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    “全等三角形”中常見(jiàn)錯(cuò)誤與分析

    2013-04-12 00:00:00馬恒平
    初中生世界·八年級(jí) 2013年10期

    “全等三角形”是初中數(shù)學(xué)“空間與圖形”中的重要內(nèi)容.它不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),而且還是研究平面幾何問(wèn)題的重要工具.同學(xué)們初學(xué)時(shí),由于對(duì)概念、判定、性質(zhì)的理解不深,或?qū)?wèn)題考慮不周密,往往會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.

    下面列舉幾種常見(jiàn)的解題錯(cuò)誤并進(jìn)行歸納剖析,希望能引起同學(xué)們的注意.

    一、“對(duì)應(yīng)”不準(zhǔn)確

    例1 在△ABC和△DEF中,∠A=30°,∠B=70°,AC=5cm;∠D=70°,∠E=80°,DE=5cm.那么△ABC與△DEF全等嗎?為什么?

    【錯(cuò)解】△ABC與△DEF全等,證明如下:在△DEF中,因?yàn)椤螪=70°,∠E=80°, 所以∠F=180°-∠D-∠E=180°-70°-80°=30°.在△ABC中,因?yàn)椤螦=30°,∠B=70°,

    所以∠A=∠F,∠B=∠D.

    又因?yàn)锳C=5cm,DE=5cm,

    所以AC=DE.

    所以△ABC≌△DEF(AAS).

    【剖析】一對(duì)相等的

    對(duì)應(yīng)邊,它們所對(duì)應(yīng)的角

    不相等,不符合AAS的兩個(gè)三角形全等的判定要求,所以△ABC與△DEF不全等.

    二、誤用“直觀感覺(jué)”當(dāng)條件

    例2 如圖1,在△ABC中,AD是它的角平分線,BD=CD.DE、DF分別垂直于AB、AC,垂足為E、F.

    求證:BE=CF.

    【錯(cuò)證1】

    在Rt△BDE和Rt△CDF中,

    因?yàn)锽D=CD,DE=DF,

    所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),

    所以BE=CF.

    【錯(cuò)證2】

    因?yàn)锳D⊥BC,

    所以∠ADB=∠ADC=90°,

    證明△ABD≌△ACD(SAS),

    得AB=AC.

    再由△AED≌△AFD(AAS),得AE=AF.從而得到:BE=CF .

    【剖析】錯(cuò)證1中認(rèn)為DE=DF,并直接將其作為條件應(yīng)用,因而產(chǎn)生錯(cuò)誤;錯(cuò)證2中認(rèn)為AD⊥BC,沒(méi)有經(jīng)過(guò)推理加以說(shuō)明,因而也產(chǎn)生了錯(cuò)誤.產(chǎn)生上述錯(cuò)誤的原因是審題不清,沒(méi)有根據(jù)條件結(jié)合圖形找到證題依據(jù).正解如下:

    在△AED和△AFD中,

    ∠DEA=∠DFA=90°,∠EAD=∠FAD,AD=AD.

    所以△AED≌△AFD(AAS),

    所以DE=DF.

    又因?yàn)锽D=CD,

    所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),

    所以BE=CF.

    三、誤用判定方法

    例3 如圖2,在四邊形ABCD中,AB平行且等于CD,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.AE⊥BD于E,CF⊥BD于F.

    求證:AE=CF.

    【錯(cuò)證】因?yàn)锳E⊥BD,CF⊥BD,

    所以∠AEO=∠CFO=90°,

    所以AE∥CF,

    所以∠OAE=∠OCF.

    又因?yàn)椤螦OE=∠COF,

    所以△AOE≌△COF,

    所以AE=CF.

    【剖析】錯(cuò)解由

    △AOE和△COF的三個(gè)

    角相等而判定它們?nèi)龋?/p>

    根據(jù)是不充分的.僅有三個(gè)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

    例4 如圖3,D是△ABC中BC邊上一點(diǎn),E是AD邊上一點(diǎn).EB=EC,∠ABE=∠ACE.求證:∠BAE=∠CAE.

    【錯(cuò)證】在△AEB和△AEC中:

    EB=EC,∠ABE=∠ACE,AE=AE.

    所以△AEB≌△AEC(SAS),

    所以∠BAE=∠CAE.

    【剖析】上解錯(cuò)在證兩個(gè)三角形全等時(shí)用了“SSA”來(lái)判定,這是不正確的,因?yàn)橛袃蓷l邊及其中一邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

    例5 如圖4,AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC.

    求證:∠D=∠E.

    【錯(cuò)證】在△ACE和△BCD中,

    因?yàn)锳C⊥BC,DC⊥EC,

    所以∠ACB=∠ECD=90°.

    又因?yàn)锳C=BC,DC=EC,

    所以△ACE≌△BCD(SAS),

    所以∠D=∠E.

    【剖析】上面的證明中,錯(cuò)誤地應(yīng)用了“SAS”.∠ACB與∠ECD并不是那一對(duì)三角形的內(nèi)角.

    在學(xué)習(xí)中,同學(xué)們要注意總結(jié)證明兩角相等或兩線段相等的方法,學(xué)會(huì)對(duì)題中圖形進(jìn)行觀察以及對(duì)已知條件進(jìn)行分析,弄明白證明思路.同時(shí),對(duì)三角形全等的各種條件要記熟并能區(qū)分清楚.

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