數(shù)學(xué)思想方法在全等三角形解題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法的有機結(jié)合.在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們往往只注意了對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，而忽視了聯(lián)結(jié)這些知識的觀點及由此產(chǎn)生的解決問題的方法與策略.下面，讓我們一起走近“全等三角形”，體會一下隱藏在知識背后的思想方法.

一、化歸思想

化歸是數(shù)學(xué)中用以解決問題的最基本的手段之一，可以理解為轉(zhuǎn)化、歸結(jié)的意思，是指把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到較易解決的問題中去的一種手段或方法.

證明線段相等或角相等等問題往往可以化歸為證明三角形的全等，相關(guān)輔助線也是為這一目的而添置的.

例1 如圖1，已知：在△ABC中，AB=AC，D為AB上一點，E為AC的延長線上一點，連接DE交BC于G，DG=GE，求證：BD=CE.

證明：過點D作DF∥AC交BC于F. ∵DF∥AC，∴∠DFG=∠ECG，又∠DGF=∠EGC，DG=EG，∴△DFG≌△ECG，∴CE=DF.∵DF∥AC，∴∠DFB=∠ACB，∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB，∴∠DFB=∠ABC，∴DB=DF，∴BD=CE.

【評注】本題要證BD=CE，然而BD和CE這兩條線段所在三角形卻不可能全等，這時就通過添加輔助線DF構(gòu)造出全等三角形，從而使問題獲得解決.

例2 如圖2，已知：在△ABC中，AB=3，AC=5，求BC邊上的中線AD的取值范圍.

解：延長AD到E，使DE=AD.

在△ABD和△ECD中，∵AD=ED， BD=CD，∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD. ∴AB=EC.

在△AEC中， AC-EC

即AC-EC<2AD

【評注】本例要解決的是邊與邊的不等關(guān)系，必須在同一三角形中運用三邊關(guān)系定理，然而在△ABD、△ADC和△ABC中均不能解決，勢必利用“倍長中線”構(gòu)造全等三角形，將已知條件歸結(jié)到一起來解決問題.

二、整體思想

整體思想就是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些圖形看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識的整體處理.

例3 如圖3，已知：△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′，∠C=∠C′，△ABC和△A′B′C′的周長相等，求證：△ABC≌△A′B′C′.

本題待證的兩個三角形已有兩組角對應(yīng)相等，但缺全等的必備條件“邊對應(yīng)相等”，因此要把“周長相等”整體轉(zhuǎn)化成“邊相等”.

分別在直線BC和直線B′C′上截取BD=BA，CE=CA，B′D′=B′A′，C′E′=C′A′，則有DE=D′E′，易證△ADE≌△A′D′E′，可得AD=A′D′，從而△ABD≌△A′B′D′，于是AB=A′B′，這樣待證的兩個三角形全等的條件都已滿足.

三、方程思想

在幾何證明問題中，若能根據(jù)題目和圖形的特征，運用方程思想去處理，往往容易找到解決問題的切入點，收到奇效.

例4 設(shè)Rt△ABC與Rt△DEF的面積相等且斜邊相等，即AB=DE，求證：△ABC≌△DEF.

證明：設(shè)a，b，c為Rt△ABC的邊長，d，e，f為Rt△DEF的邊長，則有：

S△ABC=■ab，S△DEF=■de，于是由S△ABC=S△DEF知ab=de①，又知c=f，故c2=f 2，即a2+b2=d2+e2②（勾股定理將在第三章學(xué)習(xí)），由①②可得（a+b）2=（d +e）2， （a-b）2=（d-e）2，即a=d，b=e或a=e，b=d.不論哪種情況，都有△ABC≌△DEF.

運用數(shù)學(xué)符號形成的語言將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化成方程或方程組，通過解方程或方程組，使問題得到解決.幾何問題代數(shù)化，事半功倍.

四、分類思想

分類思想是根據(jù)對象的相同點和差異點將對象劃分為不同種類的方法，分類的標(biāo)準(zhǔn)往往是根據(jù)不同的實際需要來確定的，分類必須做到不重不漏.

例5 已知兩個三角形有兩條邊及其一邊上的高對應(yīng)相等，則第三邊所對角有怎樣的關(guān)系并說明理由.

本題用幾何語言敘述為：在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，D、D′為垂足，AD=A′D′，∠ABC和∠A′B′C′有怎樣的關(guān)系？

顯然，∠ABC和∠A′B′C′的關(guān)系，須通過兩個圖形的全等關(guān)系來說明.然而我們并不能直接判定這兩個三角形全等，必須根據(jù)數(shù)形結(jié)合來進(jìn)行分類討論：

如果△ABC和△A′B′C′同為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時，易證△ABC≌△A′B′C′，從而∠ABC=∠A′B′C′；如果△ABC和△A′B′C′一為鈍角三角形，一為銳角三角形，如圖4所示，不妨設(shè)△ABC為鈍角三角形，△A′B′C′為銳角三角形，易證△ABD≌△A′B′D′，則∠ABD=∠A′B′C′，于是∠ABC和∠A′B′C′互補.

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓，是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是解題過程中披荊斬棘、劈山開路的寶劍.同學(xué)們要學(xué)會運用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題和解決問題.