地-電離層中水平激發(fā)極低頻場的勒讓德展開算法

彭懷云 潘威炎 郭立新

(1.西安電子科技大學理學院，陜西 西安 710071；2.中國電波傳播研究所，山東 青島 266071)

引 言

水平激發(fā)的極低頻(Extremely Low Frequency，ELF)(30 Hz以下)電磁波，主要應(yīng)用于深潛通信和深部地質(zhì)勘探.人工發(fā)射源均遠遠小于波長，可作為水平電偶極子源考慮.場強計算主要基于J. R. Wait[1]和J. Galejs[2]提出的地-電離層波導(dǎo)理論，場可表示為不同模階數(shù)的勒讓德函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的級數(shù)和.其中，勒讓德函數(shù)的復(fù)階數(shù)ν由電磁波頻率、地-電離層高度等參數(shù)確定.

當勒讓德函數(shù)復(fù)階數(shù)ν?1時，勒讓德函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)存在漸近表達式，地-電離層中水平偶極子激發(fā)的場存在近似解析解[2].Bannister據(jù)此提出了包含長大圓距和短大圓距兩條傳播路徑的低頻場強計算公式[3]，其計算結(jié)果的正確性已被超低頻頻段的大量試驗所證實[4].

當勒讓德函數(shù)復(fù)階數(shù)不滿足ν?1條件時，勒讓德函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)近似漸近表達式誤差隨頻率降低而增大，不能準確描述低頻場.對此問題，1999年Donald E. Barrick提出了球諧級數(shù)算法[5].該方法采用球諧級數(shù)的加速收斂算法，可以計算不同頻率的垂直偶極子在地-電離層空腔中激勵的場，但頻率越低收斂越慢，計算量越大.國內(nèi)學者利用球諧級數(shù)算法和時域有限差分法對此問題也進行了分析研究[6-7]，但這些方法均為數(shù)值計算方法，收斂緩慢，表達式物理意義不明確.

針對上述問題，作者在文獻[8]中提出了對于橫磁波(Transverse Magnetic Wave，TM波)模及勒讓德一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值積分算法，解決了ELF垂直偶極子在地-電離層中場的求解問題.本文將在已有工作基礎(chǔ)上，同時考慮橫電波(Transverse Electrical Wave，TE波)和TM波傳播模式及勒讓德二階導(dǎo)數(shù)的展開方法，提出一種水平電偶極子激發(fā)的ELF電磁波在地-電離層空腔中場的求解方法，并分析了ν?1時的傳播特點.

1 理論分析

圖1 地-電離層空腔模型

如圖1所示的球坐標系，場源為位于θ=0，r=a+z0處的水平電偶極子，地面和電離層理想化為位于r=a和r=a+h處的兩個均勻反射壁，其表面阻抗分別用Δg和Δi表示.場強觀察點位于r=a+z處，取時諧因子為e-iωt，則在地-電離層空腔中傳播的超低頻(Super low frequency，SLF)及以下頻段的電場可表示為文獻[4]中式(10.3.14)，由此可知ELF的各個電磁場分量可理解為波導(dǎo)中各個傳播波型的疊加，包含TM、TE波.在ELF頻段，如果觀察點遠離發(fā)射源，發(fā)射與接收天線架設(shè)高度遠小于波長及電離層高度，高度增益變化很小，則水平電偶極子產(chǎn)生的場的表達式為：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

為便于后續(xù)分析計算，若令

(15)

有:

(16)

2(z-1)cosθ·F(z-1，θ)+

(z-1)·F(z-2，θ)].

(17)

則式(1)～(6)可改寫為：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

因此，上述場強的計算重點為F(νn,θ)和F(μm,θ)等函數(shù)的計算.參考文獻[2]所示的數(shù)值積分計算方法，F(xiàn)(ν,θ)的數(shù)值計算選取自適應(yīng)Gauss-Kronrod積分方法[9]，其計算精度可達10-10.

2 計算分析與討論

2.1 計算精度分析

1) 頻率與TEM模復(fù)階數(shù)關(guān)系

橫電磁波(Transverse Electrical Magnetic Wave，TEM波)模為地-電離層空腔中可傳播模，其它模均為速衰減模，因此，TEM模復(fù)階數(shù)ν為ELF場強分布的關(guān)鍵影響因素，其實部和虛部隨頻率變化規(guī)律如圖2所示.

圖2 ν的實部和虛部隨頻率的變化

由圖2可見：在100 Hz以上ν的模為10以上，可認為ν?1； 2 Hz以下ν的模為0.1以下，可認為ν?1.

2) 近場精度驗證

當觀察點離發(fā)射源距離小于電離層等效高度時，為驗證本文算法近場計算精度，將近場結(jié)果與半空間偶極子近場計算結(jié)果進行對比.由文獻[2]知半空間偶極子電場、磁場水平分量計算公式為：

(kD)2]exp(ikD)；

(24)

(25)

(26)

(kD)2]exp(ikD) .

(27)

式中D=aθ.

