鋼筋混泥土梁單元雙非線性分析的共旋坐標法

鄧繼華　邵旭東?k

（1. 湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082；2. 長沙理工大學 土木與建筑工程學院， 湖南 長沙 410076） 摘 要：針對已有的鋼筋混凝土梁單元非線性分析模型采用較多的假定和近似從而導致計算量增大及計算精度下降的問題，基于共旋坐標法建立了考慮材料和幾何非線性的任意截面鋼筋混凝土梁的數(shù)值分析模型.首先利用虛功原理計算共旋坐標系下完全粘結(jié)鋼筋混凝土梁考慮材料非線性的切線剛度矩陣，再通過結(jié)構(gòu)坐標系與共旋坐標系下節(jié)點力之間及節(jié)點位移之間的總量關(guān)系及微分導出的增量關(guān)系，最終獲得鋼筋混凝土梁在結(jié)構(gòu)坐標系中考慮幾何與材料雙重非線性的切線剛度矩陣.算例結(jié)果表明，本文算法可減少計算量、不累積誤差、精度高.

關(guān)鍵詞：鋼筋混凝土； 梁單元；共旋坐標法；雙非線性；微分法；切線剛度矩陣

中圖分類號：TU323.3 文獻標識碼：ACorotational Procedure for the Binonlinear Analysis

of Reinforced Concrete Beam Element

DENG Jihua1，2， SHAO Xudong1

（1. College of Civil Engineering， Hunan Univ， Changsha， Hunan 410082， China； 2. School of Civil

Engineering and Architecture， Changsha Univ of Science and Technology， Changsha， Hunan 410076， China） Abstract：Multiple assumptions and approximations in nonlinearity analysis models of existing reinforced concrete beam element result in low calculation efficiency and low calculation accuracy. In this paper， based on corotational procedure， a numerical model for a given section considering material and geometrical nonlinear analysis of reinforced concrete beam element was developed. Firstly， by means of virtual work， a tangent stiffness matrix for the material nonlinearity of perfectlybonded reinforced concrete beam element was derived in corotational coordinate system. Then， by building total and incremental relationships derived from differential equations of nodal displacements and forces between global coordinate system and corotational coordinate system， respectively， tangent stiffness in global coordinate system reinforced concrete beam element was developed by considering geometric and material nonlinearity. A comparison between the results in this paper and those from existing references has demonstrated that the algorithm developed is highly efficient and accurate with many advantages， such as noncumulative calculation errors and reduction in computation.

Key words：reinforced concrete； beam element；corotational procedure；binonlinear；variational method；tangent stiffness matrix

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在目前已有的鋼筋混凝土桿系結(jié)構(gòu)考慮幾何與材料雙重非線性的各種分析模型中，分層梁模型由于具有不受截面形狀限制、不同梁層可采用不同材質(zhì)、能模擬已開裂的梁結(jié)構(gòu)等優(yōu)點而應用較廣＼[1-3＼].但目前的分層梁模型存在以下缺點：1）在分層梁模型中，將鋼筋劃分成截面的一層，認為截面每一層的應變沿梁軸向均勻分布.因此，為保證計算精度，單元長度需劃分得很短，這在非線性計算中是非常不利的；2）將鋼筋沿單元軸向理想化為平行于梁軸線的直線段，而在實際鋼筋混凝土梁中，由于受力或構(gòu)造的需要，鋼筋并不總是完全平行于梁軸線；3）材料非線性分析中，一般通過假定截面形心處的應變和曲率得到各層的應變，由材料本構(gòu)關(guān)系得到應力，再由截面平衡得到計算內(nèi)力，將其與實際內(nèi)力比較以確定單元剛度，這一過程往往需要多次反復迭代，甚至由于混凝土和鋼筋的應力

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應變曲線為分段曲線而不收斂＼[4＼]；4）幾何非線性一般通過應變計算中計入高階項，基于總體拉格朗日法（T.L法）或修正拉格朗日法（U.L法）來考慮，這不僅導致單元切線剛度矩陣異常復雜，還具有T.L法和U.L法本身所固有的缺點，如T.L法在非線性程度較高時所得計算結(jié)果精度很差＼[5＼]，以及U.L法為保證計算精度，需將荷載步取得較小，導致計算量顯著增加和誤差累積的問題[6].

為解決上述問題，須對現(xiàn)有非線性算法進行改進.在幾何非線性分析方法中，共旋坐標法相對于T.L法和U.L法而言，具有列式簡單、力學概念明確以及計算精度高的特點，因而成為研究的熱點＼[7-8＼].本文在上述文獻的基礎上，首先利用共旋坐標系下應變與扣除剛體位移后的變形呈線性關(guān)系的特點計算出完全粘結(jié)鋼筋混凝土梁考慮材料非線性的切線剛度矩陣，再基于靜力平衡通過微分獲得鋼筋混凝土梁在結(jié)構(gòu)坐標系中考慮幾何與材料雙非線性的切線剛度矩陣，多個算例表明本文算法是正確的.

