顧森：中文系里的數(shù)學(xué)傳奇

張蕾磊

提到顧森，很多人會(huì)說：“大牛！”因?yàn)?，這個(gè)留著小胡子、溫文爾雅的男生在北京大學(xué)中文系就讀，他開辦了一個(gè)數(shù)學(xué)博客（http：//matrix67.com），八年來一直保持更新，發(fā)表了上千篇文章，有上萬人訂閱。顧森的跨界在高中就開始了，因?yàn)閷?duì)化學(xué)缺乏學(xué)習(xí)熱情，在文理分科時(shí)，他選擇了文科班。于是，顧森成了全校唯一參加信息學(xué)競(jìng)賽的文科生，比賽主要是考察計(jì)算機(jī)算法和編程。高二時(shí)，顧森和同學(xué)們組隊(duì)參加當(dāng)年的全國(guó)青少年信息學(xué)奧林匹克競(jìng)賽，坐著車回重慶的路上，老師接到電話后告訴他：被保送北京大學(xué)了。

我只是打醬油的數(shù)學(xué)愛好者

“我不是一個(gè)數(shù)學(xué)家。我甚至連數(shù)學(xué)專業(yè)的人都不是。我是一個(gè)純粹打醬油的數(shù)學(xué)愛好者，只是比一般的愛好者更加執(zhí)著，更加瘋狂罷了。”顧森說。

顧森從小對(duì)智力題或者是任何靈光一現(xiàn)、靈機(jī)一動(dòng)、讓他感嘆“哦，原來是這樣”的東西感興趣。數(shù)學(xué)常常讓他有“Aha moment”的驚喜和感嘆。高一時(shí)，顧森有天在網(wǎng)上看到一個(gè)問題：設(shè)想一個(gè)平面上布滿間距為1的水平直線和豎直直線，形成由一個(gè)個(gè)單位正方形組成的網(wǎng)格。任意給定一個(gè)面積小于1的圖形，證明這個(gè)圖形總能放在網(wǎng)格中而不包含任何一個(gè)格點(diǎn)。乍看之下，他覺得這簡(jiǎn)直就是一個(gè)世界級(jí)難題，心里毫無思路。他繼續(xù)往下看，出人意料的是，整個(gè)證明過程只占了不到半個(gè)屏幕。顧森還記得當(dāng)時(shí)看完這個(gè)證明后，那種無法言表的震撼之感。“這個(gè)證明太漂亮了！這可能是我第一次如此強(qiáng)烈地體會(huì)到數(shù)學(xué)證明的美妙。之后，我便有意識(shí)地去收集各種精彩的數(shù)學(xué)證明。這些數(shù)學(xué)證明的思路一個(gè)比一個(gè)巧妙，方法一個(gè)比一個(gè)詭異。”同時(shí)，顧森樂于分享，當(dāng)博客興起時(shí)，他非常高興地找到一個(gè)記錄趣味數(shù)學(xué)點(diǎn)滴的工具，他建立了自己的博客，在博客上把搜集到的數(shù)學(xué)趣題、漂亮的數(shù)學(xué)定理跟大家分享，將那些恍然大悟的瞬間傳遞給大家。

跟顧森聊數(shù)學(xué)，他能舉出各種有趣好玩的例子。他經(jīng)常被文科背景的朋友們問一個(gè)問題：數(shù)學(xué)到底哪里有趣了，數(shù)學(xué)之美又在哪里？通常顧森會(huì)講一些簡(jiǎn)單而又深刻的算術(shù)游戲，讓每個(gè)只會(huì)算術(shù)的人都能或多或少地體會(huì)到一些數(shù)學(xué)的美妙。比如這個(gè)經(jīng)典數(shù)字謎題：用1～9組成一個(gè)九位數(shù)，使得這個(gè)數(shù)第一位能被1整除，前兩位組成的兩位數(shù)能被2整除，前三位組成的三位數(shù)能被3整除，以此類推，一直到整個(gè)九位數(shù)能被9整除。顧森會(huì)告訴你，真的有這樣猛的數(shù)：381 654 729。其中3能被1整除，38能被2整除，381能被3整除，一直到整個(gè)數(shù)能被9整除。這個(gè)數(shù)既可以用整除的性質(zhì)一步步推出來，也可以利用計(jì)算機(jī)編程找到。顧森還會(huì)告訴你另一個(gè)有趣的事實(shí)是，在所有由1到9組成的362 880個(gè)不同的九位數(shù)中，381 654 729是唯一一個(gè)滿足要求的數(shù)！對(duì)于顧森來說，數(shù)學(xué)真正吸引人的地方就在于它本身的美，