在f=100 Hz，偶極子電流矩Idl=1，地面導(dǎo)電率為10-3S/m，電離層等效高度為85 km，發(fā)射、接收點均位于地面條件下時，本文算法計算至100階模，半空間偶極子水平電場、磁場按式(24)～(27)計算，其結(jié)果對比如圖3、4所示.

圖3 水平電場計算對比

圖4 水平磁場計算對比

從圖3、4可以看出：在離開發(fā)射源10～70 km范圍內(nèi)，電離層影響較小，兩種算法計算結(jié)果基本一致；離開發(fā)射源距離小于10 km時，由于本文算法僅計算至100階模，導(dǎo)致結(jié)果與半空間偶極子輻射存在一定差異，理論上若本文算法計算至∞階模，則兩種算法將完全一致.

3) SLF頻段遠場精度驗證

當ν?1時，Bannister(dir.+ind.)公式的漸近表達式適用，為驗證本文算法遠場計算正確性，將本文算法與Bannister(dir.+ind.)公式計算結(jié)果對比.計算條件為：f=100 Hz，偶極子電流矩Idl=1，地面導(dǎo)電率為10-3S/m，電離層導(dǎo)電率為10-5S/m，電離層等效高度為85 km，發(fā)射、接收點均位于地面.計算結(jié)果如圖5、圖6所示.在對極點附近，由于Bannister(dir.+ind.)方法中勒讓德函數(shù)漸進式存在奇點，其計算誤差較大，導(dǎo)致兩種算法在對極點附近存在差異.在15 000 km內(nèi)，兩種算法結(jié)果一致，由此驗證了本文算法的遠場計算精確性.

圖5 遠場水平電場對比

圖6 遠場水平磁場對比

2.2 SLF頻段低端和ELF頻段傳播特性分析

在SLF頻段低端和ELF頻段，TEM模不滿足ν?1條件，Bannister(dir.+ind.)公式的漸近表達式逐漸不適用，如圖7、8所示.其中偶極子電流矩為1 Am，地面導(dǎo)電率為10-3S/m，電離層導(dǎo)電率為10-5S/m，電離層等效高度為85 km，源點和觀察點均位于地面(以下計算結(jié)果均采用基于上述計算參數(shù)).

圖7 10 Hz遠場水平電場對比

圖8 10 Hz遠場水平磁場對比

Bannisters公式中勒讓德函數(shù)的漸近表達式誤差很大，尤其在源點和對極點附近，而本文算法在對極點附近結(jié)果為一恒定值，符合物理規(guī)律，適合與ELF頻段場強計算.

當ν?1且ν→0時，即頻率低于2 Hz時其水平分量隨傳播距離的變化如圖9、10所示.兩種算法差異更大.此時Bannister(dir.+ind.)公式的漸近表達式基本不適用.

圖9 1 Hz遠場水平電場對比

圖10 1 Hz遠場水平磁場對比

本文算法計算的水平分量場強隨距離的等值線分布及其方向變化，如圖11、12所示.

圖11 f=1 Hz電場水平分量等值線及場方向圖

圖12 f=1 Hz磁場水平分量等值線及場方向圖

由圖11、12可以看出：電場、磁場水平分量在2 000 km以后高階速衰減模影響遠遠小于TEM模影響，場強等值線分布呈圓形，且在等值線分布圖中水平電場方向平行于電偶極矩方向，磁場方向垂直于電偶極矩方向.另外，與圖13所示100 Hz電場水平分量等值線圖的等值線和方向圖特性不同，表明在ν?1時，ELF低頻端(2 Hz以下)水平電場分布的特有規(guī)律.產(chǎn)生此種不同于高頻分布規(guī)律的主要原因如下：

圖13 f=100 Hz電場水平分量等值線及場方向圖

據(jù)文獻[10]中的式(8.762.1)

(28)

當ν→0時，Pν(-cosθ)可展開為

(29)

若取一階近似，則當ν→0時，有

(30)

在頻率較低時(2 Hz以下)，TEM模的ν→0，且其它高階模在遠區(qū)場強貢獻可忽略，那么遠區(qū)水平電場、磁場存在以下關(guān)系：

(31)

地-電離層腔體中遠區(qū)電場、磁場的水平方向分量Et、Ht可表示為：

(32)

(33)

其幅度為

|Et|=|Eθ|,|Ht|=|Hφ| .

(34)

表明ELF低端遠區(qū)場電場、磁場的切向分量僅隨傳播距離(或θ)變化，與方位角φ無關(guān)，與圖9至12所示的ELF傳播特性計算結(jié)果一致.

3 結(jié) 論

本文提出了一種地-電離層空腔中，水平偶極子激發(fā)的場強計算方法.該方法在近場、遠場情況下所計算結(jié)果與半空間偶極模型、球形波導(dǎo)遠區(qū)模型計算結(jié)果一致，印證了本文算法的正確性和精度.將本算法應(yīng)用于幾Hz以下的頻點，計算結(jié)果可獲得良好的數(shù)學解釋，表明本文算法在近場、遠場或更低頻率計算方面，具有更好的適應(yīng)性.

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