關于薄透鏡高斯公式物像關系數(shù)學形式的討論

劉克杰 王文清 李強

[摘要]本文通過對薄透鏡高斯公式物像關系數(shù)學形式的分析和討論，得出其物像關系圖形的數(shù)學形式是雙曲線標準形式的轉化。

[關鍵詞]薄透鏡 高斯公式 雙曲線 轉化

引言

在趙凱華、鐘錫華編著《光學》一書中（第一版），第六十頁上面有這樣一個公式： ，此公式就是關于薄透鏡成像的物像公式的高斯形式，而它就是雙曲線標準形式的轉化。

一、證明高斯公式是雙曲線標準形式的轉化

（一）物像關系圖（可參見書中第六十頁圖6—3）

|f|=a

在上圖中，我們假設它表示的曲線在xoy坐標系下是雙曲

線。那么，根據圖示可寫出雙曲線標準形式為 （1）

下面對標準形式做變換。

首先進行坐標平移，也就使xoy坐標系沿x軸負方向平移

個單位后變?yōu)閤`oy`，這樣就有： （2）

變換為： （3）

把（3）代入（1）式中有：

（4）

以上進行的第一步是坐標平移，下面作第二步工作是坐標旋轉，也就是使x`o`y`坐標軸順時針轉π/4角度變成x``o`y``，

這樣坐標變換就是： （5）

將 代入（5）中可得： （6）

將（6）式代入（4）有：

化簡可得：

將（7）式兩邊同除以x``y``，有： （8）

將（8）式兩邊再同除以a，有： （9）

把（9）式與高斯公式進行比較，聯(lián)系物像關系圖可得

，

圖中是以|f|=a為單位畫出，所以有 ，代替后（9）變?yōu)?，這就是所謂物像公式的高斯形式，其中：

s代表物體離薄透鏡光心之間的距離，也就是物距。

s`代表物體經薄透鏡成像后離薄透鏡光心之間的距離，也就是像距

f代表薄透鏡的焦距。

這樣，就證明了薄透鏡物像公式的高斯形式是雙曲線標準形式的轉化。下面，聯(lián)系雙曲線的性質與成像性質進行比較：

對雙曲線： 的漸近線為y=±x （10）

利用（3）、（6）式將（10）化為在x``o`y``坐標系中，其漸近線的表示為：

化簡得： ，這兩條漸進線如圖中所示。

從（3）、（6）兩式可以得出，標準形式與高斯形式的坐標變換關系為：

二、討論

（一）在雙曲線頂點A處：

，聯(lián)立（3）（6）可解出x``、y``：

這樣即：s=x``=2a，s`=y``=2a。這就表示把物體放在薄透鏡物方空間的二倍焦距的時候，在像方空間的二倍焦距處得到物的像，這就是頂點A所對應的物理意義，即二倍焦距處得到物體成像于二倍焦距處。

（二）在雙曲線頂點o`處：

，聯(lián)立（3）（6）可解出x``、y`` ：

這樣即：

這就表示把物體放在薄透鏡光心處不能成像，所以頂點 的物理意義：光心處物體不能成像。

（三）關于雙曲線的漸近線

這說明它對應的是薄透鏡的焦平面，處于焦平面的點成像無窮遠處，或者無窮遠處的物體成像與焦平面上。

以上就是關于雙曲線與透鏡性質的討論。

[參考文獻]

[1]趙凱華，鐘錫華.光學[M].北京：北京大學出版社，1984：59-60.

[2]樊映川.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，1980：79-83.

（作者單位：包頭師范學院 物理科學與技術學院 內蒙古包頭）