數(shù)學(xué)思想在“軸對(duì)稱圖形”中的滲透

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，各種考試命題都加強(qiáng)了對(duì)它的考查，現(xiàn)舉例說(shuō)明數(shù)學(xué)思想在“軸對(duì)稱圖形”一章中的滲透.

一、 轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種重要的思維方法，轉(zhuǎn)化思想是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一個(gè)重要的基本思想，不少數(shù)學(xué)思想都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn).就解題的本質(zhì)而言，解題就意味著轉(zhuǎn)化，即把生疏問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題，把高次問(wèn)題轉(zhuǎn)化為低次問(wèn)題，把未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，把一個(gè)綜合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)基本問(wèn)題，把順向思維轉(zhuǎn)化為逆向思維等.因此同學(xué)們?nèi)裟苷莆辙D(zhuǎn)化思想，有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而可以較快地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力.下面就“轉(zhuǎn)化思想”在《軸對(duì)稱圖形》一章中的應(yīng)用舉例進(jìn)行說(shuō)明.

1.生活中有許多非直線路徑問(wèn)題，我們采用適當(dāng)?shù)姆椒梢詫⑺鼈冝D(zhuǎn)化為直線路徑來(lái)處理，往往能化繁為簡(jiǎn).

例1 在廣闊無(wú)垠的大草原上，一個(gè)人騎著馬從A到B，半路上他必須在河邊飲馬一次，如圖1，他應(yīng)該怎樣選擇飲水點(diǎn)P，才能使所走的路程AP+PB最短呢（假定河岸是直線l）？試在圖中作出該點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

【分析】這個(gè)問(wèn)題源于古希臘的著名“飲馬問(wèn)題”，大數(shù)學(xué)家海倫曾運(yùn)用軸對(duì)稱方法巧妙地解決了這個(gè)問(wèn)題.作點(diǎn)B關(guān)于小河l的對(duì)稱點(diǎn)B1，連接AB1，交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是飲馬點(diǎn).

這種解法的依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，而究其思想，在本質(zhì)上是化曲為直，馬在到達(dá)點(diǎn)P的前后方向改變了，但我們可以設(shè)想馬是按照A→P的方向來(lái)到點(diǎn)B的（前后行走方向未變），那么馬的到達(dá)點(diǎn)必然是點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B1.

作法：如圖2. （1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B1；

（2）連接AB1，交直線l于點(diǎn)P.

則沿路徑AP→PB飲馬，總路程AP+PB最短.

理由：如圖2，在直線l上任取一點(diǎn)P1（不與P重合），連接AP1、BP1、B1P1.由軸對(duì)稱的性質(zhì)，得PB=PB1，BP1=P1B1.在△AB1P1中，AB1

2.當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，我們就可以通過(guò)轉(zhuǎn)化倍角關(guān)系尋找到等腰三角形.

例2 如圖3①中，若∠ABC=2∠C，如果作BD平分∠ABC，則△DBC是等腰三角形；如圖3②中，若∠ABC=2∠C，如果延長(zhǎng)CB到D，使BD=BA，連接AD，則△ADC是等腰三角形；如圖3③中，若∠B=2∠ACB，如果以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一邊，在形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則△DBC是等腰三角形.

如圖4，在△ABC中，∠ACB=2∠B，BC=2AC.求證：∠A=90°.

【分析】由于條件中有兩個(gè)倍半關(guān)系，而結(jié)論與角有關(guān)，因此首先考慮對(duì)∠ACB=2∠B進(jìn)行處理，即作CD平分∠ACB交AB于D，過(guò)D作DE⊥BC于E，則由∠ACB=2∠B知∠B=∠BCD，即△DBC是等腰三角形，而DE⊥BC，所以BC=2CE，又BC=2AC，所以AC=EC，所以易證得△ACD≌△ECD，所以∠A=∠DEC=90°.

【說(shuō)明】本題也可以利用圖3的②、③來(lái)構(gòu)造等腰三角形求解.

3.在證明線段相等或求某些線段長(zhǎng)度時(shí)也常常會(huì)用到等線代換，將要求的線段轉(zhuǎn)化為已知線段.

例3 如圖5，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線，且PD//AB，PE//AC，BC=5cm，求△PED的周長(zhǎng).

