三角形全等的難點(diǎn)突破

三角形全等的證明是學(xué)習(xí)初中幾何證明的重要奠基階段，是今后證明較復(fù)雜的幾何題的基礎(chǔ)，下面就這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)和同學(xué)們談三點(diǎn)經(jīng)驗(yàn).

一、確定全等三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系

在全等三角形中正確地找出對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，是解決與全等三角形相關(guān)的問題的關(guān)鍵.全等三角形有許多對(duì)應(yīng)的元素，怎樣尋找這些對(duì)應(yīng)元素呢？

1.根據(jù)全等符號(hào)暗示的信息找對(duì)應(yīng)

符號(hào)語言是數(shù)學(xué)思維的載體，教材中說，“記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上”，此要求同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中要嚴(yán)格遵循，養(yǎng)成按對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)表示全等三角形的習(xí)慣，并且按“對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)記位置”的特點(diǎn)找全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，達(dá)到無需看圖也能迅速找出兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的目的.

例1 已知△ABC≌△BAD，如果AB=8，BD=9，AD=11，那么AC= .

【分析】一般情況下，在用符號(hào)≌表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，我們是把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，根據(jù)這個(gè)規(guī)則可知：對(duì)應(yīng)位置上的字母就是表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母，對(duì)應(yīng)位置上的字母表示的線段就是對(duì)應(yīng)邊，表示的角就是對(duì)應(yīng)角.由題設(shè)已知中所給△ABC≌△BAD符號(hào)表示可知：AC與BD是對(duì)應(yīng)邊（如圖1），所以AC=BD=9.

例2 已知△ABC與△DEF全等，∠A=30°，∠B=50°，則∠D=（ ）.

A.30° B.50° C.100°

D.以上三種情況都有可能

【分析】注意本題與上例的區(qū)別，題目只說△ABC與△DEF全等，并沒有給出對(duì)應(yīng)法則（即沒有用全等關(guān)系的符號(hào)）表示，所以會(huì)出現(xiàn)三種可能，選擇D.

2.觀察圖形特征暗示的信息找對(duì)應(yīng)

①有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；

②有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；

③有對(duì)頂角的，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角；

④兩個(gè)三角形中，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角的夾邊是對(duì)應(yīng)邊；

⑤兩個(gè)三角形中，對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊的夾角是對(duì)應(yīng)角；

⑥兩個(gè)三角形中，一對(duì)最長(zhǎng)的邊是對(duì)應(yīng)邊，一對(duì)最短的邊是對(duì)應(yīng)邊；

⑦兩個(gè)三角形中，一對(duì)最大的角是對(duì)應(yīng)角，一對(duì)最小的角是對(duì)應(yīng)角.

二、靈活選擇運(yùn)用判定方法

三角形全等的證明有三條公理、一條推論以及直角三角形特有的斜邊直角邊公理.每個(gè)公理和推論都有自己的符號(hào)表示形式，如SAS、ASA、AAS、SSS、HL等，在學(xué)習(xí)中可以充分考慮已知條件和圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用公理及推論的字母表示形式去尋找解題思路，培養(yǎng)解題能力.如：（1）已知條件中有兩邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，找兩邊的夾角或第三邊對(duì)應(yīng)相等（SAS、SSS）；（2）已知條件中有兩角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，找兩角的夾邊或任何一組等角的對(duì)邊相等（ASA、AAS）；（3）已知條件中有一邊和一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，找夾等角的另一組邊對(duì)應(yīng)相等，或任何一組角對(duì)應(yīng)相等（SAS、AAS）.

例3 如圖2，點(diǎn)E在AB上，AC=AD，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明.所添?xiàng)l件為： .你得到的一對(duì)全等三角形是： .

【分析】本例是一道條件探索型試題，需從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因，考慮要圖中存在全等三角形，現(xiàn)已有哪些條件，逆推還需添加什么條件， 同時(shí)本例又是一道開放性試題，答案不唯一，從圖中也可以直觀地看出可能有△ACE與△ADE，△ABC與△ABD，△BCE與△BDE三對(duì)三角形全等.

