圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖教學(xué)案例

周芙蓉

【案例背景】

我選擇在“圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖”進(jìn)一步學(xué)習(xí)歸納猜想方法，主要是基于：1.在學(xué)習(xí)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖之前，學(xué)生已熟練掌握了圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖各量之間的關(guān)系，并會(huì)正確運(yùn)用圓的周長(zhǎng)，面積公式進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算，學(xué)生具備了學(xué)習(xí)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。2.在本節(jié)課前其實(shí)早在解決有關(guān)角的分類，三角形的分類，圓和圓的位置關(guān)系等問(wèn)題時(shí)，就已經(jīng)使用了這種方法，九年級(jí)的學(xué)生對(duì)此已有了深刻的認(rèn)識(shí)。因此，我在講授此節(jié)內(nèi)容時(shí)，向?qū)W生再介紹歸納猜想點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法并突出其在解決問(wèn)題中的作用，是完全有必要也是符合學(xué)生的實(shí)際的。

【案例描述】

一、學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)、經(jīng)驗(yàn)

1.小學(xué)里我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了圓錐，說(shuō)一說(shuō)生活中哪些物體的形狀類似于圓錐，并用自己的語(yǔ)言描述圓錐，畫(huà)出你想象中的圓錐圖形。（教師可引導(dǎo)學(xué)生更多的著眼于客觀世界，有助于學(xué)生借助已有的生活經(jīng)驗(yàn)抽象出圓錐的幾何圖形。）

教師發(fā)現(xiàn)：大部分學(xué)生能快速解答，展示學(xué)生的數(shù)學(xué)思考如下：

糧倉(cāng)的頂端、草帽、漏斗…

2.用硬紙片剪成如圖1中的圖形，并用透明膠帶把它們固定在游戲棒AB上，旋轉(zhuǎn)棒AB，哪個(gè)圖形能旋轉(zhuǎn)圓錐？請(qǐng)用自己的語(yǔ)言描述另外兩個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)所得的幾何體？

學(xué)生們觀察了一會(huì)兒后，迅速把答案寫(xiě)在了答題板上，教師巡視，發(fā)現(xiàn)除個(gè)別學(xué)生外其余學(xué)生解答正確，并對(duì)學(xué)生獲得的成功加以鼓勵(lì)，同時(shí)找三名同學(xué)說(shuō)出自己的答案。

生一：圖（a）中，把三角形繞AB旋轉(zhuǎn)所得幾何體是圓錐；

生二：圖（b）中，把半圓繞AB旋轉(zhuǎn)所得幾何體是球；

生三：圖（c）中，把直角梯形繞AB旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是上小下大的圓柱。

教師給同學(xué)們以鼓勵(lì)和期待的目光，并訂正學(xué)生三的答案不是圓柱是圓臺(tái)。（通過(guò)該問(wèn)題的回答，不僅使學(xué)生學(xué)會(huì)了觀察、分析、歸納的數(shù)學(xué)方法，獲得了問(wèn)題的解，而且還猜想出具備什么特點(diǎn)的圖形才是圓錐，為歸納猜想的學(xué)習(xí)做了準(zhǔn)備并進(jìn)一步打下基礎(chǔ)）

教師向?qū)W生介紹圓錐的軸、母線、頂點(diǎn)。

二、 探究圓錐的軸、母線和側(cè)面展開(kāi)圖

1.問(wèn)題情景：同學(xué)們剛才解答的前面兩個(gè)問(wèn)題，是通過(guò)對(duì)客觀事物的接觸觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律的。觀察是我們認(rèn)識(shí)事物、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種有效方法。請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察一下：

（1）圓錐的軸有怎樣的特殊位置？

（2）圓錐的母線有什么特性？

（3）如圖3將扇形OA、OB邊用透明膠帶拼合在一起，這時(shí)你發(fā)現(xiàn)了什么？請(qǐng)與你的同學(xué)交流。

（4）圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是什么圖形？

2.展開(kāi)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考

生1：圓錐的軸通過(guò)頂點(diǎn)和底面圓的圓心，并且垂直于底面；

生2：圓錐的母線是旋轉(zhuǎn)中的直角三角形的斜邊，有無(wú)數(shù)條，且長(zhǎng)度相等；

生3：將圖3的OA和OB拼合在一起，則扇形紙片圍成一個(gè)沒(méi)有底面的圓錐。（學(xué)生們自己用剪刀將一張紙剪成了圖3形狀展示給老師看，他們的結(jié)果是一致的。）

