不同時(shí)段拉球?qū)ζ古仪蚧∪η蛐Ч绊懙奶接?/h1>
2013-04-25 08:19:10唐東陽肖丹丹徐金陸
哈爾濱體育學(xué)院學(xué)報(bào) 2013年1期
唐東陽，肖丹丹，徐金陸，冷 黎
1 問題的提出
1959年第25屆世界乒乓球錦標(biāo)賽后，日本選手為了對(duì)付中國的近臺(tái)快攻打法和歐洲的削球打法，在一般拉球的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造了上旋很強(qiáng)的弧圈球技術(shù)。通過不斷實(shí)踐和探索，發(fā)現(xiàn)正確的擊球時(shí)間，有助于提高擊球的準(zhǔn)確性和威脅性［1］。在不同時(shí)段拉球?qū)∪η虻男Ч心男┯绊懩?為什么有這些影響呢?文章試圖通過對(duì)拉球過程的物理分析，找出其規(guī)律性，加深對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)的理論認(rèn)識(shí)。
2 弧圈球效果參數(shù)確立
弧圈球的效果在于提高了擊球的穩(wěn)定性和威脅性，衡量弧圈球效果的參數(shù)有很多，如球的旋轉(zhuǎn)速度、平動(dòng)速度、弧線高度、弧線打出距離、落點(diǎn)等等。擊球的穩(wěn)定性一方面是由于球的旋轉(zhuǎn)引起的馬格努斯力使得球的打出距離縮短，回球不易出臺(tái);另一方面是由于球拍對(duì)球的摩擦使球產(chǎn)生向前上方的切向平動(dòng)速度，使球更容易過網(wǎng)。而擊球的威脅性主要是受球的旋轉(zhuǎn)速度、平動(dòng)速度的大小和方向、弧線的高度、落點(diǎn)等多方面的影響。但拉球時(shí)球離開球拍時(shí)的切向方向平動(dòng)速度的大小和旋轉(zhuǎn)速度的大小對(duì)于弧圈球的穩(wěn)定性和威脅無疑具有重要作用，切向方向平動(dòng)初速度越大，球越容易過網(wǎng)，旋轉(zhuǎn)速度越大，球的威脅性越大。［2］因此拉球時(shí)球離開球拍時(shí)的切向方向平動(dòng)速度的大小和旋轉(zhuǎn)速度的大小可以作為衡量弧圈球效果眾多參數(shù)之中的兩個(gè)重要參數(shù)。
3 對(duì)方來球彈起弧線各階段球的平動(dòng)初速度的變化及分段
圖1 來球彈起后的不同擊球時(shí)段示意圖
對(duì)方來球從桌面彈起后，其運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋弧線，一般情況下可把其粗分為上升期、高點(diǎn)期、下降期(如圖1)。［3］在球的彈起弧線各階段，由于重力加速度的作用，來球的平動(dòng)初速度V0的大小和方向不斷改變，如圖2所示:
圖2 來球在不同時(shí)段平動(dòng)初速度方向變化示意圖
假如在不同時(shí)段拉球時(shí)球拍的傾斜角不變，設(shè)拉球時(shí)球拍切向揮拍速度為V，則來球平動(dòng)初速度V0的方向和拍面切向方向的夾角會(huì)不斷變化，如圖3所示:
圖3 彈起弧線上球的平動(dòng)初速度和拍面夾角變化示意圖
由于來球平動(dòng)初速度V0的方向和拍面方向的夾角也不斷變化，V0在拍面切向方向上的分速度V1以及拍面法向方向的分速度V2的大小和方向也會(huì)發(fā)生變化。圖3 中畫出了10 種不同時(shí)期V0和切向揮拍速度V 的夾角變化情況?？梢钥闯觯? 種情況時(shí)球的平動(dòng)初速度V0和球拍切向方向垂直，此時(shí)球的平動(dòng)初速度在拍面的切向方向上分速度為，我們稱之為臨界點(diǎn)一;在情況9 時(shí)，球的平動(dòng)初速度V0和拍面切向方向平行，此時(shí)球的平動(dòng)初速度V0在拍面的法向方向上分速度為，我們稱之為臨界點(diǎn)二。顯然，球拍傾斜程度不同，切向方向揮拍速度V0的方向也不同，臨界點(diǎn)一和二的位置也不同。
