基于卡爾曼濾波的基波分量的提取

摘要：為保證繼電保護(hù)準(zhǔn)確動作的要求，國內(nèi)外學(xué)者對卡爾曼濾波進(jìn)行了廣泛的研究。文章是在學(xué)習(xí)卡爾曼濾波原理（KFT）基礎(chǔ)上，進(jìn)行卡爾曼濾波器的研究和設(shè)計(jì)。文章對卡爾曼濾波原理和短路過程基頻電壓、電流作了詳細(xì)的分析，之后建立了電流、電壓的數(shù)學(xué)模型，利用卡爾曼濾波原理（KFT）算法，對電流、電壓進(jìn)行估計(jì)。

關(guān)鍵詞：卡爾曼濾波器；控制輸入；電力系統(tǒng)

中圖分類號：TM466 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-2374（2013）12-0082-02

電力系統(tǒng)發(fā)生故障時，自動地、快速地、有選擇性地切除故障設(shè)備，保證系統(tǒng)其余部分迅速恢復(fù)正常運(yùn)行，并使故障設(shè)備不再繼續(xù)遭到破壞。當(dāng)電力系統(tǒng)發(fā)生不正常工作情況時，及時準(zhǔn)確地發(fā)出報警信號，以便運(yùn)行人員及時處理，防止不正常情況繼續(xù)持續(xù)或發(fā)展成為故障。故障信號中含有諧波分量和衰減直流分量，目前，大多數(shù)繼電保護(hù)以故障后的穩(wěn)態(tài)基頻分量作為判據(jù)，如何從故障暫態(tài)信號中快速、準(zhǔn)確地對基頻電流、電壓進(jìn)行估計(jì)是微機(jī)繼電保護(hù)面臨的主要問題。常見的微機(jī)保護(hù)算法有傅立葉算法、采樣和導(dǎo)數(shù)法、卡爾曼濾波算法和半周積分法等。

卡爾曼濾波器在1960年由R.E.Kalman發(fā)現(xiàn)，由于在數(shù)字計(jì)算發(fā)展中的進(jìn)步，卡爾曼濾波器是有廣闊研究應(yīng)用前景的科目?？柭鼮V波提供了一種從間接測量中分析缺少的信息的方法。當(dāng)動態(tài)系統(tǒng)是線性的并且當(dāng)各種噪聲因素特性的統(tǒng)計(jì)已知，卡爾曼濾波提供了最佳狀態(tài)估計(jì)方法。近些年來，一些基于卡爾曼濾波理論的新機(jī)算法已引入微機(jī)繼電保護(hù)領(lǐng)域中，卡爾曼濾波算法適用于平穩(wěn)過程也適用于非平穩(wěn)過程，對噪聲有很好的抑制作用，且能成功濾除非整數(shù)倍諧波，被廣泛應(yīng)用于頻率跟蹤、諧波分析等場合，卡爾曼濾波算法在數(shù)據(jù)窗暫態(tài)條件下能夠給出基波分量的最優(yōu)估計(jì)，隨著微機(jī)的快速發(fā)展，卡爾曼濾波算法得到了越來越廣泛的應(yīng)用。

1 離散卡爾曼濾波原理

在實(shí)際的動態(tài)系統(tǒng)中，除了非隨機(jī)的控制輸入U外，還有隨機(jī)擾動輸入w（k），例如外界干擾或系統(tǒng)建模誤差等都可列為w（k）。這種擾動又稱為動態(tài)噪聲。作用于動態(tài)系統(tǒng)上的隨機(jī)干擾除了動態(tài)噪聲外，還有系統(tǒng)產(chǎn)生的量測噪聲v（k），它一般作用在系統(tǒng)的出口。離散線性系統(tǒng)模型如下：

離散卡爾曼濾波器回歸的產(chǎn)生能由5個等式表達(dá)，能用下面的方法實(shí)現(xiàn)：

（1）狀態(tài)估計(jì)外推法：

（10）

（2）協(xié)方差估計(jì)外推法：

（11）

（3）卡爾曼濾波器增益：

（12）

（4）狀態(tài)估計(jì)校正：

（13）

（5）協(xié)方差估計(jì)校正：

（14）

表示狀態(tài)估計(jì)，由增值方程式單獨(dú)產(chǎn)生。是有相互關(guān)系的狀態(tài)的估計(jì)，說明測量和PK/K-1及PK都同樣被定義了。

