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    例談遞進(jìn)式幾何探究題求解策略

    2013-04-12 00:00:00楊磊
    初中生世界·八年級 2013年10期

    何為遞進(jìn)式幾何探究題

    遞進(jìn)式幾何題都具有如下特點:小切口,深分析, 其問題都是從特殊到一般,由表及里、由淺入深,每個問題之間,是逐步遞進(jìn)的關(guān)系,前一問題的解法對后一問題的解法有直接或間接的提示作用,解法互相關(guān)聯(lián).

    解答遞進(jìn)式幾何探究題的策略

    關(guān)鍵在于對后續(xù)問題中圖形結(jié)構(gòu)進(jìn)行類比聯(lián)想,可添加適當(dāng)?shù)妮o助線,化歸為前面問題中出現(xiàn)的相同或相似的圖形結(jié)構(gòu)模型,以已經(jīng)解決的問題的結(jié)論或方法,類比、猜想、論證另一個問題的結(jié)論或方法,抽絲剝繭、層層深入.

    例題精講

    如圖(1)~(3),已知∠AOB的角平分線OM上有一點P,∠CPD的兩邊與射線OA、OB交于點C、D,連接CD交OP于點G,設(shè)∠AOB=α(0°<α180°),∠CPD=β.

    (1)如圖(1),當(dāng)α=β=90°時,試猜想PC與PD,∠PDC與∠AOB的數(shù)量關(guān)系(不用說明理由);

    (2)如圖(2),當(dāng)α=60°,β=120°時,(1)中的兩個猜想還成立嗎?請說明理由;

    (3)如圖(3),當(dāng)α+β=180°時,你認(rèn)為(1)中的兩個猜想是否仍然成立?請說明理由.

    (2)與(1)比較,α從特殊的90°變成較為一般的60°,β從特殊的90°變成較為一般的120°,圖形結(jié)構(gòu)沒有本質(zhì)變化,關(guān)鍵是α+β仍然是180°,因此,以(1)的思路方法為模型,應(yīng)該仍可證結(jié)論成立.

    (3)與(1)(2)比較,圖形與角度更具有一般性,但仍然保持α+β=180°這一本質(zhì)特征,因此,可模仿上面的思路猜想并證明.模仿過程中,原來找什么角和邊的,現(xiàn)在還找什么角和邊,但要注意理論依據(jù)可能有所變化.

    (2)成立.理由如下:如圖1,作PE⊥AO于E,PF⊥OB于F,所以∠CEP=∠DFP.因為OP平分∠AOB,所以PE=PF.

    在四邊形EOFP中,因為∠AOB=60°,∠PEO=∠PFO=90°,所以∠EPF=120°,即∠EPC+∠CPF=120°.

    又∠CPD=120°,即∠DPF+∠CPF=120°,所以∠EPC= ∠DPF.

    (3)成立.理由如下:

    【點評】本題主要考查了角平分線性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì),綜合性強,有一定的難度.

    遞進(jìn)式幾何探究題是近年熱點題型,隨著學(xué)習(xí)的深入,同學(xué)們將會有更多的接觸,其解法并不神秘,從起始基本問題挖掘 “模型”(或者說基本圖形)是解決問題的有效策略.

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