在球運(yùn)行到平動(dòng)初速度V0和拍面切向方向垂直(圖3 中的情況3)之前，我們可以把球的平動(dòng)初速度V0分解為沿球拍的切向方向的速度V1和法向方向的速度V2，如圖4所示:
圖4 在臨界點(diǎn)一前球的平動(dòng)初速度分解示意圖
把球運(yùn)行在臨界點(diǎn)一到臨界點(diǎn)二之間時(shí)的平動(dòng)初速度V0同樣進(jìn)行分解，如圖5所示:
圖5 在臨界點(diǎn)一和臨界點(diǎn)二之間球的平動(dòng)初速度分解示意圖
把球運(yùn)行在臨界點(diǎn)二之后的平動(dòng)初速度V0同樣進(jìn)行分解，如圖6所示。
圖6 在臨界點(diǎn)二之后球的平動(dòng)初速度分解示意圖
從圖4～6 中可以看出，在臨界點(diǎn)一之前，球的平動(dòng)初速度V0在球拍切向方向的分速度V1和切向揮拍速度V 方向相同，法向分速度V2指向球拍;在臨界點(diǎn)一和臨界點(diǎn)二之間，球的平動(dòng)初速度V0在球拍切向方向的分速度V1和切向揮拍速度V 方向相同，法向分速度V2指向球拍;在臨界點(diǎn)二之后，球的平動(dòng)初速度V0在球拍切向方向的分速度V1和切向揮拍速度V 相反，法向分速度背向球拍。因此，我們把拉球的時(shí)間進(jìn)行新的分段，粗分為:臨界點(diǎn)一之前，臨界點(diǎn)一，臨界點(diǎn)一到臨界點(diǎn)二之間，臨界點(diǎn)二，臨界點(diǎn)二之后。顯然，臨界點(diǎn)的位置隨球拍切向揮拍方向的不同而不同，實(shí)際也就是與拉球時(shí)球拍的傾斜角的不同而不同。
4 在不同時(shí)段拉弧圈球的摩擦過程分析
拉弧圈球時(shí)，球和球拍的作用比較復(fù)雜，球和球拍之間既有法向方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，球在球拍上還可能有切向方向的滑動(dòng)，以及滾動(dòng)，還可能是一個(gè)既滑又滾的過程，因此球拍和球之間的摩擦力的性質(zhì)和方向、大小比較復(fù)雜。在作用過程中，既涉及到滑動(dòng)摩擦力，也涉及到靜摩擦力，還可能涉及到摩擦力偶矩。但主要以滑動(dòng)摩擦力為主，為研究方便，本文只考慮滑動(dòng)摩擦力。下面我們對(duì)不同時(shí)段拉弧圈球的摩擦過程進(jìn)行物理分析:
4.1 在臨界點(diǎn)一之前拉弧圈球
規(guī)定球拍沿拍面方向揮拍速度為V 為正方向(以本方為參照物，下同)。此時(shí)球的平動(dòng)初速度在切向方向上的分速度V1和切向揮拍速度方向V一致，在法向方向上分速度V2指向球拍，由于V1和V 的方向一致，球拍和球之間的滑動(dòng)摩擦力的大小和方向需根據(jù)它們之間的大小關(guān)系來確定。
如果V1＞V，球受到的摩擦力f 的方向與揮拍方向V 相反，(如圖7所示)此時(shí)不能拉出弧圈球。
圖7 在臨界點(diǎn)一之前拉球且V1 ＞V 時(shí)球的受力示意圖
如果V1＜V，球受到的摩擦力方向f 與揮拍方向V 相同，(如圖8所示)我們對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分析:
圖8 在臨界點(diǎn)一之前拉球且V1＜V 時(shí)球的受力示意圖
設(shè)球與球拍之間的摩擦系數(shù)為μ，球的質(zhì)量為m，半徑為r，球與球拍作用時(shí)間為t，球拍和球法向方向的作用力(正壓力)為N，f 為球與球拍之間的滑動(dòng)摩擦力，球獲得的切線方向的平動(dòng)加速度為ac，平動(dòng)速度為Vt，旋轉(zhuǎn)角加速度為β，角速度為ωt，球與球拍接觸點(diǎn)A 的線速度為VA。由于球的重量相對(duì)于碰撞力和摩擦力很小，因此在作用過程中，可暫時(shí)不考慮重力。