卡爾曼濾波算法需要給出系統(tǒng)的初始狀態(tài)、

R（0）以及常數(shù)矩陣Q、R。初始狀態(tài)對卡爾曼濾波算法性能好壞幾乎沒有影響。因此，在參數(shù)選取過程中，協(xié)方差矩陣 、Q、R參數(shù)的選取是關(guān)鍵，其合理與否直接影響著系統(tǒng)的運(yùn)行性能和收斂程度?？柭鼮V波計(jì)算流程圖及濾波框圖如圖1、圖2所示。

噪聲對系統(tǒng)狀態(tài)及測量造成一定的影響，使信號波形產(chǎn)生一定的變化，所以要想辦法抑制噪聲對信號的影響，將公式（2）代入公式（1），且設(shè)非隨機(jī)的控制輸入U為零，則有：

可以看出，若消除或減弱噪聲信號的影響，再現(xiàn)系統(tǒng)的理想狀態(tài)，可令-CKwK-1=vK，這在matlab等仿真軟件中是不難實(shí)現(xiàn)的。但在實(shí)際的控制系統(tǒng)中，由于測量噪聲及系統(tǒng)噪聲具有不確定性，實(shí)際消除噪聲的影響是很難實(shí)

現(xiàn)的。

2 數(shù)學(xué)模型

系統(tǒng)故障信號中含有基頻分量、高頻分量、隨指數(shù)衰減的暫態(tài)分量及服從高斯分布的噪聲信號，基頻分量在繼電保護(hù)中起著舉足輕重的作用，為了從故障信號中提出基頻分量，即短路后的穩(wěn)態(tài)分量，必須建立相應(yīng)的狀態(tài)空間模型和觀測模型。本文采用帶有未知幅值和相角的向量表示基頻分量，并假定向量是靜止的，參考坐標(biāo)軸以頻率旋轉(zhuǎn)，這樣，分量的瞬時值線性方程為：

X（t）=X0+A·sin（ωt+φ）=X0+A·cosφsinωt+Asinφcosωt

=X0+X1sinωt+X2cosωt

在上述假定條件下，X0為隨指數(shù)衰減的暫態(tài)分量，X1和X2是恒定的，當(dāng)采樣周期為Ts時，且考慮噪聲信號，則系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

X（K+1）=A（K）·X（K）+W（K），

觀測方程為：

式中：V（K）用來表示暫態(tài)分量以及測量誤差。

動態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型確定之后，進(jìn)一步要建立噪聲信號模型及確定它們的協(xié)方差矩陣Q、R，卡爾曼濾波算法是一套遞推關(guān)系式，要求給出初始估計(jì)值X（0）、K（0）來啟動遞推過程。濾波參數(shù)的選取是決定卡爾曼濾波性能好壞的關(guān)鍵，在使用過程中，大多數(shù)是用試湊的方法來實(shí)現(xiàn)的，P（0）的選取對濾波性能好壞沒有影響，可取短路前的狀態(tài)值也可取過程均值為零。在電氣設(shè)備故障保護(hù)中可取X（0）=0，取P（0）為單位陣，負(fù)荷變化引起的噪聲方差Q影響很小，可忽略不計(jì)，可取W≈0，R=R0e-kTs/τ，一般R（0）取0.001～0.005，τ取25～45。

在具體的繼電保護(hù)程序中，由于R是在程序中已經(jīng)給出，那么根據(jù)-CKwK-1=vK來確定Q的值是很容易的事情，由此基本可以使負(fù)荷引起的噪聲與測量噪聲相互消除，使基波分量更加趨于平滑，實(shí)現(xiàn)再現(xiàn)的目的。

3 結(jié)語

基于卡爾曼濾波的基波分量的提取在很多文獻(xiàn)中已經(jīng)做了大量的研究，本文不再做過多的敘述，卡爾曼濾波算法的迭代過程較為復(fù)雜，但由于在求解時不需要貯存大量的觀測數(shù)據(jù)，并且當(dāng)?shù)玫叫碌挠^測數(shù)據(jù)時，可隨時算得新的參數(shù)濾波值，便于實(shí)時地處理觀測結(jié)果，因此，卡爾曼濾波被越來越多地應(yīng)用于動態(tài)數(shù)據(jù)處理中。本文通過卡爾曼濾波算法來提取基波分量，并提出了用測量噪聲來減小系統(tǒng)噪聲的方法，進(jìn)一步提高了運(yùn)算精度，這可以在DSP這類數(shù)字平臺上實(shí)現(xiàn)。

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作者簡介：李騰飛（1975—），男，河北玉田人，中色科技股份有限公司工程師，碩士，研究方向：電氣設(shè)備。

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