在顧森眼中，生活里的很多事情可以通過數(shù)學(xué)的方法來解釋、解決。比如，我們喝飲料參與開蓋有獎(jiǎng)活動(dòng)時(shí)，常常會(huì)有被欺騙的感覺：你說中獎(jiǎng)率是千分之一，我憑什么相信你呢？顧森就想過一個(gè)方法，開蓋后顧客會(huì)得到一個(gè)參與活動(dòng)的序列號(hào)，把這個(gè)序列號(hào)短信發(fā)送給活動(dòng)舉辦方參與抽獎(jiǎng)。此時(shí)，活動(dòng)舉辦方的服務(wù)器從1到1000中隨機(jī)生成一個(gè)整數(shù)，并把這個(gè)整數(shù)加上你指定的前綴和它自選的前綴，用公開的單向加密方法加密后發(fā)回給你。你需要猜出服務(wù)器生成的數(shù)是什么，如果猜對(duì)就能中獎(jiǎng)，如果猜錯(cuò)就結(jié)束游戲。發(fā)送了你的猜測(cè)結(jié)果后，服務(wù)器將發(fā)來加密前的信息，確保自己沒有撒謊。這就是密碼學(xué)協(xié)議問題，借助加密解密的數(shù)學(xué)算法構(gòu)建安全措施和防欺騙條約。

對(duì)數(shù)學(xué)熱愛的背后是求知的熱情和思考的樂趣。顧森發(fā)在博客上的每一篇文章都是經(jīng)過深思熟慮、仔細(xì)推敲的，認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃诎l(fā)表之前會(huì)逐字逐字校對(duì)，他無法容忍有一個(gè)錯(cuò)別字。在介紹種種精妙的趣題和證明時(shí)，顧森往往會(huì)改變證明步驟的順序和語(yǔ)言表述的方式，以順應(yīng)人的直觀思維方式，他一定要把證明的巧妙性和啟發(fā)性表現(xiàn)出來。

很多人被他的博客上有趣、精美的數(shù)學(xué)圖形而吸引，顧森坦承：“畫圖很花時(shí)間，我追求完美。很多人給我發(fā)郵件或者網(wǎng)上留言，問得最多的是這些圖怎么畫的，用什么工具畫的。我的回答是：我不是用一個(gè)工具，是用很多不同工具。調(diào)了修、修了改，有些要編程，這些技巧都是慢慢積累的?！?/p>

學(xué)習(xí)有趣的東西，用博客教有趣東西

和顧森聊天時(shí)，聽完提問后他會(huì)低頭整理思路，然后“第一……第二……第三……”地回答，說第一點(diǎn)的時(shí)候扯遠(yuǎn)了，他說完一個(gè)段落后就會(huì)回到原來的話題，從第二點(diǎn)開始講起。顧森說：“我自己知道，說文科生其實(shí)我是不合格的?，F(xiàn)在我的體會(huì)是，學(xué)政治、歷史、地理，如果你真的學(xué)對(duì)了，真的學(xué)習(xí)到那些有趣的東西，是挺好玩的?！?/p>

事實(shí)上，顧森2007年到北大中文系報(bào)到時(shí)，并不了解自己就讀的應(yīng)用語(yǔ)言學(xué)專業(yè)。這是北大2002年開設(shè)的文理兼收專業(yè)，要學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院開設(shè)的高等數(shù)學(xué)、程序設(shè)計(jì)等課程，也要學(xué)中文系開設(shè)的應(yīng)用語(yǔ)言學(xué)專業(yè)課程?！拔彝耆恢缹W(xué)什么，但是學(xué)了很喜歡，應(yīng)用語(yǔ)言學(xué)是理科的一套方法，有很多非常有意思的事情?！鳖櫳χf。

