問題驅(qū)動的高等數(shù)學(xué)中微分的教學(xué)設(shè)計

趙劍

摘 要：微分是高等數(shù)學(xué)中一個重要的概念，也是學(xué)生最難理解的概念之一，對于微積分的學(xué)習(xí)能起到承上啟下的作用。由于概念比較抽象，涉及到極限、無窮小以及無窮小量的階，初學(xué)者對定義難以理解。尤其是微分的定義為“增量的線性主部”，教科書中關(guān)于這種定義的合理性、必然性介紹較少，因此一直是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重點和難點。本文通過對同濟六版高數(shù)教材中的內(nèi)容改進，從微觀和宏觀兩個角度設(shè)計微分教學(xué)，微觀教學(xué)部分注重微分定義的合理性和必然性，宏觀教學(xué)部分則注重微分定義的思想內(nèi)涵以及與極限、積分和級數(shù)的聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：問題驅(qū)動式；教學(xué)模式；高等數(shù)學(xué)；微分；教學(xué)設(shè)計

問題驅(qū)動是指以“問題”為載體，通過一系列的“問題鏈”來引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作研究，使學(xué)生在解決問題的過程中得到進步，實現(xiàn)師生互動，達到提高學(xué)生綜合素質(zhì)的目的。

微分概念是微積分理論中的重要內(nèi)容，它貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終，在教學(xué)中要力求將這個抽象枯燥的概念深入淺出、生動形象地表達出來，這樣易于學(xué)生理解定義微分的合理性和必然性，了解微分概念與已經(jīng)學(xué)習(xí)過的極限和導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系以及與今后學(xué)習(xí)積分的關(guān)系。本文對同濟教材中的引例作了修改，通過設(shè)計多個問題，有意識地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)微分定義的合理性以及與無窮小、高階無窮小、等價無窮小替換和可導(dǎo)性之間的聯(lián)系，強調(diào)微分與導(dǎo)數(shù)的區(qū)別。高等數(shù)學(xué)中有些概念環(huán)環(huán)相扣，微分是為積分做準(zhǔn)備的，這種準(zhǔn)備體現(xiàn)在“微分是增量的線性主部”。本文設(shè)計教學(xué)案例，引導(dǎo)初學(xué)者對這句話的合理性進行理解。同時引入對無窮多個無窮小量求和，也即積分；闡明微分是“為和而分”，是對無窮多個無窮小量求和也即級數(shù)理論。向剛上大學(xué)的新生介紹這些內(nèi)容，目的是引導(dǎo)學(xué)生對高等數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟。

一、微分概念的引入

設(shè)計直觀的教學(xué)引入，易于激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)探索問題的興趣。同濟六版第二章第五節(jié)，微分的引入使用圖1中的圖形，圖1的作用是為了使用實例引出“微分是增量的線性主部”。我們將圖1修改為圖2，圖2的作用除了引出微分的定義，還具有一定的拓展性。極限部分的習(xí)題、級數(shù)和積分的思想都能用圖2得到合理的解釋，使用圖形可視化方法介紹抽象的數(shù)學(xué)概念以及多個與微分有聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念。

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引例：如圖2，一塊均勻等腰直角三角形金屬薄片受溫度影響，其邊長變化如圖中所示，此薄片面積改變了多少？

解：等腰直角三角形的面積為設(shè)為A（x）=■x2，薄片受溫度變化影響時面積的改變量，可以看成是自變量x取x0，增量為Δx時，函數(shù)A（x）=■x2，相應(yīng)的增量為ΔA，即

ΔA（x0）=A（x0+Δx）-A（x0）

=■（x0+Δx）2-■x20=x0Δx+■Δx2 （1）

當(dāng)Δx→0，■■=0，該式表明，圖2面積改變量中，三角形面積除以矩形面積，結(jié)果趨于零，即三角形的面積占矩形的面積的百分比非常小，接近于零。從幾何角度考慮，當(dāng)Δx→0時，面積的該變量主要部分是第一部分x0Δx，而第二部分■Δx2是次要部分。

