新課程下的立體幾何復(fù)習(xí)方法探索

耿發(fā)文

摘要：新舊教材在內(nèi)容、考試要求、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)等方面都有明顯的差異。數(shù)學(xué)教師應(yīng)對新課程形式下的高考試題特點(diǎn)進(jìn)行研究探索，制定相應(yīng)的復(fù)習(xí)策略。本文就空間角與距離的解法談?wù)勗O(shè)想和思考。

關(guān)鍵詞：新課程；空間；轉(zhuǎn)化；向量

數(shù)學(xué)在新課程下的高考試題，對立體幾何的考查一直是以能力為主，對能力考查的要求有一年比一年提高的趨勢，題型也相對較為穩(wěn)定。但新舊課程在內(nèi)容、考試要求、教學(xué)要求、教材的編排體系等方面都有相當(dāng)大的改變，因此我們進(jìn)行立體幾何復(fù)習(xí)時，有必要對新舊教材在內(nèi)容、考試要求、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)，以及近幾年來的新舊課程的高考試題特點(diǎn)等進(jìn)行研究，制定相應(yīng)的復(fù)習(xí)策略，爭取來年高考中獲得全面豐收。

一、新舊教材比較

在考試內(nèi)容方面：新教材中刪除了棱臺，旋轉(zhuǎn)體（圓錐、圓柱、圓臺、球冠及球缺等）。增加了正多面體與歐拉定理；增加了空間向量及其加、減法，與數(shù)乘運(yùn)算；空間向量的數(shù)量積；空間向量的坐標(biāo)表示，及其對應(yīng)的加減法，數(shù)乘與數(shù)量積運(yùn)算；平面法向量等內(nèi)容。

在考試要求方面：刪除了棱臺，旋轉(zhuǎn)體（圓錐、圓柱、圓臺、球冠及球缺等）的面積與體積公式，淡化了三垂線定理及其逆定理的要求，增加了理解空間向量與空間向量坐標(biāo)的概念，掌握空間向量的加減法、數(shù)乘與數(shù)量積的概念及其對應(yīng)坐標(biāo)的加減法，與數(shù)乘運(yùn)算等內(nèi)容。突出了利用空間向量知識解決求空間角、空間距離。新考試在證明平行與垂直的問題上，明確了對傳統(tǒng)幾何的量化思想，同時也體現(xiàn)了解決問題方法的靈活性。重點(diǎn)讓學(xué)生掌握向量代數(shù)法，同時也兼顧傳統(tǒng)幾何綜合推理方法。

二、高考考點(diǎn)剖析

立體幾何三大考點(diǎn)：

（1）空間角。

（2）空間距離。

（3）線面位置關(guān)系的推理判斷（小題）、證明及計(jì)算（大題）。

線面位置關(guān)系突出平行和垂直，又側(cè)重于垂直關(guān)系。因?yàn)榭臻g直角坐標(biāo)系的建立和空間角的平面角的構(gòu)造與求解離不開垂直，空間距離也離不開垂直?？荚嚂r主要以三棱柱、四棱柱（正方體）、三棱錐、四棱錐為載體。與球有關(guān)的問題也是高考常考點(diǎn)。立體幾何大題不獨(dú)立考查單純的線面位置關(guān)系，而明確以多面體為載體，綜合考查概念、性質(zhì)、線線關(guān)系等。

三、考題特點(diǎn)分析

每年的數(shù)學(xué)高考立體幾何題中，有2～3道選擇題，1道填空題及1道解答題。分值占全卷的18%～20%。考題屬于“理解”和“掌握”這兩個層次，難度中等，試題常有課本背景?？偨Y(jié)歷年來新教材高考卷與全國高考卷的立體幾何題可以看到以下幾個特點(diǎn)。

1.新教材立體幾何試題中大題以棱柱或棱錐為載體，融線面關(guān)系于幾何體中。繼續(xù)采取傳統(tǒng)的小步設(shè)問、逐層加深的模式。第一小問考查線線、線面、面面的位置關(guān)系，后幾問考查空間角，空間距離等度量關(guān)系。解題方法是向量代數(shù)法，其解題思路：建立坐標(biāo)系——求向量坐標(biāo)——用公式計(jì)算。舊教材相對穩(wěn)定。

