淺析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用到的思想方法

胡天澤

摘要：初中數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是全面提高學(xué)生素質(zhì)，其中最重要的是思維素質(zhì)，而數(shù)學(xué)思想方法就是增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念，形成良好思維素質(zhì)的關(guān)鍵。因此，在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法顯得尤為重要，同時也是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的突破口。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；素質(zhì)教育

數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是不同的。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，它直接支配著數(shù)學(xué)的實踐活動。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點。但是，兩者又互相支撐、相互彌補(bǔ)。因為數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)的手段。所以，我們數(shù)學(xué)人常說“數(shù)學(xué)思想方法”。

在教學(xué)過程中數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的隱性知識系統(tǒng)，只有出現(xiàn)在數(shù)學(xué)教材中重要的法則、公式、性質(zhì)、定理、判定才是數(shù)學(xué)教學(xué)的顯性知識系統(tǒng)，因為在教材中只能看到一些結(jié)論，許多例題的巧妙處理，而看不到由特殊實例的觀察、試驗、分析、歸納、抽象概括或探索推理的心智活動過程。如果我們在教學(xué)中，只依照課本的安排，沿襲從概念、公式到例題、練習(xí)這一傳統(tǒng)的教學(xué)過程，即使教師講的再深再透，學(xué)生要想記住結(jié)論，掌握解題的類型和方法，學(xué)生也只能是通過“記憶”來完成。實質(zhì)上解題關(guān)鍵在于找到合適的解題思路，數(shù)學(xué)思想方法就是幫助學(xué)生構(gòu)建解題思路的指導(dǎo)思想。因此，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的重要途徑。因此，在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法尤為重要。

數(shù)學(xué)知識本身固然是重要的，但真正對學(xué)生以后的學(xué)習(xí)、生活和工作長期起作用，并使其終生受益的是數(shù)學(xué)思想方法。初中數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是全面提高學(xué)生素質(zhì)，其中最重要的因素是思維素質(zhì)，而數(shù)學(xué)思想方法就是增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念，形成良好思維素質(zhì)的關(guān)鍵。如果將學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)看作一個坐標(biāo)系，那么數(shù)學(xué)知識、技能就好比橫軸上的因素，而數(shù)學(xué)思想方法就是縱軸的內(nèi)容。淡化或忽視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，不僅不利于學(xué)生從縱橫兩個維度上把握數(shù)學(xué)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，也必將影響其能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高。

初中數(shù)學(xué)，涉及的數(shù)學(xué)思想方法很多，想把那么多的數(shù)學(xué)思想方法滲透給學(xué)生是不現(xiàn)實的。下面我介紹三種初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法，掌握好這些方法對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高有很好的促進(jìn)作用。

一、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是指在解數(shù)學(xué)問題時，對當(dāng)前的問題感到生疏困惑時，可以把它進(jìn)行變換，把問題化繁為簡、化難為易、化生疏為熟悉，從而使問題得以解決的思想方法。它是解決新問題獲得新知識的重要思想，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用很多。例如，七年級下冊第七章中多邊形及其內(nèi)角和性質(zhì)的得出要添加輔助線轉(zhuǎn)化成三角形內(nèi)角和問題加以解決。八年級下冊第十九章《梯形》的教學(xué)，常常利用輔助線將梯形問題轉(zhuǎn)化成三角形或四邊形問題加以解決。再如，一元二次方程的解法和二元一次方程組的解法，都需要降次或消元將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程，進(jìn)而求一元二次方程和二元一次方程組的解；分式方程需去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)整式方程的解法來求解。另外，數(shù)學(xué)中還經(jīng)常涉及實際生活中的問題，需要利用轉(zhuǎn)化思想化為數(shù)學(xué)問題來求解，如：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺。如果把這跟蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面。這個水池的深度與這跟蘆葦?shù)拈L度分別是多少？解此題時，需要利用轉(zhuǎn)化思想將實際問題轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)問題。

二、分類討論思想

在數(shù)學(xué)中，根據(jù)研究對象的性質(zhì)差異，分別對各種不同的情況予以分析的思想方法叫分類討論。分類討論思想在解題中的運用也很廣泛。例如，一元二次方程的一些題目的解決方法可以利用分類討論思想。

例1：求方程a2x2+（a+1）x+■=0的取值范圍。

分析：因為這里并沒有指明是哪類方程，所以字母系數(shù)的取值范圍可以導(dǎo)致既可以是二次方程，也可以是一次方程，因此要分類討論。字母系數(shù)的取值范圍問題是否要討論，要看清題目的條件。一般設(shè)問方式有兩種（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“兩實數(shù)根”。都能說明是二次方程，不必討論，但切不能忽視二次項系數(shù)的要求。本題根據(jù)二次項系數(shù)是否為零加以分類討論。

在進(jìn)行等腰三角形的教學(xué)時通?？紤]分類，因為不僅等腰三角形分類，而且等腰三角形的邊分兩類：腰和底邊；等腰三角形的角分兩類：頂角和底角。

例2：王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地部分的長為15米（水渠的寬不計），請你計算這塊等腰三角形菜地的面積。

分析：本題未能區(qū)分三解形的頂角是銳角的還是鈍角，因此，需要我們分類討論來求出其面積。

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合與數(shù)形轉(zhuǎn)化的目的是為了發(fā)揮形的生動性和直觀性，發(fā)揮數(shù)的思路的規(guī)范性與嚴(yán)密性，兩者相輔相成，揚(yáng)長避短。教學(xué)中，以數(shù)出形，以形輔數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，可以使問題直觀化、形象化，有利加深學(xué)生對知識的識記和理解。

數(shù)形結(jié)合思想是充分利用圖形把數(shù)量關(guān)系形象地表示出來。即通過作一些如線段圖、樹形圖、長方形面積圖或集合圖來幫助學(xué)生正確理解數(shù)量關(guān)系，使問題簡明直觀。

例3：在數(shù)學(xué)活動中，小明為了求■+■+■+■+……■的值（結(jié)果用n表示），設(shè)計如圖1所示的幾何圖形。

（1）請你利用這個幾何圖形求■+■+■+■+……■的值為 。

（2）請你利用圖2，再設(shè)計一個能求■+■+■+■+……■的值的幾何圖形。

分析：直接求代數(shù)式■+■+■+■+……■的值難度很大，而借助幾何圖形不難發(fā)現(xiàn)其結(jié)論.該題很好地體現(xiàn)了數(shù)形思想。

解：（1）1-■。

（2）如圖3中的幾種畫法，圖形正確。

利用數(shù)形結(jié)合的基本思想，要注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案。

學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)思想方法的形成是在課堂教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生思維過程中逐步積累和形成的。教師在課堂中要逐步培養(yǎng)學(xué)生解決問題以后進(jìn)行反思的良好習(xí)慣，因為這是形成數(shù)學(xué)思想方法的首要前提，此時提煉出的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生易于體會、容易接受，再經(jīng)過課堂中的反復(fù)利用與強(qiáng)調(diào)，學(xué)生才能有所領(lǐng)悟。

【責(zé)編 閆 祥】