數(shù)學規(guī)劃在水網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化設(shè)計中的應用進展

梁肇銘，李 雁，解新安

（華南農(nóng)業(yè)大學 食品學院，廣東 廣州 510642）

水資源短缺和水污染是當今人類面臨的重大問題，特別是制造工業(yè)，每天需要消耗大量新鮮水和排放大量廢水。水網(wǎng)絡(luò)集成技術(shù)可以較大限度地回用廢水，實現(xiàn)節(jié)水減排。Takama等［1］首次運用數(shù)學規(guī)劃設(shè)計單雜質(zhì)煉油廠用水網(wǎng)絡(luò)，并建立了用于優(yōu)化用水和清洗過程的超結(jié)構(gòu)模型。由于該數(shù)學模型規(guī)模較大且難于求解，該優(yōu)化法在水網(wǎng)絡(luò)的應用曾被冷落。近十年來，隨著系統(tǒng)優(yōu)化技術(shù)理論的擴展、大規(guī)模線性/非線性/混合整數(shù)非線性求解器的完善以及現(xiàn)代智能算法的優(yōu)化，建立超結(jié)構(gòu)并運用數(shù)學規(guī)劃優(yōu)化水網(wǎng)絡(luò)才有了進一步的研究。

本文綜述了數(shù)學規(guī)劃在連續(xù)過程水網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化設(shè)計中的特點、求解策略和應用現(xiàn)狀，探討了模型求解的優(yōu)化算法，以期為過程工業(yè)水網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的發(fā)展提供依據(jù)。

1 樹搜索法

Koppol等［2］針對水分配網(wǎng)絡(luò)首次提出樹搜索法，并基于最小新鮮水用量、管道安裝和水泵費用為目標的數(shù)學模型來改造多雜質(zhì)用水網(wǎng)絡(luò)。該法首先運用最大回用原則產(chǎn)生分支以確定當前上界，隨后通過在定界過程中不斷遍歷以更新上界來決定回用結(jié)構(gòu)的最優(yōu)解。已通過三甲苯磷酸鹽廠、乙基氯化物廠、造紙廠和煉油廠的用水和水處理網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化實例驗證了該法的有效性。目前該法是唯一能確保尋找多雜質(zhì)用水網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)解的方法。但該法為枚舉法，工作量較大。

2 數(shù)學規(guī)劃法

2.1 線性規(guī)劃（LP）法

在水網(wǎng)絡(luò)設(shè)計中，假定各用水過程的進出口雜質(zhì)濃度均已知，或?qū)⒎蔷€性項進行適當約束使其線性化，即可構(gòu)建LP模型進行求解。

Tan等［3］針對單雜質(zhì)不確定數(shù)據(jù)的水回用網(wǎng)絡(luò)，提出運用對稱模糊線性規(guī)劃以求解質(zhì)量交換和水阱分配問題。該法能松弛最小用水目標到可允許邊際值，與傳統(tǒng)方法相比，既簡單又具計算效率。Ku-Pineda等［4］考慮到環(huán)境因素，基于線性規(guī)劃，引入可持續(xù)過程指數(shù)（SPI），以量化集成用水過程中環(huán)境的影響。通過5過程單雜質(zhì)以SPI最小和以新鮮水用量最小的優(yōu)化比較得知，SPI最小的總成本僅為以新鮮水用量最小為目標的1/15。胡仰棟等［5］針對單、多雜質(zhì)再生/再利用水網(wǎng)絡(luò)，提出了逐步線性規(guī)劃法，即根據(jù)濃度規(guī)則對各過程進行排序，然后根據(jù)序列運用線性規(guī)劃進行逐級的優(yōu)化匹配。李保紅等［6］改進了逐步線性規(guī)劃法，通過在過程排序中引入水網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)性的必要條件，用于多雜質(zhì)水網(wǎng)絡(luò)的快速設(shè)計，該法僅需在GAMS軟件中稍改變數(shù)據(jù)便能快速尋求用水過程的近似最優(yōu)解，但不能確保全局最優(yōu)。

