球面上兩點(diǎn)間距離的求法

王功琪

(安順學(xué)院數(shù)計(jì)系，貴州 安順 561000)

《球面上的幾何》是高中新課程的一個(gè)選修專(zhuān)題，本專(zhuān)題設(shè)置的目的是讓學(xué)生了解除了平面幾何外，還有多姿多彩的幾何，而且各自都有自己的邏輯體系，球面幾何就是其中的一種。球面幾何在航海、航空、丈量土地、天文測(cè)量等方面有著非常重要的應(yīng)用，這些問(wèn)題都涉及到球面上兩點(diǎn)間的距離，球面上兩點(diǎn)之間的距離，實(shí)際上就是兩點(diǎn)之間的大圓弧弧長(zhǎng)。本文主要介紹球面上不同緯度、不同經(jīng)度的兩點(diǎn)間距離的三種求法。

1 異面直線法

要求球面上兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)弧長(zhǎng)公式，應(yīng)先求出這兩點(diǎn)確定的大圓弧所對(duì)的圓心角，那么應(yīng)該先求出這個(gè)圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)，而要求得弦長(zhǎng)，就把這兩點(diǎn)作為異面直線上的兩點(diǎn)從而用異面直線兩點(diǎn)間的距離公式求得弦長(zhǎng)，然后根據(jù)余弦定理求出圓心角從而求得兩點(diǎn)間的距離。這種方法稱(chēng)為異面直線法。

例:A地位于北緯30°，東經(jīng)60°，B地位于北緯60°，東經(jīng)90°，求A，B兩地之間的球面距離。［1］

圖1

解:如圖1，設(shè)O為球心，R為球面半徑，O1，O2分別為北緯30°圈和北緯60°圈的圓心，連結(jié)O1A，OA，O1B，OB，AB。

在直角△OAO1中，由A點(diǎn)位于北緯30°知∠OAO1=30°

所以O(shè)1O=OA sin∠OAO1=R AO1=OA cos∠OAO1= R cos30°=R。

在直角△OO2B中，∠OBO2=60°，

所以O(shè)2O=R sin60°=R，O2B=R cos60°=R。

因?yàn)镺1A與O2B是異面直線，它們的公垂線為O1O2，這兩條異面直線所成的角為γ=90°-60°=30°(經(jīng)度差)于是，由異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式得:

總結(jié):這個(gè)方法的適用條件是已知兩點(diǎn)處于不同經(jīng)度和緯度，球面半徑。若A，B兩點(diǎn)分別位于緯度α1，α2，經(jīng)度分別為β1，β2，球面半徑為R，求A，B兩點(diǎn)的球面距離的一般步驟是:

①如圖1，先求O1A，OO1，O2B，OO2;②求O1O2(O1O2= OO2-OO1);③求A，B兩點(diǎn)的經(jīng)度差γ;

④根據(jù)異面直線兩點(diǎn)間的距離公式求AB(AB2=O1A2= O1A2+O2B2+O1O22-2O1A·O2B cosγ);⑤求AB所對(duì)的圓心角∠AOB(cos∠AOB=);⑥求AB所對(duì)的大圓劣弧長(zhǎng)。

2 球面三角法

當(dāng)球面上兩點(diǎn)確定的大圓弧是某個(gè)球面三角形的某一邊時(shí)，這個(gè)球面三角形三條邊和和三個(gè)對(duì)應(yīng)角任意三個(gè)元素已知，我們就可以利用球面三角求出兩點(diǎn)間的距離。這里的球面三角包含正弦定理、余弦定理等，這種方法叫做球面三角法。

球面三角形邊的余弦定理是:對(duì)于任給半徑為R的球面三角形△ABC，其三邊a，b，c和三角∠A、∠B、∠C之間恒滿(mǎn)足下述函數(shù)關(guān)系:

