拉伸彎曲矯直理論及仿真研究綜述

陳 兵，舒建華，郭瑞娟，張 靜

(北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，北京 100083)

0 前言

拉伸彎曲矯直機(jī)的板形矯正工藝原理就是依靠張力輥及彎曲輥的共同作用，使帶材在所承受的張力小于屈服極限的情況下，產(chǎn)生局部塑性延伸，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)改善板形的目的。由于其“巧奪天工”的技術(shù)，受到廣泛重視，現(xiàn)已成為各大鋼廠冷軋帶鋼生產(chǎn)線的重要設(shè)備。對(duì)拉矯機(jī)的研究有將近半個(gè)世紀(jì)，本文對(duì)拉彎矯直理論及仿真研究進(jìn)行總結(jié)歸納，并對(duì)未來發(fā)展進(jìn)行了展望。

1 拉矯理論的研究

1969 年日本學(xué)者曾田長(zhǎng)一郎認(rèn)為［1］:對(duì)于彈塑性體，在彎曲和彈復(fù)的全過程中，中性面都移向壓縮面一側(cè)，即中性面相對(duì)于中間層的偏移。帶鋼的中間面被拉伸，在反復(fù)彎曲過程中，其延伸率可以采用疊加計(jì)算的方法。在此基礎(chǔ)上，給出了理想彈塑性材料的帶鋼在反復(fù)拉伸彎曲過程中，長(zhǎng)度方向的應(yīng)力和應(yīng)變沿厚度方向分布狀態(tài)的變化，為后來學(xué)者對(duì)拉伸彎曲變形過程基本認(rèn)識(shí)奠定了基礎(chǔ)。1976 年MISAKA 發(fā)表文章首先提出了薄寬帶鋼拉伸彎曲變形分析的五點(diǎn)基本力學(xué)簡(jiǎn)化［2］:(1)由于帶鋼薄且寬，帶鋼的變形是平面應(yīng)變變形;(2)忽略厚度方向的應(yīng)力;(3)變形前的橫斷面變形后仍保持為平面;(4)應(yīng)力沿寬度方向均勻分布，且忽略矯直過程中的張力變化;(5)忽略材料的包辛格效應(yīng)。在以上假設(shè)基礎(chǔ)上，基于塑性增量理論對(duì)帶鋼沿厚度方向上的應(yīng)力應(yīng)變沿厚度方向的分布進(jìn)行了研究。五點(diǎn)基本假設(shè)條件和胡克定律成為之后研究帶鋼拉伸彎曲變形理論的通用條件。

1971 至1979 年Sheppard 在先后發(fā)表的數(shù)篇文章中，提出在拉伸彎曲矯直過程中引起的應(yīng)變足以在拉伸側(cè)和壓縮側(cè)產(chǎn)生屈服，描述了帶鋼長(zhǎng)度方向應(yīng)力沿厚度方向的分布，并給出了離中心層距離為Z 的纖維層的縱向應(yīng)變表達(dá)式［3-6］。1972～1982 年E.J.Patula、余同殺［7-8］參考梁彎曲模型，將帶鋼拉伸彎曲變形提出了3 種應(yīng)力分布形式的假設(shè)。1982 年劉啟森［9］引入相對(duì)變形率推導(dǎo)了各種相對(duì)變形率之間的關(guān)系。但是李同慶［11］指出其致命缺陷，認(rèn)為將拉彎過程考慮成彎曲變形與拉伸的簡(jiǎn)單線性迭加是行不通的。1989 年徐守國(guó)［10］主要研究浪形的矯正問題，并給出了拉伸彎曲矯直后帶材平直的判別式。1997年至1999 年李同慶、肖林［11-12］等先后對(duì)帶鋼拉伸彎曲變形過程進(jìn)行了研究。肖林對(duì)之前的3 種應(yīng)力分布形式細(xì)化為5 種應(yīng)力分布形式。提出了只有當(dāng)帶鋼的塑性變形區(qū)域超過帶鋼截面的50%，中間層才能產(chǎn)生塑性應(yīng)變。之后，國(guó)內(nèi)學(xué)者崔甫、李忠富、張清東［13-14］等人基本都沿用了肖林的5 種應(yīng)力分布形式的假設(shè)。2010 年崔甫［15］在其新書里提出增加等曲率區(qū)這一概念，認(rèn)為當(dāng)壓彎量增大到一定的時(shí)候，反彎曲率不會(huì)增大而處于等曲率區(qū)。等曲率區(qū)越長(zhǎng)為帶材提供的變形時(shí)間越充裕，對(duì)滯后變形的彌補(bǔ)越充分，矯直質(zhì)量越好。