2.2 非線性規(guī)劃（NLP）法

Yang等［7］和Rogelio［8］分別以新鮮水用量最小和廢水處理量最小為目標，建立了水網(wǎng)絡(luò)的NLP模型，并進行了優(yōu)化。Doyle等［9］提出了一種水網(wǎng)絡(luò)NLP模型的求解策略，該策略基于操作過程達到最大濃度的假設(shè)，將NLP問題轉(zhuǎn)化為LP問題，并通過求解此松弛的LP模型，作為一個單初始點來求解NLP模型，但此法并不能保證全局最優(yōu)解。Teles等［10］針對多雜質(zhì)水回用網(wǎng)絡(luò)，改進了Doyle等提出的求解策略，分別運用最大濃度假設(shè)、移除不必要連接、預先序列分解匹配等策略來固定負荷過程，用以獲取LP模型，同時求解這些松弛的LP模型，獲取多個初始點，以求解NLP模型。該法能較好地尋找最優(yōu)解，但求解時間較長。

針對以前的模型一般是將過程的最小流量限制視為零，使約束過于寬松，導致模型求解困難或不收斂問題，鄭世清等［11］在模型中引入了分配因子和用水過程的最小限制流量，并通過7過程3雜質(zhì)的用水網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化實例表明，該法能使超結(jié)構(gòu)模型更容易收斂，減小了求解復雜用水網(wǎng)絡(luò)問題的難度。

2.3 混合整數(shù)非線性規(guī)劃（MINLP）法

Kocis等［12］首次提出MINLP模型用來確定換熱網(wǎng)絡(luò)的最小投資費用。解新安等［13］以新鮮水用量最小為目標構(gòu)建MINLP模型，對某煉油廠15過程單雜質(zhì)廢水網(wǎng)絡(luò)進行優(yōu)化設(shè)計，驗證了MINLP模型優(yōu)化水網(wǎng)絡(luò)的可行性。針對多雜質(zhì)系統(tǒng)，Karuppiah等［14］考慮了不確定條件（包括操作過程中的雜質(zhì)負荷和處理過程中的雜質(zhì)去除負荷），建立MINLP模型來優(yōu)化水利用和水處理集成網(wǎng)絡(luò)，并使用基于拉格朗日對偶分解策略的空間分支和切割算法求解模型。陸曉艷等［15］通過引入不同雜質(zhì)的回收濃度限制，建立了包括再生回用/循環(huán)的多雜質(zhì)廢水的水網(wǎng)絡(luò)MINLP模型。該模型與Karuppiah［14］模型相比，目標函數(shù)里增加了中和藥劑、廢物處理等費用和物質(zhì)回收所得，更貼近于工程設(shè)計目標；在脫硫?qū)嵗?，能使年度總費用降低8%以上；在回收含碳稀氨水實例中，優(yōu)化結(jié)果可解決NH3與CO2反應的問題，水的重復利用率達97.8%，NH3回收率高。Hung等［16］在MINLP模型中引入壓降限制，設(shè)計了年度總成本最小的用水網(wǎng)絡(luò)，通過泵的優(yōu)化配置來改善用水網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計；在求解策略方面，首先將非線性約束條件線性化，然后通過迭代 MINLP和 LP 子問題求解。其4過程單雜質(zhì)和7過程3雜質(zhì)實例優(yōu)化驗證了設(shè)計的可行性。Faria等［17］提出以最大凈現(xiàn)值和投資回報率替代新鮮水用量最小為目標來設(shè)計和改造水網(wǎng)絡(luò)。其單雜質(zhì)和4雜質(zhì)實例表明，采用最大凈現(xiàn)值為目標時，最優(yōu)方案取決于其折現(xiàn)利率。

