例談如何提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力

顏一寬

波利亞說過，“中學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練”“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題”。如何提高中學(xué)生的解題能力，關(guān)鍵通過解決數(shù)學(xué)問題，來逐步培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和拓展學(xué)生的思維。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要提高學(xué)生的解題能力，除了抓好基礎(chǔ)知識(shí)、能力的學(xué)習(xí)與培養(yǎng)外，更重要的培養(yǎng)途徑就是解題實(shí)踐，下面將探討如何培養(yǎng)學(xué)生的解題能力的措施。

1. 熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，為解題提供依據(jù)

數(shù)學(xué)上的定義、法則、公式、定理等，是解題的依據(jù)，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該加大重視的力度，要求學(xué)生做到爛熟于心的程度。在理解概念的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)到問題的實(shí)質(zhì)，加深學(xué)生理解的層次。

例如，講“換元法”法時(shí)我們要幫助學(xué)生了解換元法的概念，認(rèn)清換元的實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化。

例1. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足：■-■=3，y4+y2=3，則■+y4的值為（）

A. 7 B. ■

C. ■ D. 5

思路分析：視■為一個(gè)整體不妨設(shè)為t（t>0）；視y2為一個(gè)整體不妨設(shè)為u（u>0），則■-■=3可化為t2-t-3=0解得t=■（t=■舍去）；y4+y2=3可化為u2+u-3=0解得u=■（u=■舍去），所以■+y4 =t2+u2=7，選A。

2. 養(yǎng)成認(rèn)真審題、獨(dú)立思考的習(xí)慣

仔細(xì)、認(rèn)真地審題是解題的前提。因?yàn)閷忣}為探索如何解題的途徑提供了方向，培養(yǎng)學(xué)生的思維獨(dú)立，是每一個(gè)數(shù)學(xué)老師恒久不變的教學(xué)原則，告訴學(xué)生堅(jiān)持獨(dú)立思考，獨(dú)立做題，你的分析能力和解決問題的能力會(huì)得到迅猛提高。

例如我在教二次函數(shù)時(shí)將例2和例3放在一起，幫學(xué)生如何審題。

例2. 已知函數(shù)y=（k-3）x2+2x+1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）

A. k<4 B. k≤4

C. k<4且k≠3D. k≤4且k≠3

例3. 已知二次函數(shù)y=（k-3）x2+2x+1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）

A. k<4 B. k≤4

C. k<4且k≠3D. k≤4且k≠3

例2與例3雖只相差兩個(gè)字，但例2所說的函數(shù)可能是一次函數(shù)，也可能是二次函數(shù)，而例3只可能是二次函數(shù)。例2、3答案分別為B、D。

3. 理順解題思路，規(guī)范敘述解題的過程

當(dāng)拿到數(shù)學(xué)題，不僅僅要求獨(dú)立思考，還要在此基礎(chǔ)上把數(shù)學(xué)問題解答過程嚴(yán)謹(jǐn)?shù)財(cái)⑹龀鰜?，這對(duì)學(xué)生來說不是件容易的事，有著較高的能力要求，即敘述要正確、合理、嚴(yán)密、簡(jiǎn)潔。一般來說，各種形式的數(shù)學(xué)習(xí)題都有一定的解答格式，無論哪種格式，敘述都應(yīng)層次分明，條理清楚，表述要規(guī)范。

例4.已知關(guān)于x的方程■+■=■恰有一個(gè)實(shí)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的值。

思路分析：對(duì)于分式方程，我們要注意增根的問題。因此只有一個(gè)實(shí)根卻要多次討論和驗(yàn)證。

解：題中的等式可化為2x2-2x+（4-a）=0， （1）

當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，Δ=4-4×2×（4-a）=0。

由此得a1=■，此時(shí)方程（1）有一個(gè)根x=■。驗(yàn)證可知x=■的確滿足題中的等式。

當(dāng)方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，Δ=4-4×2×（4-a）>0，由此得a>■。

若x=0是方程（1）的根，則原方程有增根x=0。代入（1）式解得a2=4>■。此時(shí)方程（1）的另一個(gè)根x=1，它的確也滿足題中的等式。

若x=2是方程（1）的根，則原方程有增根x=2。代入（1）式解得a2=8>■。此時(shí)方程（1）的另一個(gè)根x=-1，它的確也滿足題中的等式。

因此a1=■，a2=4，a2=8共有3個(gè)實(shí)數(shù)a滿足題意。

4. 重視方法的傳授，加強(qiáng)解題思維培養(yǎng)

教學(xué)中要特別重視基本數(shù)學(xué)方法的傳授，這樣才能從根本上提高學(xué)生解題思維水平。

例5.如圖所示，C，D是以AB為直徑的半圓上的三等分點(diǎn)，半徑為R，求圖中陰影部分面積.