從上式可以看出，ΔA分成兩部分：第一部分x0Δx是Δx的線性函數(shù)，是面積改變量ΔA的主要部分，即圖2中灰色的矩形部分的面積；第二部分■Δx2是圖中灰色的三角形部分面積，是面積改變量的次要部分，即圖2中的黑色三角形部分的面積。

面積改變量ΔA（x0）=x0Δx+■Δx2=線性主部+線性主部的高階無窮?。é→0），從而面積的改變量ΔA（x0）可以使用第一部分，也即線性主部做近似代替。

教學(xué)過程中還可使用一些深入淺出的語言，比如“留住西瓜，丟掉芝麻”，做形象的比喻。這個比喻可以幫助學(xué)生加深理解無窮小以及高階無窮小概念。

問題1：請問，如果使用下列語言對圖2對應(yīng)的引例作一般性推廣。如果函數(shù)y=f（x）滿足一定條件，則增量Δy可表示為Δy=AΔx+o（Δx），其中A是不依賴于Δx的常數(shù)，因此，AΔx是Δx的線性函數(shù)，且它與Δy之差Δy-AΔx=o（Δx）是比Δx高階的無窮小。所以，使用Δx的線性函數(shù)AΔx來近似代替Δy。

這樣做總能成立嗎？能否運用你學(xué)過的知識解釋一下這樣定義的合理性？Δy=AΔx+o（Δx），式子當(dāng)中的A能否有一般的結(jié)果？

說明：問題1是鍛煉學(xué)生將感性認(rèn)識抽象成一般理論，這個過程需要數(shù)學(xué)的嚴(yán)格證明，提這個問題的出發(fā)點是讓學(xué)生復(fù)習(xí)一下以前學(xué)習(xí)的知識點：（板書）

（1）極限存在的充分必要條件

■f（x）=A？圳f（x）=A+α（x） ■α（x）=0

（2）導(dǎo)數(shù)的定義：■■=f′（x0）

由以上兩個式子可得■=f′（x0）+α（x），■α（x）=0進一步推導(dǎo)可得Δy=f′（x0）Δx+α（x）Δx

因為■■=■α（x）=0，故α（x）Δx=o（Δx），所以Δy=f′（x0）Δx+o（Δx），這個理論推導(dǎo)步驟是檢驗學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對極限存在充要條件和導(dǎo)數(shù)定義兩個知識點的掌握情況。

經(jīng)過推導(dǎo)，不難理解為什么Δy使用Δx的線性函數(shù)AΔx近似代替。而且學(xué)生會有這樣的感受，這個推導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)有關(guān)系，而且A=f′（x0），從而很合理地得到關(guān)于微分的定義。

定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+Δx在這區(qū)間內(nèi)，如果增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）可表示為Δy=AΔx+o（Δx），

其中A是不依賴于Δx的常數(shù)，那么稱函數(shù)y=f（x）在點x0是可微的，而AΔx叫做函數(shù)y=f（x）在點相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy=Adx。

通過以上的分析，學(xué)生可以完成以下兩個問題（留給學(xué)生自己解決）：

（1）證明定理：y=f（x）在x=x0點可微？圳y=f（x）在x=x0點可導(dǎo)。

（2）若y=f（x）在x=x0點可微，則dy=Adx=f′（x0）dx.

介紹了定義以后，有些細(xì)節(jié)問題是學(xué)生看書的時候自己沒法看明白的，這涉及到數(shù)學(xué)的發(fā)展史。教師可設(shè)計一些以舊帶新、遵循知識發(fā)展的連續(xù)性問題，復(fù)習(xí)舊知識，找出新舊知識之間的橋梁，自然過渡到新知識，再通過新舊知識比較，進而加深學(xué)生對新知識的理解。