湖南大學學報（自然科學版） 2013年

第8期 鄧繼華等：鋼筋混凝土梁單元雙非線性分析的共旋坐標法

1 鋼筋混凝土梁元切線剛度矩陣

圖1所示為鋼筋混凝土平面梁元，基于實際情況，可設鋼筋在梁單元內(nèi)為直線.

圖2示意了在結(jié)構(gòu)坐標系XY中初始時刻和計算時刻t鋼筋混凝土梁元的幾何參數(shù)及位移的即時變量；設鋼筋混凝土梁元的共旋坐標系為xy，該坐標系是隨單元變形而轉(zhuǎn)動的，它始終以節(jié)點i為原點，以節(jié)點i到j的連線方向為x軸，由x軸逆時針轉(zhuǎn)90°為y軸.

圖1 鋼筋混凝土梁元

Fig.1 Reinforced concrete beam element

圖2 變形前后梁單元

Fig.2 Beam element before and after deformation

1.1 共旋坐標系下混凝土梁元切線剛度矩陣

設初始時刻單元節(jié)點在結(jié)構(gòu)坐標系里的坐標為（xi，yi）和（xj，yj），在計算時刻t結(jié)構(gòu)坐標系中的位移向量為d=uiviθiujvj θjT，在共旋坐標系中的位移向量為dl=u′i （1）

混凝土梁單元在共旋坐標系中的節(jié)點位移為：

（2）

式中：0l和tl分別為變形前、后梁單元長度.

設單元任一截面形心軸處的應變及截面曲率為ε0，φ，在共旋坐標系下單元的應變

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位移關(guān)系只需考慮線性項，有：

（3）

式中：B0為線性應變矩陣.

采用沿梁高分層的方法，對計算截面任意梁層k，基于平截面假定，由ε0和φ可求出該梁層的應變值εk為：

（4）

式中：yk為梁層k到形心軸的距離.

對式（4）微分，有：

（5）

通過混凝土的應力

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應變關(guān)系由εk可求得梁層k的應力σk和切線模量ETk，截面力P=（ncmc）由截面平衡條件求得為：

（6）

式中： Ak為梁層k的面積；n為截面分層總數(shù).

對式（6）微分，有：

（7）

將式（5）代入式（7）并寫成矩陣形式有：

（8）

（9）

由虛功原理可建立單元的平衡方程組有：

（10）

式中：fc=fxicfyicmicfxjcfyjcmjcT為共旋坐標系下混凝土單元等效節(jié)點力列陣.

將式（9）代入式（10）可得：

（11）

對式（11）微分，并考慮式（8）有：

（12）

式中：kTc為共旋坐標系下考慮材料非線性的混凝土元切線剛度矩陣.

1.2 共旋坐標系下鋼筋單元切線剛度矩陣

參考圖1所示，設鋼筋上距離左節(jié)點所在截面為x的任意一點A在豎向距離中性軸為d（x），且x與d（x）的值在變形過程中始終不變.對于鋼筋只需考慮軸向拉壓應變，與前面混凝土應變計算類似，在共旋坐標系下鋼筋的應變計算也只考慮線性項，由應變旋轉(zhuǎn)公式＼[9＼]知鋼筋的應變?yōu)椋?/p>

（13）

式中：εc，A為混凝土在A點的應變.

對式（13）微分，并聯(lián)立式（3）有：

（14）

式中：B0，s為鋼筋的應變矩陣值，只需將鋼筋具體位置的值代入B0就很容易求得.

通過鋼筋的應力

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應變關(guān)系由εs可求得該點的應力σs及切線模量ETs，鋼筋的軸向力Ps為：

（15）

式中：As為鋼筋的面積.

對式（15）微分，并聯(lián)立式（14）有：

（16）

由虛功原理可建立共旋坐標系下鋼筋單元的平衡方程有：

（17）

式中：fs=fxisfyismisfxjsfyjsmjsT為共旋坐標系下鋼筋元等效節(jié)點力列陣.

將式（14）代入式（17）可得：

（18）

對式（18）微分，并聯(lián)立式（16）有：

（19）

式中：kTs=cos 3θ∫0l0BT0，sAsETsB0，sdx即為共旋坐標系下考慮材料非線性的鋼筋元切線剛度矩陣.

1.3 結(jié)構(gòu)坐標系下鋼筋混凝土梁切線剛度矩陣

從式（2）知，由于u′i，v′i，v′j恒為0，對式（2）的后3項微分，不難得到共旋坐標系下位移微分δdl用結(jié)構(gòu)坐標系下位移微分δd表達的形式：

（20）

設鋼筋混凝土梁單元在結(jié)構(gòu)坐標系下的節(jié)點力向量F=FxiFyiMiFxjFyjMjT，由靜力平衡可知：

（21）

式中：t為坐標轉(zhuǎn)換矩陣.

