知制作一把椅子和一張書(shū)桌的利潤(rùn)分別是l5元和20元，怎樣安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤(rùn)？

本題具體過(guò)程如下：

（1）模型建立

所謂建立模型就是根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并用精確的語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具刻畫(huà)各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（盡量用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具）

本題是實(shí)際例子，說(shuō)的是家具公司制作書(shū)桌和椅子，我們需要先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。此題中我們假設(shè)每周生產(chǎn)x把椅子，y張書(shū)桌，總利潤(rùn)為z，則木工4h做一把椅子，8h做一張書(shū)桌最多工時(shí)有8000個(gè)，變?yōu)?x+8y≤8000，漆工2h漆一把椅子，1h漆一張書(shū)桌最多工時(shí)1300個(gè)，變?yōu)?x+y≤1300，同時(shí)x，y均為正數(shù)，制作一把椅子和一張書(shū)桌的利潤(rùn)分別是15元和20元，則總利潤(rùn)為z=15x+20y，由此得到以下數(shù)學(xué)模型：

4x+8y≤80002x+y≤1300x，y≥0

求目標(biāo)函數(shù)（利潤(rùn)）z=15x+20y在約束條件下的最大值，這樣就把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題了。

要點(diǎn)：實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問(wèn)題最關(guān)鍵就是要從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)，而不能被實(shí)際問(wèn)題這個(gè)表面現(xiàn)象所迷惑，特別需要注意的就是要能看出不等關(guān)系及隱含條件。

（2）模型求解

所謂模型解決就是利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對(duì)模型的所有參數(shù)做出計(jì)算（估計(jì)），說(shuō)白了就是解決剛才轉(zhuǎn)化來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。本題我們就選擇線性規(guī)劃解決，具體解法如下：

①作出可行域：?jiǎn)栴}的可行性解集是由約束條件所界定的四邊形區(qū)域OABC，見(jiàn)圖，它們的邊界分別為4x+8y=8000，x+y=1300，x=0和y=0，頂點(diǎn)坐標(biāo)分別A（0，1000），B（200，900），C（650，0）。

②確定平移直線，尋找非整最優(yōu)解：目標(biāo)函數(shù)的等值線為一組平行線z=15x+20y，它在頂點(diǎn)B（200，900）取得最大值（也可用窮舉法將O，A，B，C坐標(biāo)代入一一求值，選擇確定）z=15×200+20×900=21000，即安排生產(chǎn)200把椅子，900張書(shū)桌，可獲得最大利潤(rùn)21000元。

要點(diǎn)：此方法稱為平移交軌法，就是用直線平移求最值，屬于線性規(guī)劃。解題時(shí)需要先對(duì)目標(biāo)函數(shù)變形，變?yōu)樾苯厥剑簓=-0.75x+z/15，此時(shí)截距b=z/15，要求z的最大就是截距取最大，本題中就是B點(diǎn)。解題中還有許多問(wèn)題需要注意，如解答應(yīng)該考慮實(shí)際意義要照顧答案的取值范圍，有些還要考慮是否是整點(diǎn)問(wèn)題等。

（3）模型分析與檢驗(yàn)

所謂模型分析就是對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，則要對(duì)計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差，則應(yīng)該修改假設(shè)，再次重復(fù)建模過(guò)程。

本題回答如下：由計(jì)算結(jié)果可知安排生產(chǎn)200把椅子，900張書(shū)桌時(shí)可以獲得最大利潤(rùn)2100元。

要點(diǎn)：模型分析與檢驗(yàn)這一過(guò)程在實(shí)際運(yùn)用中是比較重要的，因?yàn)槲覀儨y(cè)算的數(shù)據(jù)存在誤差，同時(shí)可能計(jì)算方法的設(shè)計(jì)方面存在不完美的地方，從而會(huì)導(dǎo)致結(jié)果存在問(wèn)題，所以需要我們進(jìn)行檢測(cè)與分析并與實(shí)際對(duì)照。本例中木工做椅子書(shū)桌與漆工漆椅子書(shū)桌所花的時(shí)間，木工、漆工的最多工時(shí)，一把椅子和一張書(shū)桌的利潤(rùn)這些數(shù)據(jù)均是題目提供的，我們無(wú)法考證這些數(shù)據(jù)的真?zhèn)危薀o(wú)法進(jìn)行檢驗(yàn)，所以一般在中學(xué)教學(xué)中這一步就是一個(gè)回答的過(guò)程，通過(guò)回答把數(shù)學(xué)解答再返回實(shí)際，畢竟數(shù)學(xué)建模是用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的。

三、結(jié)語(yǔ)

到此為止我們的線性規(guī)劃問(wèn)題就解決了，通過(guò)解題過(guò)程我們給大家完整地展示了一下數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱指出：數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心。無(wú)論是數(shù)學(xué)研究，還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，其目的是將數(shù)學(xué)運(yùn)用于社會(huì)，服務(wù)于社會(huì)，而運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題是通過(guò)數(shù)學(xué)模型這座橋梁實(shí)現(xiàn)的。構(gòu)造模型是為了解決實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)用數(shù)學(xué)解決各類實(shí)際問(wèn)題時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時(shí)也是十分困難的一步。這就需要深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，敏銳的洞察力和想象力，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的濃厚興趣和廣博的知識(shí)面。數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題的橋梁，是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑，在科學(xué)技術(shù)發(fā)展中的重要作用越來(lái)越受到數(shù)學(xué)界和工程界的普遍重視，它已成為現(xiàn)代科技工作者必備的重要能力之一。然而我們對(duì)建模的探索和總結(jié)是無(wú)止境的，只有在建模實(shí)踐中不斷概括和總結(jié)成功經(jīng)驗(yàn)，才能形成和豐富指導(dǎo)建模的理論體系。因此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力的培養(yǎng)，加強(qiáng)建模的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生具有特別重要的意義，值得我們探究。

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