關(guān)于同理可證的教學(xué)準(zhǔn)備

褚寶增　趙俊芳　廉海榮　耿鳳杰

[摘要]同一個(gè)定理中含兩種情況時(shí)，或不同的相似定理間，在證明過程中對(duì)后者往往使用“同理可證”一語代過。多數(shù)證明是明顯的同理可證，然也存在一些證明并不是簡(jiǎn)單的同理，需要做一定的先期變換方可。教師在備課時(shí)應(yīng)當(dāng)有所準(zhǔn)備。

[關(guān)鍵詞]定理證明 同理可證 教師備課

一、同理可證的概念

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的“同理可證”，對(duì)于多年在教學(xué)一線的教師而言，確實(shí)“同理”即“可證”，對(duì)于剛剛接觸到新的學(xué)習(xí)內(nèi)容的學(xué)生而言，覺得“同理”未必“可證”。如何避免課堂教學(xué)過程當(dāng)中學(xué)生提問的突然性，就要求教師在課堂教學(xué)前對(duì)“同理可證”做充分的教學(xué)準(zhǔn)備。

“同理可證”是數(shù)學(xué)定理證明中時(shí)常使用的手段，其具有易于閱讀、過程簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)。從數(shù)學(xué)理論上說，證明命題A與證明命題B同理是指：證明命題A與證明命題B或者用了相同的定理，或者用了相同的方法[1]。

“同理可證”的使用，必須注意同理的對(duì)應(yīng)范圍，且“同理”得出的結(jié)論必須是明顯的，如果過程復(fù)雜，不建議用“同理可證”。特別是具有對(duì)稱性時(shí)，最應(yīng)選擇“同理可證”。

二、直接的同理可證

例如在《高等數(shù)學(xué)》中，關(guān)于極限保號(hào)性的定理，就應(yīng)該用“同理可證”的手段[2]。

定理（局部保號(hào)性） 若 （或<0），

則對(duì)任意正數(shù)r（0

使得對(duì)一切x∈N ，恒有地f（x）>r>0（或f（x）<-r<0）。

證明：當(dāng)A>0時(shí)，取ε=A-r>0，由函數(shù)極限的定義，存在正數(shù)δ，使得對(duì)一切 x∈N 有|f（x）-A|

即0

所以 f（x）>r>0

當(dāng)A<0時(shí)，此處適合使用“同理可證”。“同理”過程如下：

取ε=-A-r>0，由函數(shù)極限的定義，存在正數(shù)δ，

使得對(duì)一切x∈N 有|f（x）-A|

即2A+r=A-（-A-r）

所以f（x）<-r<0

從上面這個(gè)例子可以看出，除了極少數(shù)細(xì)節(jié)外，其證明過程幾乎完全一樣[3]。

三、需要調(diào)整后的同理可證

例如在《積分變換》中，關(guān)于Fourier變換的卷積定理，就無法直接用“同理可證”的手段[4]。

定理 設(shè)函數(shù)f1（x）和f2（x）都滿足Fourier積分定理的條件，則

① （1）

② （2）

證明①：有定義

交換積分次序得

在內(nèi)層積分中令x-η=y，則

于是

在證明定理中結(jié)論②時(shí)，顯然不是直接的“同理可證”。因?yàn)槎ɡ斫Y(jié)論①中等號(hào)左邊中括號(hào)里是“卷積”，而定理結(jié)論②中等號(hào)左邊中括號(hào)里是“乘積”，意義完全不同。為了解決教材中的“同理可證”，需對(duì)定理的結(jié)論②做如下處理：

要證明（2）式，即須等價(jià)證明

即

亦即

（3）

此時(shí)的（3）式與（1）式差別只在F與F-1、1與2π兩點(diǎn)了，由此再結(jié)合Fourier逆變換的定義

（3）式與（1）式“同理可證”才稱順理成章了。

總之，對(duì)帶有隱蔽性的“同理可證”，教師必須加以小心并課前充分準(zhǔn)備。

[參考文獻(xiàn)]

[1]印鑒，李師賢.一種基于事例推理的檢索模型[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1999，2：1-10.

[2]褚寶增，陳兆斗.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2008年8月.

[3] 趙明方.Max（f，g）與Min（f，g）的若干性質(zhì)及其應(yīng)用[J].四川師院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1981，3：12-16.

[4] 張?jiān)?積分變換[M].北京：高等教育出版社，2003年12月.

（作者單位：中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）數(shù)理學(xué)院 北京）