由一道高考題看數(shù)學(xué)變式教學(xué)

鄧謙棠

縱觀每年的高考試卷，我們都可以發(fā)現(xiàn)許多“似曾相識(shí)”的題，其實(shí)，他們都是從課本上的習(xí)題變式而來。那么，怎樣進(jìn)行課本習(xí)題的變式教學(xué)呢？這是我們每個(gè)數(shù)學(xué)教師必須認(rèn)真思考的問題，下面我將與大家一起來就習(xí)題變式教學(xué)談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

1. 變式教學(xué)的目的

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容跨度大、抽象性強(qiáng)，只有促進(jìn)高中生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解，才能達(dá)到掌握和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的目的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師通過變式教學(xué)，可以把一個(gè)看似孤立的問題從不同角度向外擴(kuò)散，并形成一個(gè)有規(guī)律可行的系列，幫助學(xué)生在問題的解答過程中去尋找解此類問題的思路和方法，有意識(shí)地展現(xiàn)教學(xué)過程中教師與學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過程，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問題、分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)以及創(chuàng)造性的邏輯思維方式。同時(shí)，通過變式教學(xué)，學(xué)生不需要做大量地、重復(fù)地同一種題型的練習(xí)，減輕了學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，提高了學(xué)習(xí)效率。

2. 變式教學(xué)的方法

葉圣陶先生曾說：“教材只能作為教課的依據(jù)，要教得好，使學(xué)生受到實(shí)益，還要靠教師的善于運(yùn)用”。教材是教學(xué)的重要資源，課本中的每一個(gè)例題和習(xí)題都是經(jīng)過“千錘百煉”的，有很高的教育價(jià)值，因此在教學(xué)中我們要精心設(shè)計(jì)和挖掘課本的例題和習(xí)題，編制一題多變、一題多解、一題多用和多題一解，以提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。下面以課本《數(shù)學(xué)》必修4第91頁(yè)的第6題為例，談?wù)劻?xí)題變式教學(xué)的方法。

原題：已知向量■，■，求作向量■，使■+■+■=0.表示■，■，■的有向線段能構(gòu)成三角形嗎？

分析：如圖1，設(shè)■=■，■=■，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，由向量加法的平行四邊形法則可知■+■=■，即■=■.顯然，當(dāng)■，■不共線時(shí)，表示■，■，■的有向線段能構(gòu)成三角形。

2.1 創(chuàng)設(shè)新情境，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

創(chuàng)設(shè)新情境是指把條件放在一些特殊的情境中，使問題得以深化.而且，在新的情境中，解決問題的方法不僅僅拘泥于原題的方法，這就要求學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)，有變通的能力，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性。

變式1：如圖2，已知向量■，■，■滿足條件■+■+■=■，則點(diǎn)M是ΔABC的_____心（選填“內(nèi)”“外”“重”“垂”）。

分析：

方法1：以MB，MC為鄰邊作平行四邊形MBDC，設(shè)平行四邊形MBDC的對(duì)角線MD、BC交于點(diǎn)E，則E為BC的中點(diǎn)，由■+■=■=2■，由■+■+■=■得■+■=-■，即■=-2■，所以M，A，E三點(diǎn)共線，且■=2■，所以M點(diǎn)是ΔABC的重心。

方法2：以M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（x1，y1）、 B（x2，y2）、C（x3，y3），則■（x1，y1）， ■（x2，y2），■（x3，y3），由■+■+■=■得（x1+x2+x3， y1+y2+y3）=（0， 0），所以點(diǎn)M可表示為（■，■），即點(diǎn)M是ΔABC的重心。

變式2：設(shè)P是平面ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，若■=■（■+■+■），則G是ΔABC的___心（選填“內(nèi)”“外”“重”“垂”）。

