“說數(shù)學”運用于高三復習課的案例分析

許娜

“說數(shù)學”是指教師在課堂上創(chuàng)設機會讓學生介紹解題思路、總結解題經(jīng)驗，鼓勵學生發(fā)表自己對數(shù)學問題的不同見解.“說數(shù)學”是數(shù)學交流的重要形式之一，它包含“說知識”“說過程”“說異見”和“說體會”四個環(huán)節(jié).本文以《等差數(shù)列復習》一課為例，淺析“說數(shù)學”理念在復習課的重要意義.

課堂教學過程簡述

《等差數(shù)列復習》這一課的內容安排：①知識梳理，包括等差數(shù)列的定義，通項公式，前n項和公式，簡單的性質等；②基礎訓練，主要是關于a1，d，n，an，sn的計算問題，目的是熟悉公式，體會方程思想的應用以及訓練計算速度；③題型示例，設計以下兩個例題：

例1：已知an是等差數(shù)列，其中a1=31，公差d=-8.（1）求數(shù)列an的通項公式，并作出它的圖像；（2）數(shù)列an從哪一項開始小于0？（3）求數(shù)列an前n項和的最大值，并求出對應n的值.

本例題的設計意圖是讓學生從解析式的形式和圖像兩方面體會數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，使學生理解數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，學會用函數(shù)的思想解決數(shù)列問題.

例2：已知等差數(shù)列an的前n項和記為Sn，公差d>0，且滿足a2a3=45，a1+a4=14.（1）求數(shù)列an的公差d 的值；（2）令bn=■，若數(shù)列bn也是等差數(shù)列，求非零常數(shù)c的值.

本例題的設計意圖是讓學生理解等差數(shù)列的概念，經(jīng)歷由一般到特殊的演繹推理過程，培養(yǎng)邏輯思維能力.

例題教學普遍采用講練結合模式，即學生先做，再由教師講解思路，學生再進行鞏固訓練.而“說數(shù)學”的模式，則是學生先做題，再由學生上臺展示解題思路及書寫過程，然后由學生總結知識點和解題方法.教師的作用是組織、引導和評價.以下是學生“說數(shù)學”的過程記錄：

學生A投影了例1的解題過程，并簡單講了解題思路：“由于首項和公差已知，直接代入公式就得到通項了.作出圖形是這樣的一些點（指出他作的圖形）.”我對學生A提出問題：“你描的這些點是散亂無章的嗎？有規(guī)律嗎？”A生答：“這些點都在直線y=-8x+39上.”我繼續(xù)追問：“那你為什么不把這些點連成直線呢？”A生遲疑片刻，很肯定地說：“不能連成直線，因為n的取值是正整數(shù)，圖像不是連續(xù)的！”臺下的學生，有不少是把圖像畫成直線的，這時都“恍然大悟”.于是我及時給予了A 肯定的評價：“很好！A同學充分理解了等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)的聯(lián)系，注意到了數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，他的解答是完全正確的.”A生繼續(xù)講解第（2）小題：“由圖像上我們可以看到，這個數(shù)列前4項都是正的，從第5項開始就變成負數(shù)了，那么它的和應該從第5項開始變小了，所以S4是最大的，最大值是76.”我對A 生評價：“你的想法很有道理，表達得也很清楚，大家都聽懂了.但我有個疑問，如果沒有作圖，這道題該怎么解呢？”A生想了想說：“主要是找出從哪一項開始，項變成了負數(shù)，可以令an<0，解不等式解出n來！”我更進一步：“你能否總結一下一般性的解題方法？”A生感到困難，停頓下來，有點不知所措.臺下的學生議論聲更大了.稍后我進一步啟發(fā)：“對一個等差數(shù)列來說，它具備怎樣的性質，它的前n項和才有最大值呢？”臺下學生搶答：“數(shù)列是遞減的！”A生補充：“d<0.”“很好！那么我們怎樣找到使Sn取最大值的那一項？怎樣用式子表示？”A生：“如果an≥0，an+1<0，那么第n項就是使Sn取最大值的那一項.”“非常好！那么對于Sn取最小值的情況，你也可以總結出來了吧？”A生很有信心地說：“如果d>0，數(shù)列是遞增的，若an≤0，an+1>0，則第n項是使Sn取最小值的那一項.”A生的回答非常準確，而且與剛上臺相比，他的自信心有了很大提高，語言表達非常流暢.臺下的學生自發(fā)為他鼓掌.我對A生的表現(xiàn)給予了中肯的的評價，請他回到座位.至此，這道題已經(jīng)解完，并且由學生自己總結出了解題方法，效果不錯.但是，“說數(shù)學”的環(huán)節(jié)并沒有結束，我的教學目標也還沒完全達到.接下來，我鼓勵學生提供不同的解題方法，然后從知識和方法兩方面來給這道題做個小結.B生考慮了一會，結結巴巴地說：“這道題涉及到的知識有等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式，一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像等，方法、第（2）題方法，我的方法是利用二次函數(shù)的性質.”雖然他講的不是十分全面，但畢竟邁出了第一步，我大力地表揚了他，希望他得到鼓勵，逐漸學會并習慣于自我總結與反思.以上的教學過程，基本實施了“說數(shù)學”的四個環(huán)節(jié)——說知識、說過程、說異見、說體會.在學生說的過程中，教師注重啟發(fā)，注重評價，學生的學習熱情被激發(fā)，在例2時有更積極主動的表現(xiàn).

