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    全等圖形概念透析

    2013-04-12 00:00:00趙軍
    初中生世界·八年級 2013年10期

    在我們的生活中存在著大量的全等圖形,如課本上提供的窗花、郵票等圖案.數(shù)學(xué)中的幾何圖形有的形狀相同,大小不同;有的大小相同,形狀不同;也有的形狀、大小都不相同.若兩個幾何圖形的形狀、大小完全相同(即能夠完全重合),則稱這兩個圖形是全等的圖形.兩個圖形能不能稱為全等,就是要看這兩個圖形疊放在一起能不能完全重合.若能,則可稱為全等;若不能,哪怕有一點兒不能重合,那么就不能稱為全等.

    舉個例子,倘若某人的私章是正方形的,那么蓋出來的圖形都是一模一樣的正方形;學(xué)校的公章是圓形的,蓋出來的圖形都是形狀、大小一樣的圓形;假如印章制成三角形的,蓋出來的圖形就是全等的三角形.兩個圖形能不能全等,與圖形之間的位置無關(guān),如圖1所示的兩個圖形能夠完全重合,就可稱這兩個圖形全等.

    一、全等三角形的定義和性質(zhì)

    (1)能夠 的兩個三角形叫做全等三角形.

    (2)全等三角形的對應(yīng)邊 ,對應(yīng)角 .

    特別要提醒大家注意幾點:1.全等三角形的性質(zhì)中,三角形全等是條件,對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等是結(jié)論;2. 學(xué)習(xí)三角形全等概念,關(guān)鍵是理解各種對應(yīng)關(guān)系,利用性質(zhì),學(xué)會準(zhǔn)確地找出兩個全等三角形中的對應(yīng)邊和對應(yīng)角.在寫兩個三角形全等時,一定要把對應(yīng)頂點的順序?qū)懸恢?,以方便、?zhǔn)確地找到對應(yīng)邊和對應(yīng)角.

    例1 如圖2,小強(qiáng)利用全等三角形的知識測量池塘兩端M、N的距離,如果△PQO≌△NMO,則只需測出其長度的線段是( ).

    A.PO B.PQ

    C.MO D.MQ

    【分析】利用全等三角形對應(yīng)邊相等可知要想求得MN的長,只需求得其對應(yīng)邊PQ的長,據(jù)此可以得到答案.

    【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì),一般情況下,題目以“≌”符號連接兩個三角形全等,各個對應(yīng)位置上的字母表示的點就是對應(yīng)頂點,兩個對應(yīng)位置上的字母表示的線段形成對應(yīng)邊.所以,本題中只需把實際問題轉(zhuǎn)化為三角形全等問題,運用三角形全等的性質(zhì)即可解決.

    二、一般三角形全等的判定方法

    (1)“邊角邊”即“SAS”,兩邊和它們的 的兩個三角形全等.

    (2)“角邊角”即“ASA”,兩角和它們的 的兩個三角形全等.

    (3)“角角邊”即“AAS”,兩角和其中一角的 的兩個三角形全等.

    (4)“邊邊邊”即“SSS”,___________相等的兩個三角形全等.

    需要注意的是,有兩條邊和一個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等(即邊邊角),如圖3,在△ABC和△EFG中,AB=EF,AC=EG,∠B=∠F,但這兩個三角形不全等.

    例2 已知:如圖4,點E,A,C在同一條直線上,AB∥CD,AB=CE,AC=CD.求證:BC=ED.

    【分析】俗話說:“證相等找全等.”要證BC=ED可由證明△ABC≌△CED得到,結(jié)合已知條件:AB=CE,AC=CD,只需找其夾角相等即可,而該條件可由AB∥CD得到.

    【點評】根據(jù)題目已有的條件,尋找三角形全等所缺的條件,體會“邊角邊”的判定方法,在證明三角形全等后并能運用全等的性質(zhì)解決問題.同時,按照“由已知想可知,由未知想需知”的思路,思考由條件出發(fā),能得到什么結(jié)論,由結(jié)論出發(fā),需要什么條件,前后能否互相銜接,形成證明思路.學(xué)習(xí)過程中,經(jīng)常以此思路進(jìn)行分析,定能不斷提高分析問題和解決問題的能力.

    三、直角三角形全等的判定方法

    (1)利用一般三角形全等的判定方法都能證明直角三角形全等.

    (2)“斜邊、直角邊”即“HL”, 對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

    例3 如圖5,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC與BD交于O,AC=BD.求證:(1)BC=AD;(2)△OAB是等腰三角形.

    【分析】(1)由題意可知,△ABD和△BAC均為直角三角形,且有一組直角邊對應(yīng)相等,結(jié)合兩三角形有一公共邊,可用“HL”判定兩個直角三角形全等,從而證得BC=AD;另外也可運用勾股定理,分別求BC、AD,得它們相等.(2)運用(1)中結(jié)論BC=AD,可再證△AOD≌△BOC(AAS)得到OA=OB,得△OAB是等腰三角形.此外,也可考慮運用(1)中的全等證得∠CAB=∠DBA獲得結(jié)論.

    【點評】本題重點考查了直角三角形全等的判定以及全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識,屬于難度較小的基礎(chǔ)題,必須熟練掌握.需要提醒大家注意的是,在書寫證明過程時,我們一定要注意前后的因果聯(lián)系,說理時,條件一定要“到位”,千萬不要因為題目中有條件,在說理中就可以不寫,如本題中的直角三角形應(yīng)由條件AC⊥BC、BD⊥AD得到,如果不寫,那么下結(jié)論時,就顯得條件不夠充分,從而不具有說服力.

    四、角平分線定理

    如果題目的條件中給出一個角和它的角平分線,在其平分線上任取一點,并過該點作兩邊的垂線段,結(jié)合隱含條件(公共邊),可通過“角角邊”的判定方法判定兩個三角形全等,得出角平分線定理:“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”.

    例4 如圖6,OP平分∠MON,PA⊥ON于點A,點Q是射線OM上的一個動點,若PA=2,則PQ的最小值為( ).

    A.1 B.2 C.3 D4.

    【分析】當(dāng)PQ⊥OM時PQ最小,結(jié)合角平分線定理可知:PQ=PA=2.

    【點評】角平分線定理實際上就是由三角形全等得到的一個結(jié)論,掌握定理的關(guān)鍵是抓住角平分線和距離(垂直).在說理時,要盡量做到條件充分、條理清楚,切不可直接由角平分線就得出結(jié)論,一定要由角平分線和兩個垂直得到結(jié)論.

    同學(xué)們在本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中要做好以下幾點:(1)在表達(dá)兩個三角形全等時,要注意對應(yīng)頂點應(yīng)寫在對應(yīng)的位置上;(2)在運用全等三角形的性質(zhì)時,要理解全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等;(3)在運用全等三角形的判定進(jìn)行證明時,要注意分析題中的已知條件和結(jié)合圖形及圖形中的隱含條件進(jìn)行思考;(4)在對兩個三角形下全等的結(jié)論時,一定要在條件充分的前提下才能進(jìn)行;(5)在探索三角形全等的條件時,同學(xué)們還要注意兩條性質(zhì):①角平分線上的點到角的兩邊的距離相等;②三角形具有穩(wěn)定性,四邊形具有不穩(wěn)定性.

    學(xué)好本章內(nèi)容,同學(xué)們一定要注重經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程,體會分析問題的方法,積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗,注重有條理地思考和表達(dá),逐步學(xué)會說理,使說理做到有理有據(jù),真正理解推理的過程.只有這樣才能真正掌握全等圖形的相關(guān)概念,做到理解透徹、運用靈活、證明到位.

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