“全等三角形”是初中數(shù)學(xué)“空間與圖形”中的重要內(nèi)容.它不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),而且還是研究平面幾何問(wèn)題的重要工具.同學(xué)們初學(xué)時(shí),由于對(duì)概念、判定、性質(zhì)的理解不深,或?qū)?wèn)題考慮不周密,往往會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.
下面列舉幾種常見(jiàn)的解題錯(cuò)誤并進(jìn)行歸納剖析,希望能引起同學(xué)們的注意.
一、“對(duì)應(yīng)”不準(zhǔn)確
例1 在△ABC和△DEF中,∠A=30°,∠B=70°,AC=5cm;∠D=70°,∠E=80°,DE=5cm.那么△ABC與△DEF全等嗎?為什么?
【錯(cuò)解】△ABC與△DEF全等,證明如下:在△DEF中,因?yàn)椤螪=70°,∠E=80°, 所以∠F=180°-∠D-∠E=180°-70°-80°=30°.在△ABC中,因?yàn)椤螦=30°,∠B=70°,
所以∠A=∠F,∠B=∠D.
又因?yàn)锳C=5cm,DE=5cm,
所以AC=DE.
所以△ABC≌△DEF(AAS).
【剖析】一對(duì)相等的
對(duì)應(yīng)邊,它們所對(duì)應(yīng)的角
不相等,不符合AAS的兩個(gè)三角形全等的判定要求,所以△ABC與△DEF不全等.
二、誤用“直觀感覺(jué)”當(dāng)條件
例2 如圖1,在△ABC中,AD是它的角平分線,BD=CD.DE、DF分別垂直于AB、AC,垂足為E、F.
求證:BE=CF.
【錯(cuò)證1】
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
因?yàn)锽D=CD,DE=DF,
所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
所以BE=CF.
【錯(cuò)證2】
因?yàn)锳D⊥BC,
所以∠ADB=∠ADC=90°,
證明△ABD≌△ACD(SAS),
得AB=AC.
再由△AED≌△AFD(AAS),得AE=AF.從而得到:BE=CF .
【剖析】錯(cuò)證1中認(rèn)為DE=DF,并直接將其作為條件應(yīng)用,因而產(chǎn)生錯(cuò)誤;錯(cuò)證2中認(rèn)為AD⊥BC,沒(méi)有經(jīng)過(guò)推理加以說(shuō)明,因而也產(chǎn)生了錯(cuò)誤.產(chǎn)生上述錯(cuò)誤的原因是審題不清,沒(méi)有根據(jù)條件結(jié)合圖形找到證題依據(jù).正解如下:
在△AED和△AFD中,
∠DEA=∠DFA=90°,∠EAD=∠FAD,AD=AD.
所以△AED≌△AFD(AAS),
所以DE=DF.
又因?yàn)锽D=CD,
所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
所以BE=CF.
三、誤用判定方法
例3 如圖2,在四邊形ABCD中,AB平行且等于CD,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.AE⊥BD于E,CF⊥BD于F.
求證:AE=CF.
【錯(cuò)證】因?yàn)锳E⊥BD,CF⊥BD,
所以∠AEO=∠CFO=90°,
所以AE∥CF,
所以∠OAE=∠OCF.
又因?yàn)椤螦OE=∠COF,
所以△AOE≌△COF,
所以AE=CF.
【剖析】錯(cuò)解由
△AOE和△COF的三個(gè)
角相等而判定它們?nèi)龋?/p>
根據(jù)是不充分的.僅有三個(gè)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等.
例4 如圖3,D是△ABC中BC邊上一點(diǎn),E是AD邊上一點(diǎn).EB=EC,∠ABE=∠ACE.求證:∠BAE=∠CAE.
【錯(cuò)證】在△AEB和△AEC中:
EB=EC,∠ABE=∠ACE,AE=AE.
所以△AEB≌△AEC(SAS),
所以∠BAE=∠CAE.
【剖析】上解錯(cuò)在證兩個(gè)三角形全等時(shí)用了“SSA”來(lái)判定,這是不正確的,因?yàn)橛袃蓷l邊及其中一邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等.
例5 如圖4,AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC.
求證:∠D=∠E.
【錯(cuò)證】在△ACE和△BCD中,
因?yàn)锳C⊥BC,DC⊥EC,
所以∠ACB=∠ECD=90°.
又因?yàn)锳C=BC,DC=EC,
所以△ACE≌△BCD(SAS),
所以∠D=∠E.
【剖析】上面的證明中,錯(cuò)誤地應(yīng)用了“SAS”.∠ACB與∠ECD并不是那一對(duì)三角形的內(nèi)角.
在學(xué)習(xí)中,同學(xué)們要注意總結(jié)證明兩角相等或兩線段相等的方法,學(xué)會(huì)對(duì)題中圖形進(jìn)行觀察以及對(duì)已知條件進(jìn)行分析,弄明白證明思路.同時(shí),對(duì)三角形全等的各種條件要記熟并能區(qū)分清楚.