二、微分概念的強化提升

問題2：（1）微分定義中，使用Δy的線性函數(shù)AΔx來近似代替數(shù)Δy，這可以看成是等價無窮小替換嗎？

（2）微分定義中，Δ和d有區(qū)別嗎？

（3）微分與導(dǎo)數(shù)是兩個相同的概念，你覺得對嗎？

對定義的幾點注記：

（1）Δx→0時，由Δy=AΔx+o（Δx）不難得到■■=■■=1，也即Δx→0時，Δy：AΔx。微分用無窮小理論理解是等價無窮小線性替換。

（2）對于微分符號的說明（數(shù)學(xué)史的介紹，增加數(shù)學(xué)的文化性）：Δ-deirta為希臘字母，表示“差”，d為羅馬字母，differentias表示“差”的含義，取第一個字母，這是德國數(shù)學(xué)家創(chuàng)立的符號。Δx和d的思想含義是相同的，都是分割的意思。萊布尼茨從幾何學(xué)的觀點出發(fā)，而他創(chuàng)立的符號系統(tǒng)十分先進，既表達了概念，又便于計算。

微分也即無限細(xì)分，用數(shù)學(xué)符號表示，也即：若則ΔU→0，則ΔU=dU；從而Δx→0，Δx=dx；Δy→0，Δy=dy.

（3）需要注意微分與導(dǎo)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系：若y=f（x），dy=f′（x）dx，■f′（x），形式上看兩者只是乘除的不同，微分是個無窮小量，導(dǎo)數(shù)反映的是變化率，這是兩者的區(qū)別。若使用微分是增量的線性主部的方法求微分，有時計算往往很難，但是，有了導(dǎo)數(shù)，使用公式dy=f′（x）dx，則很容易計算微分，微分中涉及的增量與變換率有關(guān)，這是兩者的聯(lián)系。

解決了問題1和問題2，只是解決了微分概念的引入、定義、證明、性質(zhì)等過程的微觀教學(xué)任務(wù)。“極限、微分和積分作為高等數(shù)學(xué)中三個重要概念，它們產(chǎn)生、發(fā)展的歷史順序和邏輯順序有其一致性。”作為教師，需要仔細(xì)研讀教材，使學(xué)生掌握知識的整體框架結(jié)構(gòu)。這就需要教師從宏觀上把握，突出知識脈絡(luò)，提升學(xué)生的認(rèn)識高度，從而設(shè)計一些能夠體現(xiàn)宏觀教學(xué)思路的問題，深入淺出，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造熱情。

三、微分與級數(shù)和積分的聯(lián)系

問題3：在《高等數(shù)學(xué)》上冊極限部分習(xí)題，有一道極限計算題■■，這道題做練習(xí)的時候，教師往往強調(diào)先要對分子先求和，然后再計算。對于■■=■■+■■+…+■■=0，有同學(xué)很疑惑為什么是錯誤的。請結(jié)合圖3予以說明。

解：由圖3，將邊長為1的等腰直角三角形分割，近似代替，即使用引例中的代替方法，圖3中所有小矩形條的面積和，即為■=■，則三角形的面積近似等于■，為了減少誤差，可以增加分割細(xì)度，不停細(xì)分，也即n→+∞，求無窮多個無窮小量的和。圖3中邊長為1的等腰直角三角形面積為■，而■■=■■=■，這說明小矩形條的面積的和隨著分割細(xì)度的增大而不斷趨向于三角形的面積。通過以上分析，不難理解■■=■■+■■+…+■■=0為什么是錯誤的，究其原因，極限運算法則只能對有限項和才能使用。

無窮多個無窮小量的和也稱作級數(shù)，從該例可以向?qū)W生介紹一下級數(shù)。

對問題3的解釋說明：初看起來，問題3是一道極限題，實則不然，該題向大家展示了定積分的一般步驟。求出圖4中邊長為1的等腰直角三角形面積的四個步驟：分割、近似代替、求和、取極限。取極限的目的是無限細(xì)分，也即微分，圖4中小梯形為面積的微分，使用圖3中的小矩形條近似代替小梯形，此過程循環(huán)使用圖2中介紹的近似代替過程，也即運用了微分定義中的線性代替方法。如果使用其他方法，學(xué)生可以嘗試計算圖4中所有小梯形面積的和。求和后取極限，大家會發(fā)現(xiàn)這樣做遠(yuǎn)比問題3中的方法復(fù)雜。通過對比，學(xué)生會對微分的“線性代替”思想有更加深刻的認(rèn)識，這樣做是為了容易求和取極限。也即積分，故微分的目的是“為和而分”。