其中，I 為球?qū)χ睆降霓D(zhuǎn)動(dòng)慣量，由于乒乓球?yàn)橐槐∏驓ぃ虼?。?］，滑動(dòng)摩擦力f =μN(yùn)，代入計(jì)算得:
前面已經(jīng)指出，球切向方向的平動(dòng)速度Vt和球的旋轉(zhuǎn)角速度ωt是衡量拉弧圈球效果的兩個(gè)重要參數(shù)。但是，隨著t 的增大，VA也逐漸增大，當(dāng)VA=V 時(shí)，球和球拍切向方向上相對(duì)平動(dòng)速度為零，此后球?qū)⒅蛔黾儩L動(dòng)，沒有滑動(dòng)，此時(shí)球不再受到摩擦力f，f=μN(yùn) 不再成立，球切向方向的平動(dòng)速度和旋轉(zhuǎn)速度達(dá)到最大值，此后不再增加。［5］
令
則
代入(6)式得:
代入(7)式得:
但球是否能夠達(dá)到最大的切向平動(dòng)速度和旋轉(zhuǎn)速度，取決于摩擦?xí)r間，只有摩擦?xí)r間足夠長(zhǎng)，球才能達(dá)到最大的切向平動(dòng)速度Vmax和最大旋轉(zhuǎn)速度ωmax。對(duì)于不同情況這個(gè)摩擦?xí)r間的測(cè)定，有待于進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)測(cè)定。本文假設(shè)摩擦?xí)r間充足，拉球能達(dá)到最大的切向平動(dòng)速度Vmax和ωmax最大旋轉(zhuǎn)速度。
4.2 在臨界點(diǎn)一拉球
在臨界點(diǎn)一拉球時(shí)，由于球的平動(dòng)初速度V0和球拍垂直，在球拍切向方向的分速度V1=0
圖9 在臨界點(diǎn)一拉球時(shí)球的受力示意圖
此時(shí)有:
4.3 在臨界點(diǎn)一到臨界二之間拉球
圖10 在臨界點(diǎn)一到臨界點(diǎn)二拉球時(shí)球的受力示意圖
在臨界點(diǎn)一臨界點(diǎn)一到臨界二之間拉球，球的平動(dòng)初速度V0在球拍切向方向的分速度V1的方向與球拍切向揮拍速度V 方向相反。
此時(shí)有:
4.4 在臨界點(diǎn)二拉球
在臨界點(diǎn)二位置時(shí)，球的平動(dòng)初速度V0和球拍切向揮拍方向平行，在球拍切向方向的分量V1就是V0，在拍面法向方向上的分速度為，球的受力如圖11。
圖11 在臨界點(diǎn)二拉球時(shí)球的受力示意圖
其他情況和在臨界點(diǎn)一到臨界點(diǎn)二之間拉球一樣。
4.5 在臨界點(diǎn)二以后拉球
在臨界點(diǎn)以后，球的平動(dòng)初速度V0在球拍法向方向的分速度V2的方向與球拍法向揮拍方向相同，在球拍切向方向上的分量和切向揮拍方向相反，球的受力如如圖12。
圖12 在臨界點(diǎn)二拉球時(shí)球的受力示意圖
其他情況和在臨界點(diǎn)一到臨界點(diǎn)二之間拉球一樣。
5 討論與比較
5.1 不同時(shí)段球的法向平動(dòng)初速度的大小和方向?qū)蛐Ч挠绊?/h3>
從前面的分析可以看出，球達(dá)到最大切向平動(dòng)速度Vmax和最大旋轉(zhuǎn)速度ωmax所用時(shí)間與N 成反比，而正壓力N 是由作用前瞬間球拍和球法向方向的相對(duì)速度大小決定的，因此，法向方向揮拍速度越大，球達(dá)到最大切向平動(dòng)速度Vmax和最大旋轉(zhuǎn)速度ωmax所用時(shí)間越短。如果球拍法向方向揮拍速度相同的情況下，在臨界點(diǎn)二之前，由于球的平動(dòng)初速度在法向方向上的分速度V2都是和球拍法向方向的揮拍方向相反，相對(duì)速度N 較大，因此正壓力較大，摩擦力也較大。而在臨界點(diǎn)二之后，球的平動(dòng)初速度V2在法向方向上的分速度和球拍法向方向的揮拍方向相同，相對(duì)速度較小，因此正壓力N 較小，摩擦力較小。因此，在不同的階段拉球，需要不同的法向揮拍速度，在臨界點(diǎn)一時(shí)最小，臨界點(diǎn)二之后拉球需要更大的法向揮拍速度。