向來愛思考的顧森，在專業(yè)學(xué)習(xí)過程中有很多發(fā)現(xiàn)，他現(xiàn)在特別留意語(yǔ)言學(xué)現(xiàn)象。有次，顧森在餐廳吃飯，看到宣傳資料上的文案寫著：農(nóng)殘檢測(cè)高于國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)。他就笑了：“不是什么東西高于標(biāo)準(zhǔn)都是好事，但是我轉(zhuǎn)念一想，改成低于也不好。問題就來了，怎么改？”當(dāng)時(shí)顧森并沒有想到太好的修改，就把問題留著。一周后，他又去那里吃飯，看到文案已經(jīng)改過了?！拔覇栠^很多人，怎么改？不同人有不同的想法，有人說優(yōu)于、好于，這些都不好。餐廳改得非常漂亮：嚴(yán)于?？吹剿麄兊母姆ê?，我馬上意識(shí)到，語(yǔ)文教學(xué)的目的應(yīng)該是教會(huì)學(xué)生聽說讀寫的能力，這才是語(yǔ)文考試真正該考的東西?！鳖櫳瓘?qiáng)調(diào)這不是咬文嚼字，語(yǔ)文不是只教你怎么寫怎么念，那樣反映不了語(yǔ)文水平。

思考之余，顧森一直有著豐富的實(shí)踐。高三被保送后他就擔(dān)任了學(xué)校信息學(xué)競(jìng)賽的小教員，指導(dǎo)高一高二的學(xué)生。在北京上學(xué)后，顧森在培訓(xùn)機(jī)構(gòu)兼職數(shù)學(xué)教學(xué)工作。他常常思考應(yīng)該教什么，不該教什么，無論是數(shù)學(xué)還是語(yǔ)文、物理等科目，顧森堅(jiān)信教學(xué)的目的只有一個(gè)：讓學(xué)的人思考。

在課堂上，顧森從來不會(huì)照本宣科。他給學(xué)生設(shè)計(jì)問題時(shí)的自我要求是：題本身要吸引人，不包含任何數(shù)據(jù)；問題描述足夠簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)單到不需要任何紙筆記錄，一聽就懂，可以在任何時(shí)候，不需要草稿紙，走在路上就可以去想；要足夠好玩，吸引人，可能跟生活比較貼近，或者跟數(shù)學(xué)的某個(gè)結(jié)論相關(guān)。顧森舉例，A、B兩地，出租車從A往B開，你在路上的某一位置。常規(guī)假設(shè)：出租車是空車、你肯定能打上、車的速度比你快等。提問：為了盡可能快地到達(dá)目的地，你應(yīng)該怎么辦？?jī)煞N思路，一派認(rèn)為應(yīng)該迎著車往A方向走，理由是，車的速度比人快，要盡可能利用車的速度，所以要提前上車。另一派認(rèn)為應(yīng)該順著車往B方向走，理由是人和車都馬不停蹄地往一個(gè)方向走，不浪費(fèi)任何時(shí)間。

顧森班上的課堂討論，學(xué)生們向來是放聲討論的，激動(dòng)了可以拍桌子。他要求學(xué)生們討論時(shí)盡可能想辦法說服別人，即使自己是錯(cuò)的。顧森看重這樣的能力。討論結(jié)束后，不同觀點(diǎn)的小組派代表講解思路。“學(xué)生們?yōu)榱苏f服別人會(huì)講得千奇百怪，其中涉及了很多東西，首先是數(shù)學(xué)直覺，然后是表達(dá)能力。有的人在黑板上寫了、講了，我懂他的意思，但是大家都沒懂，需要我再敘述。”顧森說，“另外就是數(shù)學(xué)的分析和計(jì)算能力。班上曾經(jīng)有個(gè)小孩很巧妙地說服了所有人。兩種方法沒有優(yōu)劣之分，實(shí)際上是一樣的。這個(gè)小孩假設(shè)了路程、人的速度、車的速度，取了幾種不同的選擇，分別算出相遇的時(shí)間、車追上人的時(shí)間，他算出兩種辦法花的時(shí)間結(jié)果是一樣的。這是一個(gè)最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)方法，你不知道誰對(duì)誰錯(cuò)，帶著數(shù)字進(jìn)去算就可以了?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)教育悲哀的地方在于，居然很少有人想到用這樣的辦法把答案找出來。”

