擅“變”衍出千般彩

“變式教學(xué)”是通過定理、命題，從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景暴露問題的本質(zhì)，揭示不同知識(shí)點(diǎn)內(nèi)在聯(lián)系的一種教學(xué)設(shè)計(jì)方法。通過“變式教學(xué)”，可以激發(fā)學(xué)生的好奇心、求知欲和創(chuàng)造力，增加學(xué)生的參與度，提高學(xué)生參與活動(dòng)的興趣和熱情，從而產(chǎn)生意外生成，揭示知識(shí)的本質(zhì)。變則靈動(dòng)，變則出彩，吉安市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人鄧武高老師在教學(xué)“垂徑定理”這節(jié)課時(shí)，通過定理的變式、例題的變式，引領(lǐng)學(xué)生在變式中領(lǐng)悟“垂徑定理”的本質(zhì)。

盡展知識(shí)的探究過程，貫穿變式教學(xué)的生命線

（用多媒體展示）問題1：在⊙O中，AB是弦，CD是直徑，CD⊥AB，垂足為M，此時(shí)CD就是垂直于弦的直徑。直徑CD除了和弦AB垂直外，可能還會(huì)有哪些等量關(guān)系？（電腦顯示圖1沿直線CD折疊的動(dòng)畫，并閃爍A、B兩點(diǎn)。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圓形紙片的操作）

（學(xué)生演板）

師：如何用幾何語言表示這個(gè)定理。

生3：因?yàn)镃D是直徑，CD⊥AB，所以AM=BM，

（師對(duì)問題1進(jìn)行變式）

【變式一】：在⊙O中，AB是弦，CD是直徑，CD平分弦AB，你能得到什么結(jié)論？

（教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圓形紙片的操作）

生4：CD⊥AB，

師：若弦是直徑，結(jié)論成立嗎？

（學(xué)生積極思考）

師：一定要強(qiáng)調(diào)被平分的弦AB不是直徑，如何用幾何語言來準(zhǔn)確描述？

生5：因?yàn)镃D是直徑，弦AB不是直徑，AM=BM，所以CD⊥AB，

師：這是推論1——平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

【變式二】：在⊙O中，AB是弦，直線CD垂直平分弦AB。你能得到什么結(jié)論？

（教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圓形紙片的操作）

師：如何用幾何語言描述得到的結(jié)論？

生6：直線CD經(jīng)過圓心，。

理由：因?yàn)锳M=BM，CD⊥AB，所以直線CD經(jīng)過圓心，

師：這是推論2——弦的垂直平分線必經(jīng)過圓心，且平分弦所對(duì)的兩條弧。

還能有什么變式呢？你能得到什么結(jié)論呢？

生7：推論3——平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。

師：垂徑定理及其推論反映了同一圓中的弦、弧、直徑之間有些什么關(guān)系呢？

生：一條直線在圓中若具有下列五個(gè)性質(zhì)中的任何兩個(gè)，則也具有其他三個(gè)條件：①經(jīng)過圓心；②垂直于弦；③平分不是直徑的弦；④平分弦所對(duì)的劣弧；⑤平分弦所對(duì)的優(yōu)弧。

鄧?yán)蠋煂?duì)垂徑定理的題設(shè)與結(jié)論進(jìn)行調(diào)換，變化出幾個(gè)推論，又由這些定理與推論總結(jié)出一條直線若滿足兩個(gè)條件，則可得到其余三個(gè)結(jié)論。學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)探究的全過程，充分體驗(yàn)到探索的樂趣以及領(lǐng)悟定理的真諦。學(xué)生的思維能力得到了提高和發(fā)展，學(xué)生思維的火花躍然而出。知識(shí)的探究過程是變式教學(xué)的生命線。在定理的變式過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、操作體驗(yàn)、探索交流、質(zhì)疑反思、解決問題，最后悟到定理。

■顯知識(shí)的“預(yù)設(shè)”和“生成”，展開變式教學(xué)的雙翼

（用多媒體展示）

問題2：如圖2，在⊙O中，弦AB的長為8 cm，圓心O到AB的距離為3 cm，求⊙O的半徑及弧AB的中點(diǎn)到弦AB的距離。

生1：過O作OE⊥AB于E，交⊙O于D，連接OA。則在Rt△OEA中，弦的一半、弦心距、半徑滿足勾股定理OE 2+AE2=OA2，則可求出OA，再由DE=OD-OC，可求出弓形高DE的長。

師：在⊙O中，已知弦長、圓心到弦的距離，則能求出⊙O的半徑及弓形高。在⊙O中有4個(gè)量：弦長、半徑、圓心到弦的距離、弓形高，若已知2個(gè)量，則能求出其余2個(gè)量嗎？請(qǐng)同學(xué)們仿照例題嘗試變式并給出解答。

生2：【變式一】如圖3，在⊙O中，半徑OC⊥弦AB，垂足為D，若OD=1，半徑為2，求弦AB和弓形高CD的長。

生3：可用OD2+AD2=OA2求AD，進(jìn)而求出AB。由OC-OD=CD求出弓形高CD的長。

師：這是一個(gè)屬于圓的半徑、圓心到弦的距離來，求弦AB和弓形高CD的長。

生4：若已知弦長和弓形高，能求出圓的半徑、圓心到弦的距離嗎？

生5：同樣可以。

師：此題是垂徑定理的應(yīng)用，是已知弦長和弓形高求半徑。在解題過程中要使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題的數(shù)學(xué)思想方法同學(xué)們一定要掌握。

（教師邊分析邊講解，并給出規(guī)范解答）

解：如圖，連接OC，

所以這段彎路的半徑為545 m。

同學(xué)們，你們能從這一類問題中得到什么啟示嗎？

生5：在⊙O中有4個(gè)量：弦長a、半徑r、圓心到弦的距離h、弓形高d，若已知2個(gè)量，則能運(yùn)用求出其余2個(gè)量。

老師通過變換例題的題設(shè)與結(jié)論，適當(dāng)拓寬了例題的應(yīng)用范圍與難度，學(xué)生在變式題中升華觀點(diǎn)，促進(jìn)了遷移，使學(xué)生的思維進(jìn)一步縱深發(fā)展，從而由精心的“預(yù)設(shè)”到精彩的“生成”。鄧?yán)蠋熢谥v解完例題后，留出了時(shí)間與空間，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索。鄧?yán)蠋煱粗鴮W(xué)生探索的方向解惑，發(fā)揮學(xué)生在變式教學(xué)中的主體作用，鼓勵(lì)創(chuàng)新，培養(yǎng)求異思維。

學(xué)生的有效發(fā)展是變式教學(xué)的魂，一個(gè)定理、一道例題從形成、發(fā)展、解決到生成，都是由學(xué)生通過自主探索和合作交流完成的，學(xué)生始終是課堂的主角。教學(xué)中鄧?yán)蠋熒岬梅攀?，通過變式盡展知識(shí)的探究過程；通過變式反復(fù)敲打，引發(fā)學(xué)生的思考與參與；通過精心的“預(yù)設(shè)”到精彩的“生成”，讓知識(shí)得到升華與遷移。整節(jié)課“鮮活而靈動(dòng)、形散而神聚”。（作者單位：江西省南昌市育新學(xué)校）

□責(zé)任編輯 周瑜芽

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