分析：由■=■（■+■+■）可知■+■+■-3■=■，即（■-■）+（■-■）+（■-■）=■，即■+■+■=■。

由變式1可知，G是ΔABC的重心。

變式意圖：與原題相比，變式1是在ΔABC中根據(jù)條件■+■+■=■來研究點(diǎn)M的性質(zhì)，其本質(zhì)還是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，并未發(fā)生大的改變，但創(chuàng)設(shè)ΔABC這個(gè)新的情境，就可以利用坐標(biāo)法來解決問題。變式2在變式1的基礎(chǔ)上再次變換了新情境，要求學(xué)生適當(dāng)變形，靈活處理，拓寬了學(xué)生的思維，使得學(xué)生思維的靈活性得到提高。

2.2 增加新條件，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性

增加新條件是指在原題的基礎(chǔ)上，增加更多的限制性條件，使題目的難度層層遞增，這要求學(xué)生在深層次地理解原題的解題思路上，拓展思維，舉一反三，培養(yǎng)了學(xué)生思維的創(chuàng)造性。

變式3：已知向量■，■，■滿足條件■+■+■=■，■+■+■=1，求證：ΔP■P■P■是正三角形。（必修4第120頁(yè)復(fù)習(xí)參考題（B組）第5題）

變式4：已知向量■，■，■滿足條件■+■+■=■，且■·■=■·■=■·■，求證：ΔP■P■P■是正三角形。

變式意圖：變式2和變式3都是在變式1的基礎(chǔ)上增加一個(gè)條件，考查了學(xué)生對(duì)三角形的重心、外心和垂心的掌握情況，題目的難度層層遞增，符合學(xué)生的思維方式，提高了學(xué)生思維的創(chuàng)造性。

2.3 變換新角度，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性

變換新角度是指把原題的條件和結(jié)論變動(dòng)和加深，但知識(shí)點(diǎn)不離開原題的范圍。這要求學(xué)生在掌握原題的基礎(chǔ)上，能夠發(fā)散思維，能夠逆向地去考查問題，分析問題，培養(yǎng)了學(xué)生思維的發(fā)散性。

變式5：設(shè)M是ΔABC的重心，則■+■+■=_______。

變式6：若ΔP■P■P■是正三角形， 向量■，■，■滿足條件■+■+■=1，求證：■+■+■=■。

變式7：已知向量■，■，■兩兩所成的角相等，且滿足■+■+■=1，求證：■+■+■=■。

變式意圖：變式5是變式1的逆運(yùn)算，變式6和變式7都是變式3逆運(yùn)算.針對(duì)這幾個(gè)問題，我們要引導(dǎo)學(xué)生變換思維的角度，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有一個(gè)全方位、多角度的認(rèn)識(shí)，提高了學(xué)生思維的發(fā)散性。

3. 變式教學(xué)的價(jià)值

通過變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)屬性的過程中，不斷變更事物的非本質(zhì)屬性，不斷產(chǎn)生新的問題情境，誘發(fā)學(xué)生在不同的條件下，從不同的角度去思考問題，克服思維定勢(shì)的不足，突破舊的思維模式.因此，在高三復(fù)習(xí)課中，教師要從不同角度、不同側(cè)面、不同背景來進(jìn)行變式教學(xué)，把學(xué)生的思維引向新的高度，從而讓學(xué)生面對(duì)高考題有種“似曾相識(shí)”的熟悉感，提高了高三的復(fù)習(xí)效果。

著名的教育家波利亞曾說過“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找找，很可能附近就有好幾個(gè).”由此看出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生研究課本中的一些典型問題，通過創(chuàng)設(shè)新情境、增加新條件、變換新角度等多種途徑，挖掘習(xí)題潛在的數(shù)學(xué)價(jià)值，同時(shí)，通過變式教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維的靈活性、創(chuàng)造性、發(fā)散性，有益于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力和獨(dú)立思考問題、解決問題的能力.當(dāng)然，變式要做到“源于課本，高于課本”，更要注意恰當(dāng)合理、循序漸進(jìn)、緊扣考綱，只有這樣，才能即減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，又提高了高考復(fù)習(xí)效果。

責(zé)任編輯徐國(guó)堅(jiān)