若要△ACE≌△ADE，現(xiàn)已有AC=AD，又AE=AE（公共邊），故還需添加CE=DE（從邊的角度考慮用SSS）或∠CAE=∠DAE（從角的角度考慮，已有兩邊，考慮兩邊的夾角用SAS）；

若要△ABC≌△ABD，現(xiàn)已有AC=AD，又AB=AB（公共邊），故還需添加BC=BD或∠CAB=∠DAB；

當(dāng)然由△ACE≌△ADE或△ABC≌△ABD，也可推得△BCE≌△BDE.

故所添?xiàng)l件為：CE=DE，或∠CAE=∠DAE（∠CAB=∠DAB），或BC=BD.

由此得到的一對(duì)全等三角形是： △ACE≌△ADE，或△ABC≌△ABD，或△BCE≌△BDE.

三、熟悉三角形全等的基本圖形

在全等三角形的學(xué)習(xí)中，有很多的基本圖形，我們通過對(duì)兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察分析，看出其中一個(gè)三角形是由另一個(gè)三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)變換后形成的，我們將常見的三角形全等的基本圖形整理如下：

1.平移型：圖3的圖形屬于平移型圖形.它們可看成是由對(duì)應(yīng)相等的邊在同一直線上移動(dòng)所構(gòu)成的，故該對(duì)應(yīng)邊的相等關(guān)系一般可由同一直線上的線段和或差而證得.

2.對(duì)稱型：圖4屬于對(duì)稱型圖形.它們的特征是可沿某一直線對(duì)折，且這直線兩旁的部分能完全重合，重合的頂點(diǎn)就是全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).

3.旋轉(zhuǎn)型：圖5屬于旋轉(zhuǎn)型圖形.它們可看成是以三角形的某一頂點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的，故一般有一對(duì)相等的角隱含在平行線、對(duì)頂角、某些角的和或差中.

這些基本圖形都是由三角形經(jīng)過圖形的運(yùn)動(dòng)得到的，只有熟悉了這些圖形，才能學(xué)會(huì)從復(fù)雜的圖形中分離出題目需要的基本圖形，對(duì)今后解決有關(guān)問題是大有益處的.在具體解題時(shí)，如能抓住基本圖形，就比較容易找到解決問題的途徑和方法.

四、復(fù)雜圖形拆分為基本圖形

當(dāng)圖形復(fù)雜時(shí)，我們可把不需要的線段、角隱藏，也可將圖形分離、涂色等.圖形分離就是面對(duì)一個(gè)較為復(fù)雜的圖形時(shí)，我們從解題的需要出發(fā)，在保持圖形中各元素（點(diǎn)、線、角等）相對(duì)位置不變的情況下，提取出原圖形的一部分來分析問題的解決方法.分離出來的基本圖形比原圖形簡(jiǎn)捷，少了許多來自不相干的圖形元素的干擾，看著簡(jiǎn)化后的圖形，結(jié)合基本知識(shí)，諸多問題可迎刃而解.

例4 如圖6，已知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，且B、C、E在同一直線上，求證：BD=AE.

【分析】BD是△BED或△BCD的邊，AE是△ABE或△ACE的邊，顯然△BED和△ABE不全等，故轉(zhuǎn)而考慮△BCD和△ACE，將△BCD和△ACE涂色，特別關(guān)注這兩個(gè)三角形，它們有BC=AC，CD=CE，欲證它們?nèi)壬行枰粋€(gè)條件，即BC和CD的夾角與AC和CE的夾角是否相等.因∠BCD=60°+∠ACD=∠ACE，故△BCD≌△ACE，從而BD=AE.

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)我們利用全等三角形證明線段或角相等時(shí)，首先觀察線段或角在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，將它們涂色后加以特別的關(guān)注，然后再分析欲證全等的這兩個(gè)三角形中，已知什么條件，還缺少什么條件，想方設(shè)法證得所缺條件.