3 基于數(shù)學規(guī)劃的復合方法

雖然水網(wǎng)絡(luò)集成的各種方法有著自身的適用范圍和局限性，但也有互補性。圖解或目標設(shè)定法［18-19］難以解決復雜問題；數(shù)學規(guī)劃能快速求解大規(guī)模多雜質(zhì)水網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的問題，但計算量大且難以獲取最優(yōu)解。因此，通過一定策略結(jié)合兩者成為一種發(fā)展趨勢，即基于圖解或目標設(shè)定法的概念設(shè)計，簡化數(shù)學模型，以降低模型求解難度和獲取最優(yōu)解。

3.1 水質(zhì)分析與數(shù)學規(guī)劃相結(jié)合

劉強等［20］借鑒李保紅等［6］和Wang等［21］的排序思路，對水網(wǎng)絡(luò)進出口極限過程數(shù)據(jù)進行分析，并構(gòu)建NLP模型，提出水質(zhì)分析與數(shù)學規(guī)劃相結(jié)合來設(shè)計多雜質(zhì)用水網(wǎng)絡(luò)。該法針對多雜質(zhì)的存在難以比較水質(zhì)優(yōu)劣的問題，引入一個量化因素需求比例（所有過程的需求量與總用水量的比值），參照需求比例的優(yōu)劣順序，同時根據(jù)優(yōu)質(zhì)水節(jié)水效果好的原則優(yōu)先回用較優(yōu)質(zhì)的出水，以達到降低維數(shù)的目的。該7過程3雜質(zhì)、10過程3雜質(zhì)的優(yōu)化實例表明，分別能使水網(wǎng)絡(luò)超結(jié)構(gòu)從42種降到14種、90種降到30種，驗證了有效性。

3.2 水夾點分析與數(shù)學規(guī)劃相結(jié)合

Gunaratnam等［22］基于水夾點分析建立了以管道和水處理費用為目標的、包括所有水回用路線的超結(jié)構(gòu)MINLP模型，同時采用分級策略，假設(shè)所有出口濃度均達到最大水平并根據(jù)過程建立線性質(zhì)量平衡方程，將MINLP模型轉(zhuǎn)化為MILP模型來求解。將其用于石油煉廠的水回用網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化和改造，探討了新鮮水消耗量、水處理費用、管道費用和污染物排放量之間的權(quán)衡和各參數(shù)的靈敏度。該法能減少10%以上的新鮮水用量，并降低投資成本。

李英等［23］基于MINLP降低維數(shù)的思想，先構(gòu)建包含所有回用可能的水網(wǎng)絡(luò)超結(jié)構(gòu)及其MINLP模型，并基于水夾點分析獲取用水過程的夾點濃度，運用設(shè)定的夾點經(jīng)驗規(guī)則剔除模型中不合理的結(jié)構(gòu)以使維數(shù)降低。該法避免了用水夾點分析難以獲取水網(wǎng)絡(luò)中最優(yōu)解的缺點，也克服了MINLP模型維數(shù)過高而求解困難的情況。其6過程單雜質(zhì)、10過程3雜質(zhì)用水網(wǎng)絡(luò)實例表明，該法能滿足不同水網(wǎng)絡(luò)的要求。但對于多雜質(zhì)系統(tǒng)，通過夾點分析獲取最小新鮮水用量還較為困難。

3.3 基于濃度勢概念的水網(wǎng)絡(luò)設(shè)計

針對多雜質(zhì)水網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化設(shè)計中雜質(zhì)難以按常規(guī)濃度排列的問題，Liu等［24］首次提出需求水流濃度勢與源水流濃度勢概念，用于解決多雜質(zhì)水流的濃度排序問題。潘春暉等［25］將其簡化為綜合濃度勢（OCPDj）。OCPDj由各用水過程水流的常規(guī)濃度確定，反映了單位水流 j被其他過程水流虛擬滿足的可能性大小，即OCPDj值越低，水流j的濃度就越低。從OCPDj值的順序便可得到水流的濃度高低。此法設(shè)計過程簡單，無需復雜的迭代或運算，其4過程3雜質(zhì)的用水實例優(yōu)化表明，各水流的綜合濃度勢順序與其常規(guī)濃度順序一致，所得新鮮水用量與Wang等［21］的研究結(jié)果相當。

