在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維能力的實(shí)踐與探究

羅東華

隨著數(shù)學(xué)課程改革的不斷推進(jìn)，其倡導(dǎo)的新觀念深刻地影響、引導(dǎo)著教師由重知識(shí)傳授向重學(xué)生思維能力培養(yǎng)轉(zhuǎn)變；由重教師“教”向重學(xué)生“學(xué)”轉(zhuǎn)變；由重結(jié)果向重過(guò)程轉(zhuǎn)變。學(xué)生的智力發(fā)展主要體現(xiàn)在思維能力的提高上，數(shù)學(xué)的抽象、直覺、想象等用以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力的優(yōu)勢(shì)，是其它學(xué)科不能相比和替代的。因此，數(shù)學(xué)不僅要教會(huì)學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，培養(yǎng)他們的思維能力。

一、創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)創(chuàng)造思維

學(xué)習(xí)的最好動(dòng)力，是對(duì)學(xué)習(xí)材料的興趣。教師精心創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，使之主動(dòng)參與到教學(xué)活動(dòng)中。為此，教師要在學(xué)習(xí)內(nèi)容的趣味性、探究性、適應(yīng)性和開放性上下功夫，留給學(xué)生足夠的活動(dòng)時(shí)間和思維空間，從而激發(fā)他們的創(chuàng)新意識(shí)和能力。思維通常是由問(wèn)題的情境產(chǎn)生的，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，應(yīng)該積極創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，變傳授數(shù)學(xué)結(jié)論為知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程教學(xué)，使學(xué)生始終處于積極的思維之中。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要盡可能地引入一些直觀、形象、生動(dòng)的材料創(chuàng)設(shè)情境，營(yíng)造氛圍。只有這樣才能較快地把學(xué)生帶入特定的環(huán)境中，激發(fā)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性。

例1：在“一元一次方程與實(shí)際問(wèn)題”中，我是這樣創(chuàng)設(shè)情境的：東莞市兩大購(gòu)物中心天虹和海雅為迎接五一，都進(jìn)行促銷活動(dòng)，其中天虹是全場(chǎng)物品打六折銷售，海雅百貨是實(shí)行買兩百送一百的活動(dòng)，請(qǐng)問(wèn)在標(biāo)價(jià)一樣的情況下，到哪家購(gòu)物更合算？（此例的情景有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲望）

例2：推導(dǎo)平方差公式，可以組織學(xué)生由“數(shù)”向“形”探索，在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a>b）（如圖1），把余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖2），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以推出公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。

在教師要求記憶的情況下，其實(shí)有些學(xué)生建立以公式本身的圖式表象為內(nèi)容的條件反射：“（a+b）（a-b）”→“a2-b2”；而有些學(xué)生建立以聲音表象為內(nèi)容的條件反射：“平方差公式”→“a加b乘以a減b等于a的平方減b的平方”。 最后進(jìn)行變式訓(xùn)練。例如：

（a + b） （a - b） = a2 - b2

↓ ↓↓ ↓ ↓ ↓

（2x+y） （2x-y）=（2x）2-y2=4x2-y2

由式子到式子的學(xué)習(xí)方式，割裂了數(shù)與式的關(guān)系。實(shí)際上，在初中數(shù)學(xué)里，式的本質(zhì)是數(shù)，它是為了表示數(shù)而引入字母后的產(chǎn)物。通過(guò)此方式學(xué)習(xí)的學(xué)生并沒(méi)有真正建構(gòu)起a和b的可變性觀念，大多數(shù)是由式子到式子，一見到超越變式訓(xùn)練范圍的問(wèn)題就不知如何是好，尤其是間隔了一段時(shí)間之后，這種學(xué)習(xí)盡管對(duì)一些常規(guī)的技能性問(wèn)題是有效的，但仍然擺脫不了機(jī)械學(xué)習(xí)的影子，時(shí)間長(zhǎng)了，知識(shí)多了，很容易與完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2混淆不清。其實(shí)，創(chuàng)造性思維能力的重點(diǎn)不是就解題而解題，而是使學(xué)生在做數(shù)學(xué)題中理解數(shù)學(xué)，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的觀念，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的延拓與創(chuàng)新。