思路分析：我們知道三角形、梯形等特殊圖形的面積公式，對(duì)于不規(guī)則圖形則要通過“割割補(bǔ)補(bǔ)”的辦法變?yōu)樯鲜鎏厥鈭D形求解。本題我們可以通過S陰影=S扇形OAD- S弓形AC-SΔOAD和S弓形AC=S扇形OAC-SΔOAC求出。答案為■πR2。

5. 注重一題多解，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)散

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生掌握知識(shí)、技能的水平，主要表現(xiàn)在解題上，尤其是一題多解，在數(shù)學(xué)解題中有著舉足輕重的意義。它不僅能加強(qiáng)知識(shí)間的橫向?qū)Ρ?，而且是培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，激發(fā)學(xué)生聯(lián)想，推測(cè)和創(chuàng)新的方法之一。因此，經(jīng)常善于一題多想，一題多解，能使學(xué)生思路開闊，思維靈活，能從不同角度分析問題，進(jìn)而選擇最佳方案解決問題，使學(xué)生選擇運(yùn)用知識(shí)的方法由零散呆板轉(zhuǎn)向系統(tǒng)靈活，提高解題的速度和準(zhǔn)確度。同時(shí)，還有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，極大限度地調(diào)動(dòng)了學(xué)生思維的積極性。

例6.求函數(shù)y（x）=x+■（x>0）的值域。

我們可以用（1）判別式法，設(shè)y=x+■，則x2-yx+1=0，由Δ=y2-4≥0？圯y≥2。

當(dāng)時(shí)y=2，x2-2x+1=0？圯x=1， 因此當(dāng)x=1時(shí)，y（x）=x+■（x>0）有最小值2，即值域?yàn)閇2，+∞。也可以用（2）單調(diào)性法；（3）配方法；（4）基本不等式法等等。

6. 勤于總結(jié)解題方法，加強(qiáng)解后反思

解題后的反思是提高解題能力的一種重要途徑。所以，解數(shù)學(xué)題絕不能解一題丟一題，這樣無助于解題能力提高，還會(huì)使學(xué)生養(yǎng)成不善于總結(jié)和反思的習(xí)慣。學(xué)生一旦養(yǎng)成反思的良好習(xí)慣，綜合運(yùn)用知識(shí)的能力不但大大增強(qiáng)，而且也會(huì)促進(jìn)其它良好習(xí)慣的養(yǎng)成。

例7.如圖， 某橋的橋拱是圓弧型，已知它的跨度BC為20■米，拱高AD為10米，求橋拱所在的圓的直徑。（答案40米）

例8.如圖，BC是⊙O的直徑，A是弦BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，切線DE平分AC于E，求證：AC是⊙O的切線.（證明略）

上述這兩個(gè)例題實(shí)際上是圓中常見的題型，考查點(diǎn)（重點(diǎn)）都是圓心、半徑或是直徑所對(duì)的角是直角及勾股定理的運(yùn)用等。例7實(shí)際上就是考查RtΔOCD或是RtΔOBD；例8連結(jié)DC，考查∠BCD=∠ADC=90°。

中學(xué)生解題能力的提高是一個(gè)潛移默化的過程，是在親自參與解題實(shí)踐中不斷提升的過程，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)注意結(jié)合自己班級(jí)的實(shí)際情況，“以人為本”，關(guān)注學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況，進(jìn)行不斷反思，從而有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。誠(chéng)然，要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，關(guān)鍵在于教師平時(shí)的引導(dǎo)，使其形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，掌握科學(xué)有效的學(xué)習(xí)方法和養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)，數(shù)學(xué)的解題能力也將會(huì)在持久的努力中越來越高。

責(zé)任編輯徐國(guó)堅(jiān)