對于多水源多雜質(zhì)的水網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題，王曦等［26］提出結(jié)合濃度勢概念和NNA規(guī)則［27］的優(yōu)化方法。先運用濃度勢概念確定用水過程的執(zhí)行順序，按來源將水源分為內(nèi)部源水流和外部源水流兩部分，再將源水流對用水過程的虛擬分配率作為選擇源水流的依據(jù)來滿足用水過程。其7過程3雜質(zhì)的用水實例表明，該法有效可行，但由于系統(tǒng)的復雜性，不能確保所得解最優(yōu)。

3.4 中間水道技術(shù)（WM）

對于常規(guī)的水網(wǎng)絡(luò)，為了取得最大的節(jié)水減排效果，各用水過程高度集中而柔性變差。在網(wǎng)絡(luò)中增設(shè)中間水道，使用水過程只與中間水道相連，可以達到簡化設(shè)計、增強系統(tǒng)柔性、利于運行和控制的目的。但增設(shè)中間水道一定程度上會增加操作費用，增大新鮮水用量。Feng等［28］針對以新鮮水用量最小為目標的單雜質(zhì)水回用網(wǎng)絡(luò)，提出增設(shè)一個或多個中間水道來優(yōu)化用水網(wǎng)絡(luò)設(shè)計，該中間水道的設(shè)置通過水夾點分析獲取。針對多雜質(zhì)用水網(wǎng)絡(luò)，Wang等［21］提出一級中間水道的設(shè)計方法，并引入“節(jié)水因子”的概念，側(cè)重尋找具有最大節(jié)水潛力的一級中間水道設(shè)置方法。曹殿良等［29］利用該法對某催化劑廠10過程2雜質(zhì)的用水網(wǎng)絡(luò)進行了優(yōu)化，通過設(shè)置一級和二級中間水道，取得較好的節(jié)水效果。王東明等［30］為克服中間水道技術(shù)設(shè)計精度不高的缺點，提出具有兩個中間水道的多雜質(zhì)水網(wǎng)絡(luò)設(shè)計，該法強調(diào)一級中間水道位置確定的重要性，并通過確定某中間水道回用到相應后續(xù)過程的優(yōu)先順序來完成中間水道到后續(xù)過程的水分配。其10過程3雜質(zhì)實例優(yōu)化表明，設(shè)計能簡化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，但比Koppol等［2］的研究結(jié)果略大。馮霄等［31］提出了具有中間水道的廢水再生循環(huán)用水網(wǎng)絡(luò)設(shè)計，對最小新鮮水用量、最小再生水流量、最小再生負荷進行分步優(yōu)化設(shè)計，并根據(jù)各參數(shù)相對重要性依次求解。其5過程單雜質(zhì)和7過程3雜質(zhì)的優(yōu)化實例表明了其設(shè)計的可行性。何海娜等［32］建立了具有兩級中間水道的多雜質(zhì)用水網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化方法，先利用濃度勢概念設(shè)計初始水網(wǎng)絡(luò)，再確定各中間水道的結(jié)構(gòu)及水量，然后中間水道根據(jù)濃度勢的大小順序依次滿足各用水過程以完成水分配任務(wù)。其7、8過程3雜質(zhì)優(yōu)化實例表明，計算和設(shè)計簡單，但比馮霄等［31］的研究結(jié)果略大。

4 模型求解的優(yōu)化算法

迄今為止，數(shù)學規(guī)劃在求解多雜質(zhì)水網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計問題時獲得了很大的成功，但由于模型的非凸非線性，求解時對初值的要求高，計算量大，且不能保證得到全局最優(yōu)解。為了獲取全局最優(yōu)解，很多時候需要對模型求解的算法進行適當優(yōu)化。