以往對(duì)拉伸彎曲變形的研究都是基于梁彎曲理論。2008 年王文廣［16］在博士論文中考慮厚度方向上的應(yīng)力應(yīng)變，采用板彎曲的求解思路對(duì)帶鋼進(jìn)行理論建模。但其計(jì)算出的結(jié)果與實(shí)際仍有較大差距。

1.1 彎曲曲率

帶鋼在拉伸和彎曲的共同作用下產(chǎn)生彈塑性變形，彎曲的作用不言而喻。在關(guān)于拉伸彎曲變形帶鋼應(yīng)力應(yīng)變分布的理論建模研究中，彎曲曲率作為反映帶鋼彎曲程度的重要參量，是拉矯解析模型中能否進(jìn)行計(jì)算的關(guān)鍵。

早期研究拉矯機(jī)理時(shí)，認(rèn)為帶鋼的彎曲半徑與輥的半徑一致。但拉伸彎曲變形過程中，帶鋼并未與彎曲輥面完全貼合，其接觸面的曲率半徑不一定等于彎曲輥輥徑、而是由張力、彎曲輥輥徑，輥距、帶鋼材料屬性等參數(shù)共同決定的。1972 年T.sheppard［4］提出帶鋼曲率半徑是否等于彎曲輥半徑的判定條件。但對(duì)計(jì)算帶鋼的彎曲曲率半徑的研究?jī)r(jià)值不大。1984 年，NE.Thompson［17］認(rèn)為兩個(gè)彎曲輥之間的自由帶材近似一條直線，但顯然這樣對(duì)帶材與彎曲輥接觸點(diǎn)的位置的假設(shè)是難以接受的。1994 年，洪麗英等人［18］假定帶鋼受力后，成為一條拋物線形狀并假設(shè)這條拋物線是表示帶鋼曲率變化的主要函數(shù)。但其中假設(shè)過多，存在明顯缺陷。1997 年，肖林［12］結(jié)合NE.Thompson 的工作，對(duì)理想彈塑性和線性強(qiáng)化帶材在彎曲輥上的最小曲率半徑的計(jì)算方法進(jìn)行了探討。并給出了帶鋼與輥線接觸時(shí)的最小彎曲曲率計(jì)算模型。但涉及到的計(jì)算公式需要進(jìn)一步的改進(jìn)和修正。Yoshisuke［6］在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上總結(jié)了一套有效的經(jīng)驗(yàn)公式

式中，ρ為帶鋼彎曲半徑，d為彎曲輥直徑;h為帶鋼厚度;s為帶鋼屈服極限;σF為帶鋼橫截面張應(yīng)力;θ為帶鋼包角。

后來，李忠富、鄧凱［19］等人在經(jīng)驗(yàn)半徑公式的基礎(chǔ)上，根據(jù)大量現(xiàn)場(chǎng)離線數(shù)據(jù)修正了半徑公式。但修正的公式不能通用。

1.2 張力變化計(jì)算

帶鋼張力也是拉伸彎曲矯直的一個(gè)重要參量。最開始人們忽略拉矯機(jī)的張力變化，到上世紀(jì)90 年代末，李同慶、肖林等都認(rèn)識(shí)到，在理論建模中假設(shè)帶鋼張力在拉伸彎曲矯直過程中保持不變并不正確，實(shí)際生產(chǎn)中帶鋼張力是不斷變化的。并且?guī)т摪l(fā)生拉伸彎曲變形所需的變形能必須要有張力做功提供。從后張力輥組到前張力輥組，帶鋼的張力是逐漸增大的，帶材的張力變化與帶材的彎曲能耗有關(guān)系。單位寬度單位長(zhǎng)度帶鋼內(nèi)部功可用拉伸功和彎曲功的和來表示。而計(jì)算變形功需要知道帶材橫截面上的應(yīng)力和應(yīng)變情況的詳細(xì)的描述。但彎曲之后帶鋼的應(yīng)力應(yīng)變是可知的，而在離開彎曲輥后殘余應(yīng)力和應(yīng)變的分布卻難以預(yù)知。