5.2 不同時(shí)段球的切向平動(dòng)初速度的大小和方向?qū)蛐Ч挠绊?/h3>
從前面的分析可以看出，在不同階段拉球，球的最大切向平動(dòng)速度Vmax和最大旋轉(zhuǎn)速度ωmax都與作用前瞬間球在拍面切向方向的分速度V1有關(guān)。在臨界點(diǎn)一之前拉球，Vmax和V1正相關(guān)，ωmax和V1負(fù)相關(guān);在臨界點(diǎn)一之后拉球，Vmax和V1負(fù)相關(guān)，ωmax和V1正相關(guān)。因此，在臨界點(diǎn)一之前拉球，球作用前瞬間的拍面切線方向上的分速度V1有利于球獲得較大的Vmax，但不利于獲得較大的ωmax;在臨界點(diǎn)一之后拉球，球作用前瞬間的拍面切線方向上的分速度V1不利于球獲得較大的Vmax，但有利于獲得較大的ωmax。因此在臨界點(diǎn)一前拉球，拉球更容易過網(wǎng)，但旋轉(zhuǎn)效果不如在臨界點(diǎn)一之后拉球，在臨界點(diǎn)一之后拉球，拉球不容易過網(wǎng)，但旋轉(zhuǎn)效果更佳。
5.3 不同時(shí)段拉球球拍切向方向揮拍速度對(duì)拉球效果的影響
在前面的分析中可以看出，在不同時(shí)段拉球球拍與球作用前瞬間球拍切向方向的揮拍速度V 對(duì)拉球效果也有影響。在臨界點(diǎn)一之前拉球，如果V＜V1，球受到的摩擦力f 的方向與切向揮拍方向V相反，摩擦力的方向與切向揮拍方向相反，根本拉不出弧圈球來。只有當(dāng)V ＞V1，摩擦力的方向才和切向揮拍方向一致，才能拉出弧圈球。而且球所能達(dá)到的最大切向平動(dòng)初速度Vmax和Vmax旋轉(zhuǎn)速度都和球拍切向方向的揮拍速度V 正相關(guān)。球拍切向方向的揮拍速度V 越大，Vmax和ωmax也越大。因此，增大球拍切向方向揮拍速度能提高拉球效果。
6 結(jié)論
(1)根據(jù)來球彈起弧線球的初速度與切向揮拍方向的夾角的不同，可把拉球的時(shí)段重新劃分為:臨界點(diǎn)一之前拉球，在臨界點(diǎn)一拉球，臨界點(diǎn)一到臨界點(diǎn)二之間拉球，臨界點(diǎn)二拉球，在臨界點(diǎn)二之后拉球。對(duì)同樣的來球，拉球時(shí)球拍傾斜程度不同，臨界點(diǎn)的位置也不同。
(2)在臨界點(diǎn)一之前拉球，拉球容易過網(wǎng)，但旋轉(zhuǎn)效果較差;在臨界點(diǎn)二之后拉球，球不容易過網(wǎng)，但旋轉(zhuǎn)效果較好。
(3)在臨界點(diǎn)二之后拉球，需要更大的法向揮拍速度。
(4)拉球時(shí)切向揮拍速度越大，球越容易過網(wǎng)，旋轉(zhuǎn)效果也越好。
(5)無論在哪個(gè)時(shí)段拉球，都需要盡量增大摩擦?xí)r間，以保證拉球效果。
［1］蘇丕仁.現(xiàn)代乒乓球運(yùn)動(dòng)教學(xué)與訓(xùn)練［M］.北京:人民體育出版社，2003:84.
［2］唐東陽，肖丹丹.弧圈球技術(shù)集擊球穩(wěn)健性和威脅性于一體的物理分析［J］.中國體育科技，2011，47(5):52－55.
［3］劉建和.乒乓球教學(xué)與訓(xùn)練［M］.北京:人民體育出版社，2004:7.
［4］漆安慎，杜嬋英.力學(xué)基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社，1991:307.