4.1 確定性算法

4.1.1 基于分支限界的全局優(yōu)化算法

Karuppiah等［14，33］針對水利用和水處理網(wǎng)絡(luò)的非凸NLP、MINLP模型全局優(yōu)化問題，提出一種新的空間分支界限收縮算法。對于NLP模型，通過分段線性估計逼近模型的非凸項來獲取松弛的MILP解作為下界，上界由松弛的MILP解作為初值求解非凸NLP模型獲取；對于MINLP模型，下界則利用拉格朗日對偶松弛切割子集獲取，上界由MINLP模型的局部優(yōu)解獲取。通過2過程單元2處理單元2雜質(zhì)和5過程單元2處理單元3雜質(zhì)的優(yōu)化實例驗證了模型和方法的有效性。Faria等［34］提出一種基于線性松弛和界限收縮的全局優(yōu)化算法，無需使用二進制變量，而是在雙線性和二次項中構(gòu)建下界模型分區(qū)變量，以松弛雙線性項和分段估計的非凸項；上界由求解基于下界運行的MINLP模型獲取；其13個實例優(yōu)化驗證了方法的可行性。

4.1.2 外逼近算法（OA）

Bergamini等［35］針對非凸NLP、MILP、MINLP模型尋優(yōu)收斂困難的問題，提出一種改進的分段外逼近算法——全局優(yōu)化外逼近算法。其多個實例計算表明，使用較少的二進制和連續(xù)變量就能解決模型的定界問題，與GAMS軟件相比，該算法能明顯縮短運算時間。

4.2 隨機型算法

4.2.1 遺傳算法（GA）

Shafiei 等［36］結(jié)合遺傳算法和線性規(guī)劃法對紙漿和造紙廠的用水網(wǎng)絡(luò)進行了優(yōu)化設(shè)計，運用遺傳算法處理離散變量，運用線性規(guī)劃處理連續(xù)變量，以改進數(shù)學規(guī)劃尋求水網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)解。但該法的最優(yōu)解很大程度上取決于限制濃度的要求，需考慮各種備用約束。Lavric等［37］構(gòu)建了用水網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)并運用遺傳算法求解，開拓了隨機型算法設(shè)計水網(wǎng)絡(luò)的新途徑。

為了降低在水網(wǎng)絡(luò)設(shè)計中運用遺傳算法尋優(yōu)的計算量，林瓦妹等［38］在求解前引入最大水回用規(guī)則，以簡化超結(jié)構(gòu)和約束條件，減少求解變量。其8過程1、3雜質(zhì)以新鮮水用量最小為目標的計算實例驗證了方法的可行性。

4.2.2 基于遺傳算法的混合優(yōu)化算法

Cao等［39］基于以新鮮用水量最小為目標的用水網(wǎng)絡(luò)NLP模型，提出了夾點多代理遺傳算法。該算法運用夾點規(guī)則降低維數(shù)和搜索空間，以遺傳算法獲取隨機變量，求解線性規(guī)劃獲取因變量，結(jié)合隨機變量和因變量獲取決策變量，并利用不等式約束的罰函數(shù)來計算目標函數(shù)。其5過程單雜質(zhì)和3過程3雜質(zhì)實例表明，能獲取與LINGO軟件相當?shù)膬?yōu)化結(jié)果，且在多雜質(zhì)條件下更具優(yōu)勢，能較大程度地避免局部最優(yōu)。都健等［40］將遺傳算法嵌入到模擬退火算法的內(nèi)層優(yōu)化，開發(fā)了一種混合優(yōu)化算法——自適應模擬退火遺傳算法。該算法由遺傳算法步驟進化求解最優(yōu)值，為模擬退火算法提供初始解向量，以克服常規(guī)算法求解過程中收斂困難或易于陷入局部最優(yōu)解的缺點，同時自適應調(diào)整步長和交叉變異概率的策略，能使算法的時間性能得到很好的保證。