1997 年李同慶［11］在其博士論文中認(rèn)為帶材在拉伸彎曲矯直中，張力的變化主要用于使帶材產(chǎn)生塑性變形。因此，根據(jù)拉彎后的塑性應(yīng)變與對(duì)應(yīng)的應(yīng)力的乘積，在橫斷面上的積分，就為單位長(zhǎng)度，單位寬度上消耗的功。后面也有學(xué)者認(rèn)為塑性應(yīng)變應(yīng)為彎曲卸載后由變形協(xié)調(diào)關(guān)系而產(chǎn)生的斷面塑性應(yīng)變。兩者存在略微差別。1999年肖林［12］根據(jù)功能互等原理，建立彎曲輥前后帶鋼張力增量計(jì)算模型。但認(rèn)為彎曲輥前后帶鋼運(yùn)行速度相等的假設(shè)是不符合實(shí)際情況的，其所造成的誤差仍是值得討論的問題。而且，采用基于張力不變假設(shè)條件的拉伸彎曲變形理論計(jì)算帶鋼張力變化本身就是矛盾所在。劉琨明［20］等在很大假設(shè)情況下計(jì)算了理想彈塑性材料在拉伸彎曲矯直時(shí)能耗和張力的變化。并且認(rèn)為當(dāng)帶材的彎曲曲率很大時(shí)或厚度很大時(shí)，帶材的橫截面明顯不是平面，相應(yīng)的拉伸彎曲能耗的計(jì)算公式則會(huì)不同。

1.3 延伸率的計(jì)算公式

帶鋼浪形的實(shí)質(zhì)是纖維的長(zhǎng)短不一。帶材在軋制過程中由于各條縱向纖維不均勻延伸使內(nèi)部產(chǎn)生壓應(yīng)力，當(dāng)其值達(dá)到一定程度時(shí)，會(huì)造成板形的瓢曲或浪形。拉伸彎曲矯直機(jī)改善板形正是通過使各條縱向纖維長(zhǎng)度相等而實(shí)現(xiàn)的。需矯平的帶材在張力輥組施加的張力作用下，連續(xù)經(jīng)過上下交替布置的小直徑彎曲輥劇烈彎曲，帶材各條縱向纖維在拉伸和彎曲應(yīng)力的聯(lián)合作用下，沿長(zhǎng)度方向產(chǎn)生了不同程度的塑性延伸，各條縱向纖維的長(zhǎng)度趨向于一致，從而減小內(nèi)應(yīng)力的不均勻分布，由縱向纖維長(zhǎng)度差造成的板形缺陷得以消除［11］。而中間層塑性應(yīng)變是衡量帶鋼延伸率的標(biāo)準(zhǔn)。

在推導(dǎo)延伸率計(jì)算公式時(shí)，一般認(rèn)為帶鋼經(jīng)過第一個(gè)彎曲輥時(shí)是沒有原始曲率的。中間層的塑性變形為應(yīng)變量減去彈性變形量。為保持變形前的橫斷面變形后仍保持為平面這一假設(shè)，該彈性變形量為張力引起的彈性變形量，而不是極限彈性量。

1997 年李同慶［11］認(rèn)為帶材的實(shí)際延伸率的大小與每次彎曲的彎曲半徑及張力密切相關(guān)，中心層剩余延伸率為

式中，Ai為第i 次彎曲時(shí)中性層的偏移量;ρi為第i 次彎曲時(shí)帶鋼彎曲曲率半徑;Ti為第i 次彎曲時(shí)的前張力;h為帶材厚度。

1999 年肖林［12］認(rèn)為經(jīng)過在第一個(gè)彎曲輥上的拉伸彎曲之后，帶材存在較大的殘余變形。所以，當(dāng)分析帶材在第二個(gè)彎曲輥上的拉伸彎曲時(shí)，必須考慮此殘余曲率。中間層的應(yīng)變?yōu)?/p>