以下是例2的“說數(shù)學”過程：

學生C：在等差數(shù)列an中，a1+a4=a2+a3=14，又已知a2a3=45，那么a2、a3可看作方程x2-14x+45=0的兩根，容易解出a2=5，a3=9或a2=9，a3=5.題目條件有d>0，所以應取a2=5，a3=9由此可得d=4.第（2）問我們可以先求Sn，由d=4，可求得a1=1，因此Sn=na1+■d=2n2-n，那么bn=■，如果bn是等差數(shù)列，那bn應該是一次函數(shù)，所以將bn變形為bn=■，觀察可知當c=-■時，bn是等差數(shù)列.

教師：C同學的講解非常清楚，解題過程的書寫也很規(guī)范，對于第（1）問，他的解法巧妙運用等差數(shù)列的性質，使得計算過程很簡便.但是我觀察到第（2）問你的解答過程有涂改的痕跡，你能跟大家說說是怎么回事嗎？

學生C：我一開始想用2bn= bn-1+bn+1來計算c，代進去發(fā)現(xiàn)太復雜了，所以放棄了.

教師：很好，C同學在思路受阻的時候懂得另辟蹊徑，從函數(shù)的角度去研究這個問題，說明他很有鉆研精神，而且思維很活躍.那么，對于他現(xiàn)在的思路，你們認同嗎？

很多學生露出懷疑的表情，議論紛紛，我請學生D發(fā)表看法.

學生D：我覺得他的做法有道理，但是好像不太全面，c會不會有其它取值呢？

教師：D同學的問題提得太棒了！c=-■是觀察出來的，它只是bn為等差數(shù)列的一個充分條件，c還有別的取值嗎？你們有辦法解決這個問題嗎？

學生E主動要求上講臺講解，由于還沒來得及把過程寫在學案上，E生要求板書.

學生E：如果bn是等差數(shù)列，那么必定有2b2=b1+b3，這是它的必要條件，這樣求出來的c肯定正確.并且這個式子很簡單，很容易求.

教師：E同學的想法非常好，他用特殊代替一般，使計算得以實施，求出了c值，這個c值不會有遺漏.但是他說這樣求出的c“肯定正確”，你們認同嗎？

學生F：他剛才說這是bn為等差數(shù)列的必要條件，對b1、b2、b3是成立的，那能說明對所有的正整數(shù)都成立嗎？

教師：很好！F同學想得很周到，這個問題怎么解決呢？

多名學生：證明bn是等差數(shù)列！

教師：對！通過證明，我們就能保證“當c=-■時，bn是等差數(shù)列”這個命題的正確性.下面，請同學們把這道題的完整的解題過程寫在學案上.

（證明過程略）

案例分析

1. “說數(shù)學”有助于復習目標的達成

本節(jié)課由于給了較多的時間給學生展示、質疑、交流，只完成了一組基礎訓練題和兩道例題，從傳統(tǒng)意義上講，似乎容量不足.但這一組習題、兩道例題所涉及的知識基本覆蓋了本節(jié)所要掌握的重要知識點，而解決方法則體現(xiàn)了本節(jié)最重要的數(shù)學思想——方程思想和函數(shù)思想.學生對這些知識和思想方法掌握得如何呢？在“說知識”的過程中，學生經(jīng)歷了腦中歸納整理和口頭表達的過程，對相關知識點印象深刻.而思想方法，是學生自己在解題過程中先體會，再在教師引導幫助下總結并用語言表達出來.建構主義學習理論提出“學生要成為意義的主動建構者”，因此思想方法不是教師灌輸?shù)模瑧菍W生自己的體會.教師的作用是幫助他們將腦海中模糊的概念清晰化，形成文字或語言，使之能進行交流和共享.本節(jié)課的“說數(shù)學”各環(huán)節(jié)，正是基于這樣的目的來設計.因此，盡管這節(jié)課花的時間多，做的題不多，但是復習目標達成度高，復習效果較好.

2.“說數(shù)學”有助于教學信息的及時反饋

“說數(shù)學”的方式，使學生有一個展示自己的平臺，通過投影作品和口頭講解，他們的思維過程完全暴露出來.這種及時、快速的信息反饋，無論對教師還是對其他學生，都意義非凡.對臺下學生來說，了解其他同學的想法，對自己是一種啟發(fā).同時，因為臺上講解的是自己的同學，不是權威人物，使得他們更有質疑的興趣.這種質疑，成為了他們積極思考的動力.對教師而言，及時地了解才能“對癥下藥”.下一步的教學策略怎么調整，怎么啟發(fā)，怎么設計問題，都建立在學生的信息反饋上.本節(jié)課例2的教學過程中，學生C的第（2）問的解答思路是我沒有預計到的，如果沒有學生C的展示，我不會知道其實很多學生都是這種做法，也就不會有后面的質疑和辨析.

責任編輯羅峰