球面三角形邊的正弦定理:對(duì)于任給單位球面上的球面三角形ABC，有

例:計(jì)算北京到重慶兩地間的距離。

解:根據(jù)地理知識(shí)，北京位于北緯39°56'、東經(jīng)116°20'，重慶位于北緯29°30'、東經(jīng)106°30'的經(jīng)緯度，而這兩地與北極又剛好構(gòu)成另一個(gè)球面三角形，在這個(gè)三角形中，北極到這兩地的距離很容易求出，這兩地的經(jīng)度差也容易算出，于是在這個(gè)三角形中已知兩邊及其夾角，要求第三邊，球面三角形邊的余弦定理就可以解決。

假設(shè)地球半徑為R=6400km。設(shè)N為北極點(diǎn)，B為北京，C為重慶，大圓弧BC的長(zhǎng)度為所求。

在球面三角形NBC中，∠BNC=116.3°-106.5°=9.8°≈0.17弧度，

解球面三角形NBC，由球面三角形邊的余弦定理:

即BC≈1.5×103km。

總結(jié):應(yīng)用這個(gè)方法的前提是容易找到兩點(diǎn)確定的大圓弧所在的三角形，而且球面三角形的三個(gè)元素容易確定。例2中，我們很容易找到三角形NBC，且NB和NC的圓心角易求，從而可以求出他們的長(zhǎng)度，而NB和NC的夾角∠BNC剛好是經(jīng)度差，這些元素確定后，應(yīng)用余弦定理解決是輕而易舉的。

3 坐標(biāo)法

當(dāng)球面上給出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，要求兩點(diǎn)間的距離時(shí)，我們可以用球面距離的坐標(biāo)公式求出兩點(diǎn)間的距離，這種方法稱(chēng)為坐標(biāo)法。

在半徑為R的球面上，已知球面上兩點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則它們必滿(mǎn)足方程x2+y2+z2= R2，則A，B兩點(diǎn)的球面距離為:

若點(diǎn)A，B用球面坐標(biāo)表示為(R，φ，λ)，其中，∠AOB=φ，∠x(chóng)OB=λ，由坐標(biāo)變換公式，如圖2:

圖2

則 A (R cosφ1cosλ1，R cosφ1sinλ1，R sinφ1) 和 B (R cosφ2cosλ2，R cosφ2sinλ2，R sinφ2)兩點(diǎn)間的距離為:AB= R arcos[ cos(φ1-φ2)-2cosφ1cosφ2sin2]。

例:計(jì)算上海(φ1=31.2°，λ1=121.5°)與烏魯木齊(φ2= 44°，λ2=88°)之間的距離。這里的φ，λ分別表示點(diǎn)的緯度和經(jīng)度，地球半徑R=6370千米。

解:將兩城市用A，B表示，則A，B間的距離是指他們的球面大圓弧長(zhǎng)。由球面距離的坐標(biāo)公式，得 AB=R arccos [cos(31.2°-44°)-2cos31.2°cos44°sin2]= R arccos0.8729=6370×0.6097≈3250(km)［2］

總結(jié):這種方法適用條件是已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)以及球面半徑。

以上是不同緯度不同經(jīng)度兩點(diǎn)間距離的三種求法，每一種方法都有它適用條件，因此在選用求法時(shí)要注意方法的適用范圍。而同一緯度或同一經(jīng)度的兩點(diǎn)間的距離則容易求得多。要求同一經(jīng)度上的兩點(diǎn)間的距離，只需計(jì)算緯度差作為兩點(diǎn)確定的大圓弧所對(duì)的圓心角，然后應(yīng)用弧長(zhǎng)公式即可解決問(wèn)題;而要求同一緯線上兩點(diǎn)A，B的球面距離，過(guò)A，B作大圓，關(guān)鍵要求圓心角∠AOB的大小，而要求∠AOB往往首先要求弦AB的長(zhǎng)，而要求弦AB的長(zhǎng)，就應(yīng)該先求出緯線圈中經(jīng)度長(zhǎng)和緯度差。

［1］孫慶陽(yáng).利用球面距離求地球表面距離的技巧［J］平頂山師專(zhuān)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)1998年8月第13卷第4期

［2］項(xiàng)昭等.高中數(shù)學(xué)選修課程專(zhuān)題研究［M］貴陽(yáng).貴州人民出版社.2007年8月