式中，ρ為帶材中間層的彎曲半徑;ρ0為原始彎曲半徑;zn為中性層偏移量。

2004 年，崔甫［13］認(rèn)為在有殘余曲率的情況下，帶材在彎曲時(shí)的總彎曲曲率為

式中，A0為殘余彎曲曲率，R為彎曲輥的半徑，e為中性層偏移量。

2008 年，汪建春［21］推導(dǎo)了帶材中間層應(yīng)變計(jì)算公式

顯然，李同慶意識(shí)到張力損耗對(duì)延伸率計(jì)算的影響;崔甫認(rèn)為:當(dāng)帶材的殘余曲率為0 時(shí)，帶材的最小彎曲半徑為彎曲輥的半徑，這與之前的分析相悖，因此這種計(jì)算方法值得商榷。而且在其著作中也沒有明確描述中間層的延伸率計(jì)算公式;汪建春認(rèn)為拉彎與純彎的應(yīng)變的曲率關(guān)系形式相同，但反彎曲率為中性層反彎曲率。雖然推導(dǎo)方法與肖林不同，但結(jié)果與肖林的計(jì)算結(jié)果一致。這里也可以明顯看出，彎曲半徑經(jīng)驗(yàn)公式?jīng)]能夠考慮殘余曲率的影響。

2 彎曲與張力配置關(guān)系

在拉矯工藝中，延伸率、矯直張力和彎曲曲率是三個(gè)重要的參數(shù):延伸率可根據(jù)來料確定，而后兩者通常按如下原則確定:1)張力最小原則，盡量利用彎曲對(duì)帶材延伸率的貢獻(xiàn)來選工藝參數(shù)。較小張力不但可以降低對(duì)機(jī)組電動(dòng)機(jī)的功率要求，還能減少斷帶和打滑。2)根據(jù)拉矯機(jī)能夠產(chǎn)生的最大彎曲曲率選擇較小的矯直張力。而張力與彎曲作用的不合理配置，容易引起帶材延伸率不足或過大、能耗過大、功率分配不均、張力波動(dòng)、帶材矯直后翹曲等問題［22］。

1999 年肖林采用5 種應(yīng)力分布形式假設(shè)，認(rèn)為只有當(dāng)應(yīng)力分布形式為C、E 型時(shí)，帶材中間層才能加大塑性延伸。通過應(yīng)力分布條件圖，可以在一定程度上為彎曲曲率和張力的配置提供依據(jù)。2006 年，重慶大學(xué)傅玉勇［23］在帶材極限彎曲曲率的計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，引入極限彎曲曲率修正系數(shù)，探討其取值規(guī)律，并將極限彎曲曲率修正值作為拉矯時(shí)的最大曲率，得出拉矯時(shí)最大彎曲曲率和最小張力的確定方法。2007 年燕山大學(xué)劉妍［24］編制相應(yīng)程序，定量分析了張力和彎曲曲率匹配關(guān)系變化對(duì)拉伸彎曲矯直后帶材內(nèi)部殘余應(yīng)力的影響。具有一定的指導(dǎo)意義。

3 板形的矯正

1978 年Yoshisuke MISAKA［6］等學(xué)者針對(duì)帶鋼拉伸彎曲矯直過程中出現(xiàn)C 翹、L 翹的問題，提出通過外力卸載后帶鋼殘余應(yīng)力形成的縱向彎曲判斷是否產(chǎn)生了L 翹，通過帶鋼殘余應(yīng)力形成的橫向彎曲判斷是否產(chǎn)生了C 翹。1989 年徐守國(guó)等研究了帶材缺陷的拉伸彎曲矯直的問題［10］，認(rèn)為拉矯延伸率沿寬度方向分布與初始延伸率偏差分布剛好正負(fù)相反、大小相等。給出了在具有對(duì)稱邊浪的帶材在彈塑性拉彎狀態(tài)下，產(chǎn)生的新延伸率的分布規(guī)律。1997 年李同慶［11］總結(jié)了帶鋼板形缺陷經(jīng)拉伸彎曲矯直后產(chǎn)生的新延伸率分布。其結(jié)論‘初始延伸率偏差越大的區(qū)域在拉伸彎曲矯直后產(chǎn)生的塑性延伸率越小，帶鋼張力越大所產(chǎn)生延伸率越大’等規(guī)律符合生產(chǎn)實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)。但關(guān)于拉矯延伸率在寬度方向分布剛好與帶鋼初始延伸率偏差的橫向分布正負(fù)相反大小相等的假設(shè)過于理想。2003 年鄧凱［19］根據(jù)板形理論求解出具有初始平坦度缺陷帶鋼的張應(yīng)力橫向分布，假設(shè)帶鋼曲率半徑在寬度方向上均布，基于拉伸彎曲變形理論求解模型建立延伸率橫向分布計(jì)算模型。在一定程度上解釋了板形平坦度缺陷矯正原理。2007 年劉妍［24］將前人的基本理論公式應(yīng)用于帶材的拉伸彎曲矯直定量分析。利用應(yīng)變函數(shù)和應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系和條元分割的方法，考慮初始?xì)堄鄳?yīng)力沿板寬橫向分布值，分析了拉伸彎曲矯直后殘余應(yīng)力與屈曲變形的關(guān)系。