由上述兩例可見，創(chuàng)設(shè)良好的問(wèn)題情境是激發(fā)創(chuàng)造思維的有效方法。教師要善于把握學(xué)生的思維特點(diǎn)，在教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)或關(guān)鍵處設(shè)計(jì)問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生求知的欲望，啟動(dòng)學(xué)生的思維，提高學(xué)生自主探究的能力。

二、合理類比，培養(yǎng)類比思維

類比是數(shù)學(xué)推理的常見手段，它的實(shí)質(zhì)是根據(jù)兩對(duì)象之間的相似，把信息從一個(gè)對(duì)象轉(zhuǎn)移到另外一個(gè)對(duì)象。類比不僅在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)方面有著顯著作用，在解題教學(xué)、考察學(xué)生能力等方面也有顯著效果。一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決思路常常是相通的，類比思想可以教會(huì)學(xué)生舉一反三，由此及彼，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。

例3：在講二次函數(shù)的最大利潤(rùn)問(wèn)題時(shí)，我先講一元二次方程的利潤(rùn)問(wèn)題：某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣出10件；要想每周獲得6090元的利潤(rùn)，該商品應(yīng)如何定價(jià)？

解：設(shè)商品定價(jià)為x元，則單件商品利潤(rùn)為（x-40）元，銷售量為[300-10（x-60）]件，根據(jù)題意得：6090=（x-40）[300-10（x-60）]。

我接著問(wèn)學(xué)生，如果把“要想每周獲得6090元的利潤(rùn)”改成“要想每周獲得y元的利潤(rùn)”那又怎樣列式呢？采用類比思想，學(xué)生非常容易得出：y=（x-40）[300-10（x-60）]。接著又問(wèn)學(xué)生，如果把“要想每周獲得6090元的利潤(rùn)，該商品應(yīng)如何定價(jià)？”改成“如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？”學(xué)生自然而然想到只要把這個(gè)二次函數(shù)進(jìn)行配方就能解決這個(gè)問(wèn)題。

例4：計(jì)算：■+■+…+■。

分析：原式的結(jié)構(gòu)很容易聯(lián)想到數(shù)值計(jì)算中類似■=■-■的“裂項(xiàng)相消法”，結(jié)構(gòu)上的這種相似性是解題思路的源泉所在。

解：原式=■+■+…+■

=■-■+■-■+…+■-■

=■-■

=■

綜上兩例可見，運(yùn)用類比能拓寬學(xué)生的視野，啟發(fā)學(xué)生思維；運(yùn)用類比，多方縱橫聯(lián)想，從而達(dá)到搭橋開路的作用；運(yùn)用類比，使學(xué)生憑借以往的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)技能和思想方法，對(duì)新舊知識(shí)進(jìn)行分析比較、探索、研究、發(fā)現(xiàn)其共同特點(diǎn)。抓住知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，順理成章，使學(xué)生有“瓜熟蒂落，水到渠成”之感，又創(chuàng)設(shè)了情境，發(fā)人深思。此外，類比還可以使學(xué)生的思維得到有效開發(fā)，提高思維的靈活性，使各部分知識(shí)相互變通，起到觸類旁通的作用。

三、聯(lián)想遷移，培養(yǎng)邏輯思維

想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動(dòng)著進(jìn)步，并且是知識(shí)進(jìn)化的源泉。聯(lián)想是想象力的重要組成部分，培養(yǎng)聯(lián)想能力，是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)，也是培養(yǎng)非邏輯思維的關(guān)鍵所在。

例5：關(guān)于x的不等式x-5+x-4

本題的基本方法是討論去掉絕對(duì)值，得出x-5+x-4≥1，因此得出a>1。如果聯(lián)想到絕對(duì)值的幾何意義，那么本題x-5+x-4就可以理解為“數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)x到定點(diǎn)4和5的距離的和”，而此距離之和有最小值1。類似地，問(wèn)題“x-5-x-4”又可以理解為“數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)x到定點(diǎn)4和5的距離的差”。

舊知是思維的基礎(chǔ)，思維是通向新知的橋梁。由舊知進(jìn)行聯(lián)想和類比，也是尋求正確思維方向的有效途徑。聯(lián)想和類比，就是把兩種相近或相似的知識(shí)或問(wèn)題進(jìn)行比較，找到彼此的聯(lián)系和區(qū)別，進(jìn)而探究出問(wèn)題的正確答案。