【分析】因?yàn)锽P是∠ABC的平分線，CP是∠ACB的平分線，所以∠1=∠2，∠3=∠4，因?yàn)镻D//AB，所以∠1=∠5，所以∠2=∠5，所以BD=PD.（等角對(duì)等邊）

因?yàn)镻E//AC，所以∠4=∠6，所以∠6=∠3，所以PE=EC.（等角對(duì)等邊）

所以△PDE的周長(zhǎng)等于PD+PE+DE=BD+DE+EC=BC=5cm.

二、分類思想

數(shù)學(xué)分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將其分成幾個(gè)不同種類的一種數(shù)學(xué)思想.它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法.所謂數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對(duì)象分成幾類，分別進(jìn)行討論來(lái)解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)方法.分類思想是初中數(shù)學(xué)重要的思想之一，因試題覆蓋的知識(shí)點(diǎn)多，知識(shí)面廣，具有明顯的“邏輯性、綜合性、探索性”的特點(diǎn)，能體現(xiàn)“著重考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力”的要求，所以成為歷年中考的熱點(diǎn)之一.從近幾年中考考生答題情況來(lái)看，分類討論題得分率很低，考生出錯(cuò)往往是因?yàn)椴恢螘r(shí)、為何分類，在分類過(guò)程中存在重復(fù)和遺漏現(xiàn)象.有關(guān)分類討論的思想的數(shù)學(xué)命題在中考試題中占有重要地位，命題者經(jīng)常利用分類討論題來(lái)加大試卷的區(qū)分度，很多壓軸題也都涉及分類討論.下面就“轉(zhuǎn)化思想”在“軸對(duì)稱圖形”一章中的應(yīng)用舉例進(jìn)行說(shuō)明.

例4 1.一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為18cm，一邊長(zhǎng)為4cm，求其他兩邊的長(zhǎng).

【分析】分兩種情況討論：

①若以4cm為底邊長(zhǎng)，設(shè)腰長(zhǎng)為xcm，則有4+2x=18，∴x=7.

∴另外兩邊的長(zhǎng)為7cm，7cm.

②若以4cm為腰長(zhǎng)，設(shè)底邊長(zhǎng)為ycm，則有4×2+y=18，∴y=10.

∵4+4<10，不滿足三角形的三邊關(guān)系，

∴4cm，4cm，10cm不能組成三角形.

∴三角形的另外兩條邊長(zhǎng)為7cm，7cm.

2.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為（ ）

A.60° B.120°

C.60°或150° D.60°或120°

【分析】分兩種情況，①當(dāng)頂角是銳角時(shí)，如圖6，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠A=60°.

②當(dāng)頂角是鈍角時(shí)，如圖7，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠BAC=120°.所以頂角度數(shù)為60°或120°，所以選D.

三、 方程思想

方程思想是一種極為重要的數(shù)學(xué)思想，是中考數(shù)學(xué)中必考的基本數(shù)學(xué)思想之一.方程思想通俗地講就是當(dāng)你遇到無(wú)法求值的量，如線段的長(zhǎng)度、角度等涉及大小求值的問(wèn)題，能夠主動(dòng)地設(shè)未知數(shù)（用字母表示），尋找等量關(guān)系，建立方程，通過(guò)解方程求出結(jié)果的一種思想意識(shí).通過(guò)下面一些題，看看你有沒(méi)有建立起來(lái)方程思想吧.

例5 如圖8，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB.求∠A的度數(shù).

【分析】本題有較多的等腰三角形的條件，最好用列方程組的方法來(lái)求解，應(yīng)當(dāng)在圖形上標(biāo)出各未知數(shù)，可使解題過(guò)程清晰明了.

解：設(shè)∠A=x ，∠EBD=y，∠C=z.

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=z.

∵BD=BC，

∴∠C=∠BDC=z.

∵BE=DE，

∴∠EBD=∠EDB=y.

∵AD=DE，

∴∠A=∠AED=x.

又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠AED=∠EBD+∠EDB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴x=2y，z=x+y，x+z+z=180°.

解得：x=45°.

即∠A=45°.

例6 若等腰三角形一腰上的中線將三角形周長(zhǎng)分為9cm和12cm兩部分，求這個(gè)等腰三角形的底和腰的長(zhǎng).