生4：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。

教師通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題（1）～（4），用平面圖形空間變換形成幾何體，揭示空間圖形的聯(lián)系，不僅讓學(xué)生嘗試了從不同角度認(rèn)識(shí)圓錐；用不同的方法認(rèn)識(shí)扇形，同時(shí)給學(xué)生提供了一個(gè)經(jīng)歷操作、觀察、分析、猜想與交流的時(shí)間和空間。

3.觀察、歸納、猜想與驗(yàn)證

師：剛才我給大家展示的是一直角三角形繞棒旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體圓錐，如果繞下面那條邊旋轉(zhuǎn)一周，是不是也得到一圓錐呢？

生：是。

師：是不是把一個(gè)直角三角形繞它的任一直角邊旋轉(zhuǎn)一周都得到一個(gè)圓錐？

生：是。

師：完全正確。請(qǐng)同學(xué)們猜想一下是不是任意一個(gè)直角三角形都由此性質(zhì)？誰(shuí)來(lái)驗(yàn)證一下？

生甲：是，讓我來(lái)驗(yàn)證。用我手中的兩個(gè)不同形狀的三角板和剛才自制的與兩三角板形狀又不同的直角三角形紙片分別繞一直角邊旋轉(zhuǎn)。請(qǐng)同學(xué)們觀察旋轉(zhuǎn)后的幾何體是不是都是圓錐？

生：是。

師：非常好。像我們這種發(fā)現(xiàn)規(guī)律，獲得新知識(shí)的方法就是“歸納猜想方法”。即首先，我們從一平面直角三角形繞一直角邊旋轉(zhuǎn)得一幾何體，然后猜想推測(cè)。如果把直角三角形繞另一直角邊旋轉(zhuǎn)會(huì)得到什么圖形？進(jìn)而又提出對(duì)任意直角三角形此結(jié)論都成立嗎？通過(guò)同學(xué)演示驗(yàn)證從而肯定了結(jié)論的正確性。

這個(gè)過(guò)程可簡(jiǎn)要概括為：特例—?dú)w納—猜想—驗(yàn)證。

三、教學(xué)小結(jié)

1.教學(xué)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)

（1）任一直角三角形繞一直角邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓錐。

（2）圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。

2.數(shù)學(xué)思想方法：歸納思想方法。

3.學(xué)法指導(dǎo)：當(dāng)我們面臨一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，采取先從特殊的或簡(jiǎn)單的情況著手解決，并獲得一定的初步經(jīng)驗(yàn)，再把這個(gè)經(jīng)驗(yàn)推廣到更為一般的情況，并提出猜想，然后通過(guò)驗(yàn)證這個(gè)猜想來(lái)獲得新知識(shí)。這是一種獲取新知識(shí)、新規(guī)律的常用策略。因此，我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要逐步掌握，不斷運(yùn)用這種策略。

四、教學(xué)反思

1.數(shù)學(xué)教學(xué)，要密切聯(lián)系學(xué)生的實(shí)際，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有趣的情景，把數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)有機(jī)的結(jié)合起來(lái)。

2.要深入研究學(xué)生，研究教材，改進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)方式。

3.要尊重學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和重視數(shù)學(xué)的思想方法的掌握及應(yīng)用。

4.教師要引領(lǐng)學(xué)生回顧與思考解決問(wèn)題的過(guò)程，讓學(xué)生理解和認(rèn)識(shí)面對(duì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該怎樣來(lái)分析、解決？如何從中提煉出解決問(wèn)題獲取新知識(shí)的思想方法和策略，并自覺(jué)的把學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)聚焦在數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)習(xí)策略上，從中獲得積極的情感經(jīng)驗(yàn)。