針對(duì)例題，顧森解釋，這是尋找不變量的數(shù)學(xué)題，答案非常簡(jiǎn)單，兩個(gè)方案所需要的時(shí)間，顯然是一樣的。你只需要站在車的角度去想，不管人在哪里上車，車都是從A到B，最多加上中途接人的時(shí)間，不管人往哪邊走，車到達(dá)的時(shí)間一樣，所以不論哪個(gè)方法需要的時(shí)間一樣。其實(shí)，顧森還故意留了一個(gè)漏洞，需要排除一種情況：人離B的距離太近了，以至于車還沒有追上人，人已經(jīng)到達(dá)終點(diǎn)了。顧森期待有學(xué)生來質(zhì)疑，等著學(xué)生下課來問?！拔蚁Ｍ业竭@樣的人，能質(zhì)疑老師，質(zhì)疑課本，質(zhì)疑權(quán)威、專家。我覺得這都是數(shù)學(xué)能力?！?/p>

雖然在博客里寫教科書出現(xiàn)的種種錯(cuò)誤、關(guān)心教育改革的進(jìn)程，顧森并不憤青，他有心用全新的眼光重看所有的定義和定理，重新寫一份中學(xué)的數(shù)學(xué)教材，具有可讀性，打破只講成套的理論體系，先定義再證明的套路?！拔叶啻胃苏f起，我的人生理想就是，希望有一天能學(xué)完數(shù)學(xué)中的各個(gè)分支，然后站在一個(gè)至高點(diǎn)，俯瞰整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，真正體會(huì)到數(shù)學(xué)之美。但是，想要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)是很困難的。最大的困難就是缺少一個(gè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的途徑?！?/p>

顧森認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，應(yīng)該和人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的過程一樣，從古人計(jì)數(shù)開始學(xué)起，學(xué)到算術(shù)和幾何，學(xué)到坐標(biāo)系和微積分，了解每個(gè)數(shù)學(xué)分支創(chuàng)立的動(dòng)機(jī)，以及這個(gè)分支曲折的發(fā)展歷程。應(yīng)該在學(xué)習(xí)中體會(huì)到數(shù)學(xué)發(fā)展的每個(gè)瓶頸、每個(gè)全新理論的偉大之處，體會(huì)每一次數(shù)學(xué)危機(jī)讓數(shù)學(xué)家們手忙腳亂的感覺，體會(huì)先有直觀思維再給出形式化描述的艱難。顧森坦言他沒有找到任何用這種方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的途徑，所以他會(huì)花功夫去領(lǐng)悟，然后寫出來。

一有時(shí)間就學(xué)新東西

“大學(xué)里自發(fā)學(xué)習(xí)的精神，現(xiàn)在是越來越少了?！鳖櫳锌Ｓ绕涫峭瑢W(xué)們都忙著考研、留學(xué)、考公務(wù)員，四年里忙著追求績(jī)點(diǎn)和學(xué)分，讀書的功利性非常強(qiáng)。顧森告訴記者，清華大學(xué)有一個(gè)小范圍的學(xué)習(xí)小組，幾個(gè)人每周在一起分享自己很感興趣在學(xué)的東西。“我覺得挺感人的，他們是希望在大學(xué)里重新點(diǎn)燃自我學(xué)習(xí)、自由學(xué)習(xí)的精神。學(xué)習(xí)大家都會(huì)，但是，你不只學(xué)老師告訴你要學(xué)的東西，還選擇性地學(xué)習(xí)自己想學(xué)的東西，甚至能夠選擇性地不學(xué)老師讓你學(xué)習(xí)的東西，我覺得這樣的精神是非常難能可貴的?！鳖櫳肋@個(gè)小組后，很快地融入其中，參加討論會(huì)，頗有收獲。讓他遺憾的是學(xué)習(xí)小組是完全內(nèi)部的分享會(huì)，他希望有了學(xué)習(xí)的心得后能夠在更大的場(chǎng)合分享，讓更多人知道，比如放在網(wǎng)絡(luò)上。但是，小組成員不支持這么做。事實(shí)上，這樣的一次交流活動(dòng)是需要付出大量學(xué)習(xí)時(shí)間的。你可能花兩天時(shí)間學(xué)習(xí)并且體會(huì)到了某些知識(shí)，但是要寫出來或者講出來讓所有人都明白，可能要再花三五天的時(shí)間。很多人覺得花費(fèi)時(shí)間和精力，自己體會(huì)到學(xué)科的美、科學(xué)的魅力就可以了，顧森則是“多了一份心”，他要講出來，讓大家都知道。這也是他堅(jiān)持寫博客的原因之一。“看到別人對(duì)于我的分享由衷地感嘆：啊，這太巧妙了！看到這樣的表情，即使是文字的回復(fù)，我也覺得是一種成就感?！鳖櫳φf。