2.在考查空間概念的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)作圖、證明和計(jì)算相結(jié)合，融推理論證于幾何量的計(jì)算中，邏輯思維能力、空間想象能力的考查存在于運(yùn)算中。對空間想象能力的要求進(jìn)一步提高，試題直接對空間想象能力的考查；立體幾何證明試題需從不同的角度來觀察圖形，直接體現(xiàn)了對空間想象能力的考查。如，2007年天津高考卷第11題；2007年全國卷第16題。

3.重點(diǎn)考查基礎(chǔ)知識的同時，也注重形式的多樣性。如與簡易邏輯、排列組合等小綜合題型也常出現(xiàn)，這也是一種傳統(tǒng)。如：2003年江蘇卷第16題是與簡易邏輯相關(guān)的題。

4.重視對數(shù)學(xué)素質(zhì)的基本數(shù)學(xué)思想方法的考查；試題體現(xiàn)了立體幾何學(xué)科特點(diǎn)的通性、通法，突出和加大了對轉(zhuǎn)化、化歸思想，類比思想及等積變化等基本方法的考查力度。

如：（2003年江蘇卷第12題）一個四面體的所有棱長都為■，四個頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（ ）

A.3π B.4π C.3■π D.6π

此題的最優(yōu)解法是：將這個正四面體放入一個正方體中，再將這個正方體放入球中與球相外接。因?yàn)檎襟w的對角線就是球的直徑，而正四面體的棱就是正方體的側(cè)面對角線。所以，設(shè)正方體的棱長為a，則有■a=■，a=1，∴2R=■a=■，∴R=■，S球=3π。故選A。此題是典型的考查轉(zhuǎn)化、化歸思想。

四、制定合理的復(fù)習(xí)計(jì)劃

（一）復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1.線線、線面、面面平行和垂直的判定與性質(zhì)；三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用；

2.空間向量的概念、性質(zhì)與運(yùn)用；

3.空間角與距離的概念和計(jì)算；

4.特殊棱柱、棱錐的定義、性質(zhì)。

（二）棱柱、棱錐中線線、線面與面面的位置關(guān)系，線線、線面與面面所成角的構(gòu)造與計(jì)算（特別注重向量代數(shù)法來計(jì)算角）復(fù)習(xí)建議

由于高考立體幾何題是中低檔題為主，所以在復(fù)習(xí)時一定要抓好基礎(chǔ)。嚴(yán)抓解題的表述與書寫的規(guī)范性。在傳統(tǒng)的邏輯推理方法中的基本步驟是：“一作（作輔助線），二證明（如證明直線與平面所成的角），三求（求解角或距離等）”。在用向量代數(shù)法時，必須按照“一建系（建立空間直角坐標(biāo)系），二求點(diǎn)的坐標(biāo)，三求向量的坐標(biāo)，四運(yùn)用向量公式求解”。如在證明線面垂直時，應(yīng)證線線垂直時，學(xué)生容易只證與平面內(nèi)一條直線垂直就下結(jié)論，這里應(yīng)強(qiáng)調(diào)證兩條相交直線，缺一不可；用空間向量解決問題時，需要用建立坐標(biāo)系時，一定要說清楚；用三垂線定理作二面角的平面角時，一定得點(diǎn)明斜線在平面上射影。書寫解題過程的最后都必須寫結(jié)題語。

在面積、體積計(jì)算中，要抓住基本圖形的基本量，利用基本量可用方程思想處理計(jì)算問題。長方體的長、寬、高；正三棱錐的側(cè)棱與底面邊長；球的半徑等等，這些基本量是列關(guān)系式的基本元素。

復(fù)習(xí)時，我們還應(yīng)注重與球有關(guān)的問題。球內(nèi)接長方體的對角線等于球的直徑；球內(nèi)接正四面體的棱長與球的直徑的關(guān)系則可以通過相應(yīng)的球內(nèi)接正方體來作中間橋梁，即正四面體的棱長等于正方體的側(cè)面對角線長。如2003年全國卷第12題便是考查這一點(diǎn)。球與截面的問題可類比于圓與弦的問題。

以上是筆者一些膚淺的看法，由于水平有限，不妥之處，敬請專家斧正。

參考文獻(xiàn)：

1.高中數(shù)學(xué)教材《數(shù)學(xué)》第二冊下冊

2.《2010高中總復(fù)習(xí)導(dǎo)與練·理科數(shù)學(xué)》主編韓清海，張鳳，民陜西人民出版社

3.《狀元之路·數(shù)學(xué)B版》策劃梁國順，李利軍，黃穎，北京教育出版社

【責(zé)編 閆 祥】