四、變式延伸，培養(yǎng)發(fā)散思維

創(chuàng)造能力=知識(shí)量×發(fā)散思維能力。思維的發(fā)散性，表現(xiàn)在思維過(guò)程中不受一定模式的束縛，從問(wèn)題個(gè)性中探求共性，多角度、多層次去猜想、延伸、開拓，是一種不定勢(shì)的思維形式。變式延伸中的“一題多解”、“一解多題”、“一題多變”是訓(xùn)練發(fā)散思維的有效途徑。

通過(guò)對(duì)一道題進(jìn)行多方位、多層次、多角度的變式延伸，引導(dǎo)學(xué)生從一道習(xí)題抓住一類問(wèn)題，從特殊問(wèn)題抓一般問(wèn)題，不但能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，而且能使學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，達(dá)到訓(xùn)練思維能力的作用。所謂變式延伸就是通過(guò)將原題中的條件、結(jié)論、內(nèi)容、圖形等作適當(dāng)變換，解決一類問(wèn)題的變化，逐步培養(yǎng)學(xué)生深入反思數(shù)學(xué)問(wèn)題的習(xí)慣，善于抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

例6：求證：順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形。

變式1：順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)可以得到什么四邊形？并證明你的結(jié)論。

變式2：如圖：四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，順次連結(jié)E、F、G、H，把四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形。連結(jié)AC、BD，容易證明：中點(diǎn)四邊形EFGH一定是平行四邊形。如果改變?cè)倪呅蜛BCD的形狀，那么中點(diǎn)四邊形的形狀也隨之改變，通過(guò)探索可以發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足 時(shí)，四邊形EFGH為菱形；

當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足 時(shí)，四邊形EFGH為矩形；

當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足 時(shí)，四邊形EFGH為正方形。

本例題變式1的訓(xùn)練條件具有開放性，變式2的訓(xùn)練結(jié)論具有歸納性，使學(xué)生對(duì)中點(diǎn)四邊形的關(guān)系更清晰，思維訓(xùn)練更豐富，基本達(dá)到了熟練論證特殊四邊形。教師應(yīng)該讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)例題本身所蘊(yùn)含的教育價(jià)值，學(xué)會(huì)怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，怎樣運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行思考、解題，如何表述自己的解題過(guò)程等等。教師只有充分地利用好例題，充分挖掘發(fā)揮例題的潛能，才能達(dá)到優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，開闊學(xué)生的視野，活躍學(xué)生的思維，提高學(xué)生解題能力的目的。

數(shù)學(xué)的魅力就在于“變”，有“變”才有“活”，適當(dāng)?shù)淖兪窖由?，可以給學(xué)生提供一座橋，讓學(xué)生在已知的水平和未知的水平之間自然過(guò)渡。最近發(fā)展區(qū)把握得好，“變式”才能避免讓學(xué)生反復(fù)地練習(xí)同一題型，避免學(xué)生在低水平層次之間反復(fù)地重復(fù)，從而使學(xué)生的思維能力得到更寬、更廣、更深的培養(yǎng)。

綜上所述，對(duì)一道數(shù)學(xué)題或聯(lián)想，或類比，或推廣，可以得到一系列新的題目，甚至得到更一般的結(jié)論，積極開展多種變式題的求解，即使不能解決，也有助于學(xué)生應(yīng)變能力的養(yǎng)成以及發(fā)散思維的形成，增強(qiáng)學(xué)生面對(duì)新問(wèn)題的自主探究能力。使學(xué)生通過(guò)較少的練習(xí)獲得較大的收獲，不僅可以減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，切實(shí)提高教學(xué)質(zhì)量，還可以通過(guò)題目的拓寬，加深變化，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，使學(xué)生在探索命題演變的過(guò)程中提高發(fā)散性思維。

總之，數(shù)學(xué)是一種文化，它既是諸多門學(xué)科的基礎(chǔ)與工具，又是一種思想方法。數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中。唯有讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)掌握各種數(shù)學(xué)思維能力，才能為他們的自主學(xué)習(xí)和主動(dòng)探究創(chuàng)造有利的條件。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生是主體，教師要有意識(shí)地在教學(xué)中進(jìn)行思維能力的培養(yǎng)。學(xué)生一旦掌握了各種數(shù)學(xué)思維，則可在較高層次上主動(dòng)探求新知，數(shù)學(xué)素養(yǎng)也能得到穩(wěn)步提高，從而為可持續(xù)發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

責(zé)任編輯羅峰