到此，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，明白了積分的基本步驟，積分中的關(guān)鍵是近似代替。但是，等學(xué)生明白過來以后，會有人覺得這樣求等腰直角三角形的面積似有“殺雞用牛刀”的嫌疑。其實這樣做是為了引出微積分的思想過程。為加深學(xué)生對該過程的理解，設(shè)計以下練習(xí)：

求出圖5中y=x2，y=0，x=1所圍成的區(qū)域的面積。

通過問題3，把問題的本質(zhì)揭露出來，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中闡明隱藏在形式背后的原理、脈絡(luò)、思想和方法，盡可能地呈現(xiàn)或部分呈現(xiàn)、還原數(shù)學(xué)研究的過程。相信在這個過程中，學(xué)生對“極限、微分和積分作為高等數(shù)學(xué)中三個重要概念，它們產(chǎn)生、發(fā)展的歷史順序和邏輯順序有其一致性”這句話會有更加深刻的認(rèn)識。

介紹完這個問題，有學(xué)生仍然會對微分過程中在做近似代替時，保留線性主部、舍棄線性主部的高階無窮小不可理解，為此，可設(shè)計如下問題，解釋舍棄線性主部高階無窮小的合理性。

問題4：你如何理解微分過程中做近似代替時，保留線性主部、舍棄線性主部的高階無窮小的合理性。能否結(jié)合圖3給出實例性的說明。

說明：對圖3加以改造。如圖6，通過前面的分析，若將近似代替過程中的誤差項全部平移至右側(cè)高度為1，寬度為■的矩形區(qū)域內(nèi)，在做近似代替過程中，所有的誤差之和不會超過■，無限細(xì)分，也即n→∞時，誤差■→0。此過程說明，“在微分近似代替過程中舍棄的高階無窮小，在求和時，無窮多個高階無窮小的和是仍然是無窮小”，也即誤差會隨著分割程度的不斷細(xì)化而趨向于零，從而微分在做近似代替過程中舍棄高階無窮小項有其合理性，這樣學(xué)生才能真正消除疑惑。這恰恰是微分的精髓所在。

四、微分的一些應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是針對工科的教學(xué)，要培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，使學(xué)生能夠使用一些數(shù)學(xué)方法解決專業(yè)課程相關(guān)的問題，由問題驅(qū)動激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情。這是教學(xué)時選擇教學(xué)內(nèi)容需要注意的一個方面。

在現(xiàn)有的教材中，關(guān)于無窮小的應(yīng)用，通常有幾何方面的應(yīng)用，以直線段近似代替曲線段，比如計算曲線的弧長；函數(shù)的自變量產(chǎn)生微小擾動的近似計算；還可針對不同的專業(yè)，選擇物理、化學(xué)、生物的例子。這些可參考國外的一些教材，比如《托馬斯微積分》。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，中國古代數(shù)學(xué)中的“劉徽割圓”是微積分教學(xué)中的一個常用案例?？蓪⒋税咐薷?，將微分的思想滲透其中，以此說明微分是如何將極限和積分有機結(jié)合在一起的。

問題5：試用微分的思想設(shè)計一實驗，證明半徑為R的元的面積為πR2。

圖7提出了問題，圖8解決了該問題。該問題讓學(xué)生理解了微分的作用是無限細(xì)分近線性代替，目的是為了方便求和，做近似代替，去極限的目的是為了減少誤差，使誤差趨于零。使得近似值無限逼近有限值，這是微積分的思想精髓。

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五、教學(xué)小結(jié)

本課通過一系列的“問題鏈”，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，合作研究。學(xué)生在解決問題的過程中得到進步，實現(xiàn)師生互動，達到提高學(xué)生綜合素質(zhì)的目的。此方法能夠使學(xué)生理解微分的概念，論證函數(shù)微分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，明白“微分概念”在微積分學(xué)中的重要地位。微分的作用是使用線性替代易于求和，使用極限手段是為了減小誤差直至誤差縮小為零。這是微積分思想的真正內(nèi)涵。

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]Finney，Weir，Giordano.托馬斯微積分（第十版）[M].北京：高等教育出版社，2003.