［5］周衍柏.理論力學(xué)教程［M］.北京:高等教育出版社，1986:237－238.
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唐東陽，肖丹丹，徐金陸，冷 黎
1 問題的提出
1959年第25屆世界乒乓球錦標(biāo)賽后，日本選手為了對(duì)付中國的近臺(tái)快攻打法和歐洲的削球打法，在一般拉球的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造了上旋很強(qiáng)的弧圈球技術(shù)。通過不斷實(shí)踐和探索，發(fā)現(xiàn)正確的擊球時(shí)間，有助于提高擊球的準(zhǔn)確性和威脅性［1］。在不同時(shí)段拉球?qū)∪η虻男Ч心男┯绊懩?為什么有這些影響呢?文章試圖通過對(duì)拉球過程的物理分析，找出其規(guī)律性，加深對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)的理論認(rèn)識(shí)。
2 弧圈球效果參數(shù)確立
弧圈球的效果在于提高了擊球的穩(wěn)定性和威脅性，衡量弧圈球效果的參數(shù)有很多，如球的旋轉(zhuǎn)速度、平動(dòng)速度、弧線高度、弧線打出距離、落點(diǎn)等等。擊球的穩(wěn)定性一方面是由于球的旋轉(zhuǎn)引起的馬格努斯力使得球的打出距離縮短，回球不易出臺(tái);另一方面是由于球拍對(duì)球的摩擦使球產(chǎn)生向前上方的切向平動(dòng)速度，使球更容易過網(wǎng)。而擊球的威脅性主要是受球的旋轉(zhuǎn)速度、平動(dòng)速度的大小和方向、弧線的高度、落點(diǎn)等多方面的影響。但拉球時(shí)球離開球拍時(shí)的切向方向平動(dòng)速度的大小和旋轉(zhuǎn)速度的大小對(duì)于弧圈球的穩(wěn)定性和威脅無疑具有重要作用，切向方向平動(dòng)初速度越大，球越容易過網(wǎng)，旋轉(zhuǎn)速度越大，球的威脅性越大。［2］因此拉球時(shí)球離開球拍時(shí)的切向方向平動(dòng)速度的大小和旋轉(zhuǎn)速度的大小可以作為衡量弧圈球效果眾多參數(shù)之中的兩個(gè)重要參數(shù)。
3 對(duì)方來球彈起弧線各階段球的平動(dòng)初速度的變化及分段
圖1 來球彈起后的不同擊球時(shí)段示意圖
對(duì)方來球從桌面彈起后，其運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋弧線，一般情況下可把其粗分為上升期、高點(diǎn)期、下降期(如圖1)。［3］在球的彈起弧線各階段，由于重力加速度的作用，來球的平動(dòng)初速度V0的大小和方向不斷改變，如圖2所示:
圖2 來球在不同時(shí)段平動(dòng)初速度方向變化示意圖
假如在不同時(shí)段拉球時(shí)球拍的傾斜角不變，設(shè)拉球時(shí)球拍切向揮拍速度為V，則來球平動(dòng)初速度V0的方向和拍面切向方向的夾角會(huì)不斷變化，如圖3所示:
圖3 彈起弧線上球的平動(dòng)初速度和拍面夾角變化示意圖
由于來球平動(dòng)初速度V0的方向和拍面方向的夾角也不斷變化，V0在拍面切向方向上的分速度V1以及拍面法向方向的分速度V2的大小和方向也會(huì)發(fā)生變化。圖3 中畫出了10 種不同時(shí)期V0和切向揮拍速度V 的夾角變化情況?？梢钥闯觯? 種情況時(shí)球的平動(dòng)初速度V0和球拍切向方向垂直，此時(shí)球的平動(dòng)初速度在拍面的切向方向上分速度為，我們稱之為臨界點(diǎn)一;在情況9 時(shí)，球的平動(dòng)初速度V0和拍面切向方向平行，此時(shí)球的平動(dòng)初速度V0在拍面的法向方向上分速度為，我們稱之為臨界點(diǎn)二。顯然，球拍傾斜程度不同，切向方向揮拍速度V0的方向也不同，臨界點(diǎn)一和二的位置也不同。
