《用定積分計(jì)算平面圖形的面積》的教與學(xué)

鄭愛武

[摘 要]《用定積分計(jì)算平面圖形的面積》是一元微積分的重要內(nèi)容，本文對(duì)這一內(nèi)容的“教和學(xué)”進(jìn)行了詳細(xì)的分解，進(jìn)而通過講練結(jié)合，使學(xué)生能熟練應(yīng)用定積分計(jì)算各種平面圖形的面積。

[關(guān)鍵詞]定積分 曲邊梯形 平面圖形 積分變量

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2013）07-0041-02

一、教材的研究

（一）指導(dǎo)思想

“注重實(shí)踐，加強(qiáng)運(yùn)用，培養(yǎng)能力”。

（二）教材分析

本次課的內(nèi)容，選自21世紀(jì)高職高專規(guī)劃教材《高等數(shù)學(xué)》第五章第四節(jié)，運(yùn)用定積分計(jì)算平面圖形的面積。這是定積分在幾何上的一個(gè)應(yīng)用，在定積分這一章中處于比較重要的地位。

（三）教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)目標(biāo)：熟練應(yīng)用定積分計(jì)算平面圖形的面積；

2.能力目標(biāo)：通過講練結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決具體問題的能力；

3.思想目標(biāo)：通過學(xué)用結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際、求實(shí)求真的精神，激發(fā)學(xué)生的求知欲、用知欲。

（四）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵

1.教學(xué)重點(diǎn)是：用x為積分變量的定積分計(jì)算平面圖形的面積。

2.教學(xué)難點(diǎn)是：用y為積分變量的定積分計(jì)算平面圖形的面積。

3.教學(xué)關(guān)鍵是：正確選擇積分變量，寫出所求面積的積分表達(dá)式。

二、教法和學(xué)法的研究

本次課主要采用講、練結(jié)合的方法，兼顧使用觀察 、啟發(fā)、分析等多種教學(xué)方法，讓學(xué)生深刻理解并掌握本次課的內(nèi)容，體現(xiàn)老師的主導(dǎo)性。同時(shí)，在教學(xué)中讓學(xué)生多想多練，在練習(xí)中體會(huì)定積分求面積的要領(lǐng)，提高用定積分計(jì)算面積的熟練程度，發(fā)揮學(xué)生的主體作用。

三、教學(xué)過程

引入新課： 首先，引導(dǎo)學(xué)生回憶定積分概念的來源，結(jié)合定積分的幾何意義，引入新課“用定積分計(jì)算平面圖形的面積”。

新課分三部分講授：

第一部分，講解底邊在x軸上的曲邊梯形面積的計(jì)算方法。根據(jù)定積分的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生分析曲邊梯形分別位于x軸上方、下方時(shí)其面積與定積分的關(guān)系，總結(jié)出以x為積分變量的曲邊梯形面積的計(jì)算公式。

由曲線、直線及x軸所圍成的曲邊梯形為平面圖形的基本圖形，根據(jù)定積分的幾何意義：

第二部分，講解底邊在y軸上的曲邊梯形面積的計(jì)算方法。學(xué)生習(xí)慣以x為積分變量的定積分計(jì)算問題，而以y為積分變量的類型，在心理上，視覺上開始會(huì)不習(xí)慣，不太適應(yīng)，有一定難度。為了突破這個(gè)難點(diǎn)，我引導(dǎo)學(xué)生回憶用“分割—近似—求和—取極限”的方法求曲邊梯形面積的過程，并提問學(xué)生：“如果曲邊梯形的底邊在y軸上，其面積值如何求？對(duì)應(yīng)的積分表達(dá)式如何書寫？”難點(diǎn)在學(xué)生思考回答老師問題的過程中迎刃而解，不攻自破。同學(xué)們很自然就能總結(jié)出以y為積分變量的曲邊梯形面積的計(jì)算公式。

第三部分，講解非曲邊梯形面積的計(jì)算方法。所謂非曲邊梯形，就是由幾條已知曲線所圍成的平面幾何圖形。這類圖形可以處理成以x軸為底邊的幾個(gè)曲邊梯形面積的代數(shù)和，也可以處理成以y軸為底邊的幾個(gè)曲邊梯形面積的代數(shù)和。

四、例題講解

評(píng)講：從這個(gè)例題可以看到，用定積分計(jì)算曲邊梯形的面積與單純的定積分運(yùn)算是兩個(gè)不同的問題，不能混為一談。通過這個(gè)例題，要加深學(xué)生對(duì)定積分計(jì)算曲邊梯形的面積的印象，并使學(xué)生了解到數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用與單純的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)算并不是一回事，不能相提并論，等同視之。

[例2]求由曲線y=x2及直線y=x所圍成的平面圖形的面積。

[例3]求拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成平面圖形的面積。

解：先求出曲線與直線的交點(diǎn)，即解方程組：

再畫出圖形。如圖5-16所示：

此題是將樹葉的面積計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算問題，使學(xué)生解了利用定積分解決實(shí)際問題的特點(diǎn)，培養(yǎng)了學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。

講完例題之后，要求學(xué)生根據(jù)所講內(nèi)容和例題，分析總結(jié)定積分計(jì)算平面面積的特點(diǎn)，在學(xué)生自己歸納總結(jié)的基礎(chǔ)上小結(jié)定積分計(jì)算平面面積的步驟：

（1）要畫出圖形，求出曲線的交點(diǎn)；

（2）選擇積分變量，確定積分區(qū)間；

（3）寫出面積公式求出平面圖形的面積。

[責(zé)任編輯：林志恒]