撥云見日
2013-04-12 00:00:00徐靜
初中生世界·八年級 2013年10期
“軸對稱圖形”的主要內(nèi)容是從生活中的圖形入手，學(xué)習(xí)軸對稱及其基本性質(zhì)，欣賞、體驗軸對稱在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用.在此基礎(chǔ)上，利用軸對稱變換，探索等腰三角形的性質(zhì)，學(xué)習(xí)它的判定方法，并進一步學(xué)習(xí)等邊三角形；探索等腰梯形的特征，了解它的性質(zhì)和判定，體驗類比轉(zhuǎn)化思想的運用，發(fā)展同學(xué)們的說理意識和主動探究的習(xí)慣.
本章是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考熱點問題之一.同學(xué)們剛接觸幾何不久，一方面要注意說理的嚴謹，另一方面更要注意難點的突破.下面就本章中的幾個常見的難點問題進行分析解剖，借助軸對稱的有關(guān)知識，幫助同學(xué)們迅速找到解題途徑，化難為易，使問題迎刃而解，撥開云霧見青天.
一、判斷軸對稱圖形
例1 把一張正方形紙片按如圖1所示的方法對折兩次后剪去兩個角，那么打開以后的形狀是（ ）
A.六邊形 B.八邊形
C.十二邊形 D.十六邊形
【解析】將圖以對角線為對稱軸兩次對折后剪去兩個角，得到一個對稱圖形，且相對稱的圖形為八邊形，故選B.
【點評】本題通過圖形的折疊與展開考查軸對稱圖形的特點，可以通過逆推法依次作出最后一個圖形關(guān)于折痕的軸對稱圖形，然后判斷，也可以直接動手操作驗證.
二、設(shè)計軸對稱圖案
例2 在4×4的方格中有五個同樣大小的正方形如圖2擺放，移動其中一個正方形到空白方格中，與其余四個正方形組成的新圖形是一個軸對稱圖形，這樣的移法共有 種.
【解析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，移動任一個正方形，即可得出符合要求的答案.共有13種做法.
【點評】此題主要考查了利用軸對稱原理設(shè)計圖案以及分類討論的思想.熟練利用軸對稱設(shè)計圖案關(guān)鍵是要熟悉軸對稱的圖形特征，從不同的角度找準對稱軸.
三、求最短距離
例3 如圖3，已知牧馬營地在點M處，每天牧馬人要趕著馬群到河邊飲水.
（1）求到河邊飲水的最短路線.
（2）如果飲完水后，需再到草地吃草，然后回到營地，試設(shè)計出最短的牧馬路線圖.
【解析】這是一道實際生活問題，使其轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵.（1）可轉(zhuǎn)化為點M到直線的最短距離.（2）可得到這樣的數(shù)學(xué)模型：直線a、b間有一點M，試分別在a、b上求出兩點，使M點與這兩點構(gòu)成的三角形的周長最短. 要求周長最短，即要求三條線段的和最小，結(jié)合題意，可利用軸對稱的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短的問題.
【點評】（1）如圖4，利用垂線段最短獲解. （2）如圖5，點A、M關(guān)于直線a對稱，則可得到CA=CM，同理DM=DB，所以MC+CD+DM=AC+CD+DB，這實際上將ΔMCD的周長，即三條不在同一直線上的線段和轉(zhuǎn)化成了兩點之間的距離問題，由于“兩點之間，線段最短”，因此連接AB與直線a、b的交點即為所求的兩點.本類題目的變式很多，關(guān)鍵是“搬點移線”，把圖形中分散、缺乏聯(lián)系的元素集中到新的圖形中，運用“兩點之間線段最短”、“三角形兩邊之和大于第三邊”等基本定理來解決問題.
四、折疊類問題
例4 長為20、寬為a的矩形紙片（10
【解析】由題意可知，當(dāng)10 則20-a=（2a-20）-（20-a），解得a=15. ∴當(dāng)n=3時，a的值為12或15. 【點評】折疊類問題很多都用到軸對稱的性質(zhì).解決此題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用以及折疊中的對應(yīng)關(guān)系.在做此題時，部分同學(xué)常忽略第二種情況. 五、利用等腰三角形的性質(zhì)求角度 例5 如圖7，在△ABC中，AB=AC，D、E分別在AC、AB上，BD=BC，AD=DE=BE，求∠A的度數(shù). 【解析】已知條件中，相等的邊較多，且都是在同一個三角形中，因為是求“角”的度數(shù)，所以將“等邊”轉(zhuǎn)化為“等角”，充分利用“等邊對等角”這一性質(zhì)，再聯(lián)系三角形內(nèi)角和為180°，求解此題. 解答過程略，答案為45°. 【點評】此題的關(guān)鍵是化邊等為角等，聯(lián)系三角形的內(nèi)角和或外角的性質(zhì)求解. 另外，本章還有個難點問題是等腰梯形性質(zhì)的應(yīng)用.用各種輔助線如作高、平移對角線、平移腰、延長構(gòu)造三角形等將梯形轉(zhuǎn)化為三角形或是特殊四邊形來解決問題.在特殊四邊形學(xué)習(xí)中，同學(xué)們會接觸到這類問題. 運用軸對稱的知識來解決問題在近幾年中考中占有相當(dāng)重的比例，同學(xué)們在分化難點的同時，要掌握同類型變式問題的解決方法.其實萬變不離其宗，掌握方法是關(guān)鍵.以方法為基礎(chǔ)，仔細分析，逐個擊破，提高解題的信心和能力.