在球運(yùn)行到平動(dòng)初速度V0和拍面切向方向垂直(圖3 中的情況3)之前，我們可以把球的平動(dòng)初速度V0分解為沿球拍的切向方向的速度V1和法向方向的速度V2，如圖4所示:
圖4 在臨界點(diǎn)一前球的平動(dòng)初速度分解示意圖
把球運(yùn)行在臨界點(diǎn)一到臨界點(diǎn)二之間時(shí)的平動(dòng)初速度V0同樣進(jìn)行分解，如圖5所示:
圖5 在臨界點(diǎn)一和臨界點(diǎn)二之間球的平動(dòng)初速度分解示意圖
把球運(yùn)行在臨界點(diǎn)二之后的平動(dòng)初速度V0同樣進(jìn)行分解，如圖6所示。
圖6 在臨界點(diǎn)二之后球的平動(dòng)初速度分解示意圖
從圖4～6 中可以看出，在臨界點(diǎn)一之前，球的平動(dòng)初速度V0在球拍切向方向的分速度V1和切向揮拍速度V 方向相同，法向分速度V2指向球拍;在臨界點(diǎn)一和臨界點(diǎn)二之間，球的平動(dòng)初速度V0在球拍切向方向的分速度V1和切向揮拍速度V 方向相同，法向分速度V2指向球拍;在臨界點(diǎn)二之后，球的平動(dòng)初速度V0在球拍切向方向的分速度V1和切向揮拍速度V 相反，法向分速度背向球拍。因此，我們把拉球的時(shí)間進(jìn)行新的分段，粗分為:臨界點(diǎn)一之前，臨界點(diǎn)一，臨界點(diǎn)一到臨界點(diǎn)二之間，臨界點(diǎn)二，臨界點(diǎn)二之后。顯然，臨界點(diǎn)的位置隨球拍切向揮拍方向的不同而不同，實(shí)際也就是與拉球時(shí)球拍的傾斜角的不同而不同。
4 在不同時(shí)段拉弧圈球的摩擦過程分析
拉弧圈球時(shí)，球和球拍的作用比較復(fù)雜，球和球拍之間既有法向方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，球在球拍上還可能有切向方向的滑動(dòng)，以及滾動(dòng)，還可能是一個(gè)既滑又滾的過程，因此球拍和球之間的摩擦力的性質(zhì)和方向、大小比較復(fù)雜。在作用過程中，既涉及到滑動(dòng)摩擦力，也涉及到靜摩擦力，還可能涉及到摩擦力偶矩。但主要以滑動(dòng)摩擦力為主，為研究方便，本文只考慮滑動(dòng)摩擦力。下面我們對(duì)不同時(shí)段拉弧圈球的摩擦過程進(jìn)行物理分析:
4.1 在臨界點(diǎn)一之前拉弧圈球
規(guī)定球拍沿拍面方向揮拍速度為V 為正方向(以本方為參照物，下同)。此時(shí)球的平動(dòng)初速度在切向方向上的分速度V1和切向揮拍速度方向V一致，在法向方向上分速度V2指向球拍，由于V1和V 的方向一致，球拍和球之間的滑動(dòng)摩擦力的大小和方向需根據(jù)它們之間的大小關(guān)系來確定。
如果V1＞V，球受到的摩擦力f 的方向與揮拍方向V 相反，(如圖7所示)此時(shí)不能拉出弧圈球。
圖7 在臨界點(diǎn)一之前拉球且V1 ＞V 時(shí)球的受力示意圖
如果V1＜V，球受到的摩擦力方向f 與揮拍方向V 相同，(如圖8所示)我們對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分析:
圖8 在臨界點(diǎn)一之前拉球且V1＜V 時(shí)球的受力示意圖
設(shè)球與球拍之間的摩擦系數(shù)為μ，球的質(zhì)量為m，半徑為r，球與球拍作用時(shí)間為t，球拍和球法向方向的作用力(正壓力)為N，f 為球與球拍之間的滑動(dòng)摩擦力，球獲得的切線方向的平動(dòng)加速度為ac，平動(dòng)速度為Vt，旋轉(zhuǎn)角加速度為β，角速度為ωt，球與球拍接觸點(diǎn)A 的線速度為VA。由于球的重量相對(duì)于碰撞力和摩擦力很小，因此在作用過程中，可暫時(shí)不考慮重力。