將式（21）兩邊微分可得：

（22）

對矩陣t微分，為表述方便，將δtT（fc+fs）改寫成：

（23）

為得到tT（δfc+δfs）用δd表達的形式，聯(lián)立（12）（19）（20）有：

（24）

聯(lián)立式（22）（23）和（24），可得到結(jié)構(gòu)坐標系下鋼筋混凝土梁單元考慮幾何與材料雙重非線性的單元切線剛度矩陣為：

（25）

2 非線性分析流程

1）根據(jù)上一計算時刻單元i，j節(jié)點在結(jié)構(gòu)坐標系下的總位移向量d，由式（2）求出共旋坐標系中的位移向量dl，由式（11）和（12）求出混凝土梁元在共旋坐標系下的切線剛度矩陣kTc及等效桿端力fc；再基于式（18）和（19）求出鋼筋梁元在共旋坐標系下的切線剛度矩陣kTs及等效桿端力fs.

2）通過式（25）得到鋼筋混凝土單元在結(jié)構(gòu)坐標系下的切線剛度矩陣KT，基于式（21）得到結(jié)構(gòu)坐標系下的等效桿端力F.

3）重復1）至2）的步驟，生成結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣∑KT和等效桿端力合力∑F.

4）計算不平衡力ΔR=L-∑F，其中L為到計算時刻t施加的總外荷載的等效節(jié)點力.

5）求解結(jié)構(gòu)方程∑K·Δd=ΔR，得到節(jié)點位移增量Δd，將其疊加到總位移向量d中.

6）收斂條件判斷，如收斂，轉(zhuǎn)到t+Δt時刻計算，如不收斂，返回1）進行下一次迭代.

3 材料的應力

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應變關(guān)系

受壓區(qū)混凝土采用的應力

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應變關(guān)系為：

（26）

式中：fc為混凝土軸心抗壓強度；ε0為與fc對應的應變，且有ε0=0.002；εu為極限壓應變，且有εu=0.003 8.

受拉區(qū)混凝土應力

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應變關(guān)系為：

普通鋼筋受拉和受壓時都采用理想彈塑性的應力

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應變關(guān)系.

4 算例分析

例1 如圖3所示的肘式框架，兩端嵌固，由William完成其試驗分析工作，由于該結(jié)構(gòu)的幾何非線性十分突出，同時又具有相應的試驗結(jié)果，因而成為眾多研究者，如Wood， Papadrakakis， Yang， Chan， Meek等人，檢驗各自所建立理論的有效性與準確性的標準算例.桿件為一十分細長矩形等截面直桿，截面寬19.1 mm，高6.71 mm，彈性模量為71 000 MPa.分析時將每根桿件劃分成10個單元，采用位移增量法求解，跨中截面位移與荷載的關(guān)系如圖4所示，可看出與William的試驗結(jié)果是比較吻合的.

圖3 William肘式框架（單位：mm）

Fig.3 Williams toggle frame（Unit：mm）

撓度Δ/mm

圖4 荷載

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撓度曲線

Fig.4 Loaddeflection curves

例2 如圖5所示均布荷載作用下的懸鏈線無鉸拱模型＼[3＼]，拱的跨度為L=4 m，矢跨比為f/L=0.2，拱軸系數(shù)m=2.24.橫截面為5.5 cm（寬）×20 cm（高）的等截面矩形，截面頂和底各配有5根φ4的鋼筋，鋼筋形心到截面上下緣的距離取為5 mm，材料性質(zhì)見文獻＼[10＼].

圖5 模型拱的節(jié)點劃分

Fig.5 Node partition of arch model

表1列出了試驗結(jié)果、本文及文獻＼[1＼]的計算結(jié)果，圖6示出了本文計算的4，5，6號關(guān)鍵節(jié)點在線性、幾何非線性、材料非線性及幾何與材料雙非線性下的荷載

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撓度曲線.從表1可看出，本文計算結(jié)果是正確的，由圖6可看出，本模型幾何及材料非線性效應均比較明顯，必須考慮兩者的耦合作用.

表1 試驗與計算極限荷載值

Tab.1 Loadcarrying capacity of test and calculation

kN/m

試驗值＼[3＼] 材料非線性 雙非線性

本文 文獻＼[1＼] 本文 文獻＼[1＼]

63.42 90.86 90.63 67.67 60.84

撓度/mm

（a） 4號節(jié)點

撓度/mm

（b） 5號節(jié)點

撓度/mm

（c） 6號節(jié)點

圖6 荷載

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撓度曲線

Fig.6 Loaddeflection curves

5 結(jié) 論

本文基于共旋坐標系下應變與位移的線性關(guān)系，利用虛功原理直接由截面切線剛度矩陣通過積分導出單元考慮材料非線性的切線剛度矩陣，再通過結(jié)構(gòu)坐標系與共旋坐標系下節(jié)點力之間及節(jié)點位移之間的總量關(guān)系及微分導出的增量關(guān)系，獲得鋼筋混凝土梁在結(jié)構(gòu)坐標系中考慮幾何與材料雙重非線性的切線剛度矩陣，避免了已有文獻須反復迭代求解單元切線剛度矩陣的缺點，考慮了應變沿梁軸向的變化；同時，從以上推導過程也知鋼筋方向與梁軸線方向可斜交，算例表明本文算法具有較高精度，適用于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的幾何與材料非線性分析.誠然，在混凝土開裂及接近破壞時，混凝土與鋼筋完全粘結(jié)的假定不再成立，這是以后研究中應仔細考慮的問題.

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