4.2.3 自適應粒子群算法（PSO）

Hul等［41］對PSO進行了適當改進，通過在二進制變量模型中引入變異算子以避免陷入局部最優(yōu)解，并將其應用到水回用和水循環(huán)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中。其6過程單雜質(zhì)水回用和水循環(huán)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化實例表明，尋優(yōu)能力強于傳統(tǒng)的PSO和GA。Luo等［42］提出一種改進的PSO——簡約空間法，求解含等式約束MINLP模型的用水網(wǎng)絡(luò)。該算法先通過簡約優(yōu)化變量變換使帶有等式約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為僅含不等式約束優(yōu)化問題，然后通過罰函數(shù)進行求解。其4過程單雜質(zhì)用水過程實例優(yōu)化結(jié)果也驗證了算法的有效性。王猛等［43］對粒子群算法進行了改進，以新鮮水用量最小為目標，通過最大進、出口濃度的條件約束以降低回用水網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，同時利用不等式、等式約束的罰函數(shù)來計算目標函數(shù)，從而簡化求解過程中的搜索空間，避免局部最優(yōu)解。其7、3過程3、4雜質(zhì)實例驗算證明了方法和模型的可行性。

4.2.4 列隊競爭算法（LCA）

李鳳喜等［44］采用LCA法并結(jié)合序列二次規(guī)劃（SQP）法的混合優(yōu)化算法以求解多雜質(zhì)水網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化設(shè)計中的MINLP問題。該混合算法為2層結(jié)構(gòu)：外層采用LCA法，將MINLP問題轉(zhuǎn)化為NLP問題；內(nèi)層采用SQP法對NLP問題進行求解，即外層用于優(yōu)化整數(shù)變量，內(nèi)層用于優(yōu)化連續(xù)變量，然后通過兩方法的交替逼近最優(yōu)解。其3處理過程3用水過程2雜質(zhì)和3處理過程5用水過程3雜質(zhì)的實例求解到較優(yōu)的結(jié)果。

5 結(jié)語

隨著可用水資源的日益減少、廉價工業(yè)用水的匱乏，實現(xiàn)過程工業(yè)中新鮮水用量和廢水排放量最小化的水網(wǎng)絡(luò)集成和改造研究越來越收到重視。數(shù)學規(guī)劃法作為水網(wǎng)絡(luò)集成技術(shù)的重要方法，具有并行處理、求解效率高等特點，在多雜質(zhì)系統(tǒng)、大規(guī)?；驈碗s操作過程、間歇過程問題上能設(shè)計出具有柔性操作的模型。

盡管數(shù)學規(guī)劃及其復合方法在優(yōu)化設(shè)計水網(wǎng)絡(luò)中取得了較大的成功，但在大規(guī)模多雜質(zhì)水網(wǎng)絡(luò)求解、模型簡化、應用實施等方面仍需要深入研究：

a）在求解大規(guī)模多雜質(zhì)水網(wǎng)絡(luò)模型的非凸非線性問題上，如何簡化、優(yōu)化算法以縮短模型的求解時間、準確獲取最優(yōu)解，并驗證數(shù)據(jù)處理的有效性，值得探究。且在設(shè)計算法時，有必要多考慮水網(wǎng)絡(luò)中實際用水情況和各用水單元極限濃度、負荷情況。

b）復合方法能克服設(shè)計過程中水分配問題的復雜性，也能簡化模型的規(guī)模和運算求解過程，但其多依賴于設(shè)計者以經(jīng)驗設(shè)定的規(guī)則，在大規(guī)模多雜質(zhì)水網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題上仍是難點，如何準確地把握和運用經(jīng)驗規(guī)則，提出簡單而可行的復合設(shè)計方法，并驗證有效性，具有很大的探討空間。

c）關(guān)于水網(wǎng)絡(luò)集成技術(shù)的研究，設(shè)計者多集中在理論模擬階段，然而，將設(shè)計好的簡單、有效、符合實際用水情況的方法真正實施到工廠大規(guī)模水網(wǎng)絡(luò)改造中，并獲得較好的經(jīng)濟、環(huán)境效益，才更具現(xiàn)實意義。

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