其中，I 為球?qū)χ睆降霓D(zhuǎn)動(dòng)慣量，由于乒乓球?yàn)橐槐∏驓ぃ虼?。?］，滑動(dòng)摩擦力f =μN(yùn)，代入計(jì)算得:
前面已經(jīng)指出，球切向方向的平動(dòng)速度Vt和球的旋轉(zhuǎn)角速度ωt是衡量拉弧圈球效果的兩個(gè)重要參數(shù)。但是，隨著t 的增大，VA也逐漸增大，當(dāng)VA=V 時(shí)，球和球拍切向方向上相對(duì)平動(dòng)速度為零，此后球?qū)⒅蛔黾儩L動(dòng)，沒有滑動(dòng)，此時(shí)球不再受到摩擦力f，f=μN(yùn) 不再成立，球切向方向的平動(dòng)速度和旋轉(zhuǎn)速度達(dá)到最大值，此后不再增加。［5］
令
則
代入(6)式得:
代入(7)式得:
但球是否能夠達(dá)到最大的切向平動(dòng)速度和旋轉(zhuǎn)速度，取決于摩擦?xí)r間，只有摩擦?xí)r間足夠長(zhǎng)，球才能達(dá)到最大的切向平動(dòng)速度Vmax和最大旋轉(zhuǎn)速度ωmax。對(duì)于不同情況這個(gè)摩擦?xí)r間的測(cè)定，有待于進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)測(cè)定。本文假設(shè)摩擦?xí)r間充足，拉球能達(dá)到最大的切向平動(dòng)速度Vmax和ωmax最大旋轉(zhuǎn)速度。
4.2 在臨界點(diǎn)一拉球
在臨界點(diǎn)一拉球時(shí)，由于球的平動(dòng)初速度V0和球拍垂直，在球拍切向方向的分速度V1=0
圖9 在臨界點(diǎn)一拉球時(shí)球的受力示意圖
此時(shí)有:
4.3 在臨界點(diǎn)一到臨界二之間拉球
圖10 在臨界點(diǎn)一到臨界點(diǎn)二拉球時(shí)球的受力示意圖
在臨界點(diǎn)一臨界點(diǎn)一到臨界二之間拉球，球的平動(dòng)初速度V0在球拍切向方向的分速度V1的方向與球拍切向揮拍速度V 方向相反。
此時(shí)有:
4.4 在臨界點(diǎn)二拉球
在臨界點(diǎn)二位置時(shí)，球的平動(dòng)初速度V0和球拍切向揮拍方向平行，在球拍切向方向的分量V1就是V0，在拍面法向方向上的分速度為，球的受力如圖11。
圖11 在臨界點(diǎn)二拉球時(shí)球的受力示意圖
其他情況和在臨界點(diǎn)一到臨界點(diǎn)二之間拉球一樣。
4.5 在臨界點(diǎn)二以后拉球
在臨界點(diǎn)以后，球的平動(dòng)初速度V0在球拍法向方向的分速度V2的方向與球拍法向揮拍方向相同，在球拍切向方向上的分量和切向揮拍方向相反，球的受力如如圖12。
圖12 在臨界點(diǎn)二拉球時(shí)球的受力示意圖
其他情況和在臨界點(diǎn)一到臨界點(diǎn)二之間拉球一樣。
5 討論與比較
5.1 不同時(shí)段球的法向平動(dòng)初速度的大小和方向?qū)蛐Ч挠绊?/h3>
從前面的分析可以看出，球達(dá)到最大切向平動(dòng)速度Vmax和最大旋轉(zhuǎn)速度ωmax所用時(shí)間與N 成反比，而正壓力N 是由作用前瞬間球拍和球法向方向的相對(duì)速度大小決定的，因此，法向方向揮拍速度越大，球達(dá)到最大切向平動(dòng)速度Vmax和最大旋轉(zhuǎn)速度ωmax所用時(shí)間越短。如果球拍法向方向揮拍速度相同的情況下，在臨界點(diǎn)二之前，由于球的平動(dòng)初速度在法向方向上的分速度V2都是和球拍法向方向的揮拍方向相反，相對(duì)速度N 較大，因此正壓力較大，摩擦力也較大。而在臨界點(diǎn)二之后，球的平動(dòng)初速度V2在法向方向上的分速度和球拍法向方向的揮拍方向相同，相對(duì)速度較小，因此正壓力N 較小，摩擦力較小。因此，在不同的階段拉球，需要不同的法向揮拍速度，在臨界點(diǎn)一時(shí)最小，臨界點(diǎn)二之后拉球需要更大的法向揮拍速度。