現(xiàn)在，顧森樂于參加演講和座談。他在Open Party講“與算法有關(guān)的三個(gè)故事”，在萬有青年?duì)Z講“這該死的聲調(diào)”，在南開大學(xué)TEDx講教育現(xiàn)狀等等。比起純粹的寫作，顧森更喜歡面對(duì)面地與人們交流，演講時(shí)的他動(dòng)作豐富，頗有激情，現(xiàn)場(chǎng)總是驚嘆、歡笑、掌聲一片。讓顧森頗為得意的是，他去演講從來不排練，總能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完美結(jié)束?！斑@是有訣竅的，PPT的最后一頁(yè)要留些內(nèi)容，是你能就著PPT來講的，時(shí)間到了就結(jié)束，時(shí)間沒到就接著講?！鳖櫳f，“我還能做到，不論什么時(shí)候結(jié)束都會(huì)有個(gè)圓滿的句子，就像是原本就該這么說的。”說到這里，他忍不住要表?yè)P(yáng)下自己。事實(shí)上，這也得益于顧森在數(shù)學(xué)教學(xué)中的課堂，積累了大量實(shí)踐得來的技巧。顧森演講的效果總是非常好，他善于從特別小的切入點(diǎn)吸引大家，講了一圈后又回到出發(fā)點(diǎn)。顧森在公開場(chǎng)合講的東西一定是他非常熟悉的，已經(jīng)琢磨透了想明白的，新東西他不敢講，一方面是對(duì)聽眾負(fù)責(zé)，另一方面是爛熟于心的內(nèi)容才能站在比較高的位置講，適合普及。

顧森很慶幸自己對(duì)數(shù)學(xué)有如此濃厚的興趣，他說：“有些人覺得自己不快樂、不成功或者說沒有找到方向，可能是他一直沒有找到生下來就決定他會(huì)感興趣的那樣?xùn)|西，辦法就是多嘗試?！睌?shù)學(xué)上的未解之謎多著呢，顧森永遠(yuǎn)不愁沒有事情做，但是，他還有更大的心愿，體驗(yàn)各行各業(yè)的新東西，所以一有時(shí)間他就學(xué)新東西。

雖然從來沒有主動(dòng)參加工作，但是顧森不會(huì)拒絕機(jī)會(huì)。他受邀加入數(shù)學(xué)教學(xué)工作，既賺到生活費(fèi)也對(duì)教學(xué)有了更多思考和實(shí)踐；他在果殼網(wǎng)工作的那段時(shí)間，見證了網(wǎng)站從零到上線到發(fā)展的過程，了解到網(wǎng)站運(yùn)營(yíng)、編輯等的具體工作和思路；他受邀在人人網(wǎng)實(shí)習(xí)，充分發(fā)揮專業(yè)所學(xué)，完成了《互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代的社會(huì)語(yǔ)言學(xué)：基于SNS的文本數(shù)據(jù)挖掘》。顧森不給自己做計(jì)劃，他愿意嘗試各行各業(yè)，去做各種事情。“不是每個(gè)人都能想到以后要干什么的?！鳖櫳f，“我一直是這樣，沒有主動(dòng)去想過做任何事情，都是時(shí)機(jī)來了，各種原因促使我做?！碑?dāng)然，前提是有積累、有準(zhǔn)備，這個(gè)準(zhǔn)備就是你在自己有興趣做的事情上做得夠多、夠深入。