5.2 不同時(shí)段球的切向平動(dòng)初速度的大小和方向?qū)蛐Ч挠绊?/h3>
從前面的分析可以看出，在不同階段拉球，球的最大切向平動(dòng)速度Vmax和最大旋轉(zhuǎn)速度ωmax都與作用前瞬間球在拍面切向方向的分速度V1有關(guān)。在臨界點(diǎn)一之前拉球，Vmax和V1正相關(guān)，ωmax和V1負(fù)相關(guān);在臨界點(diǎn)一之后拉球，Vmax和V1負(fù)相關(guān)，ωmax和V1正相關(guān)。因此，在臨界點(diǎn)一之前拉球，球作用前瞬間的拍面切線方向上的分速度V1有利于球獲得較大的Vmax，但不利于獲得較大的ωmax;在臨界點(diǎn)一之后拉球，球作用前瞬間的拍面切線方向上的分速度V1不利于球獲得較大的Vmax，但有利于獲得較大的ωmax。因此在臨界點(diǎn)一前拉球，拉球更容易過網(wǎng)，但旋轉(zhuǎn)效果不如在臨界點(diǎn)一之后拉球，在臨界點(diǎn)一之后拉球，拉球不容易過網(wǎng)，但旋轉(zhuǎn)效果更佳。
5.3 不同時(shí)段拉球球拍切向方向揮拍速度對(duì)拉球效果的影響
在前面的分析中可以看出，在不同時(shí)段拉球球拍與球作用前瞬間球拍切向方向的揮拍速度V 對(duì)拉球效果也有影響。在臨界點(diǎn)一之前拉球，如果V＜V1，球受到的摩擦力f 的方向與切向揮拍方向V相反，摩擦力的方向與切向揮拍方向相反，根本拉不出弧圈球來。只有當(dāng)V ＞V1，摩擦力的方向才和切向揮拍方向一致，才能拉出弧圈球。而且球所能達(dá)到的最大切向平動(dòng)初速度Vmax和Vmax旋轉(zhuǎn)速度都和球拍切向方向的揮拍速度V 正相關(guān)。球拍切向方向的揮拍速度V 越大，Vmax和ωmax也越大。因此，增大球拍切向方向揮拍速度能提高拉球效果。
6 結(jié)論
(1)根據(jù)來球彈起弧線球的初速度與切向揮拍方向的夾角的不同，可把拉球的時(shí)段重新劃分為:臨界點(diǎn)一之前拉球，在臨界點(diǎn)一拉球，臨界點(diǎn)一到臨界點(diǎn)二之間拉球，臨界點(diǎn)二拉球，在臨界點(diǎn)二之后拉球。對(duì)同樣的來球，拉球時(shí)球拍傾斜程度不同，臨界點(diǎn)的位置也不同。
(2)在臨界點(diǎn)一之前拉球，拉球容易過網(wǎng)，但旋轉(zhuǎn)效果較差;在臨界點(diǎn)二之后拉球，球不容易過網(wǎng)，但旋轉(zhuǎn)效果較好。
(3)在臨界點(diǎn)二之后拉球，需要更大的法向揮拍速度。
(4)拉球時(shí)切向揮拍速度越大，球越容易過網(wǎng)，旋轉(zhuǎn)效果也越好。
(5)無論在哪個(gè)時(shí)段拉球，都需要盡量增大摩擦?xí)r間，以保證拉球效果。
［1］蘇丕仁.現(xiàn)代乒乓球運(yùn)動(dòng)教學(xué)與訓(xùn)練［M］.北京:人民體育出版社，2003:84.
［2］唐東陽，肖丹丹.弧圈球技術(shù)集擊球穩(wěn)健性和威脅性于一體的物理分析［J］.中國體育科技，2011，47(5):52－55.
［3］劉建和.乒乓球教學(xué)與訓(xùn)練［M］.北京:人民體育出版社，2004:7.
［4］漆安慎，杜嬋英.力學(xué)基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社，1991:307.
［5］周衍柏.理論力學(xué)教程［M］.北京:高等教育出版社，1986:237－238.
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