4 數(shù)值法仿真

很多文獻(xiàn)通過力求一個(gè)簡(jiǎn)單的解析式或者編程的手段來描述拉矯過程［19-24］。但由于拉彎矯直過程涉及拉彎、彈復(fù)、反彎、硬化等多方面問題，變形十分復(fù)雜。很多因素是在解析法中沒有考慮的，所計(jì)算出的理論結(jié)果跟實(shí)際也就相差很遠(yuǎn)。

自2000 年以來，隨著有限元軟件的日趨成熟和計(jì)算機(jī)性能的極大提高，在國(guó)外公開發(fā)表的文獻(xiàn)基本都是基于有限元方法或者有限元與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的研究工作。利用有限元對(duì)帶鋼拉伸彎曲變形過程進(jìn)行仿真研究，張力變化、彎曲曲率、延伸率及帶鋼與彎曲輥間接觸力都可以直接提取，而關(guān)鍵在于模型的正確性。在建模中，帶鋼采用三維實(shí)體需要消耗大量的計(jì)算時(shí)間，這是不可接受的。

2000 年J.W.Morris［25］提出:薄寬帶鋼變形是一個(gè)平面應(yīng)變問題，可以忽略帶鋼厚度方向的應(yīng)力和應(yīng)變，采用板殼單元也能準(zhǔn)確地仿真薄寬帶鋼的變形過程。2001 年J.W.Morris、Yoshida、Masaki 等學(xué)者將如何考慮并模擬材料包辛格效應(yīng)作為首要問題。帶鋼在拉伸彎曲變形過程中帶鋼反復(fù)彎曲，材料處于拉伸、壓縮交互的循環(huán)應(yīng)力狀態(tài)，材料包辛格效應(yīng)不能忽略，需要在有限元仿真中采用合適的硬化法則進(jìn)行模擬。對(duì)三種硬化法則下的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較研究，發(fā)現(xiàn)基于混合強(qiáng)化準(zhǔn)則的材料本構(gòu)模型能夠更加準(zhǔn)確地描述材料的循環(huán)應(yīng)力和包辛格效應(yīng)。近年來，大多國(guó)內(nèi)發(fā)表的利用有限元仿真拉矯過程的文獻(xiàn)在建模方面沒有考慮到包辛格效應(yīng)，認(rèn)為帶材中間層一直處于單向拉伸作用，不用考慮包辛格效應(yīng)，這樣是不妥的［19］。2002 年，Hoon Huh、Hyoung Wook Lee 等人［26-28］應(yīng)用有限元對(duì)帶鋼拉伸彎曲變形過程中橫截面的應(yīng)力應(yīng)變規(guī)律進(jìn)行了仿真研究，得出了拉伸彎曲矯直過程中帶鋼橫截面縱向應(yīng)力應(yīng)變分布的變化規(guī)律，描述了帶鋼延伸率的產(chǎn)生過程。并指出了網(wǎng)格大小對(duì)結(jié)果的影響。2005 年J.W.Morris 采用魯棒設(shè)計(jì)思想對(duì)帶鋼在各彎曲輥上形成的包角、帶鋼線速度、延伸率和材料屈服應(yīng)力等因素進(jìn)行了組合工況設(shè)計(jì)，通過仿真計(jì)算得出以上因素對(duì)拉伸彎曲矯直后帶鋼縱向翹曲、延伸率、帶鋼中心層殘余應(yīng)力等矯直效果評(píng)價(jià)參數(shù)的影響強(qiáng)弱順序和趨勢(shì)，建立了拉伸彎曲矯直后帶鋼縱向翹曲程度的線性計(jì)算模型［29］。近兩年，國(guó)外對(duì)拉矯機(jī)的研究工作力求開發(fā)出能夠既快速又精確的拉矯機(jī)模型。2010 年L Steinwender［30］等人采用基于虛擬工作原則的建模方法，減少模型的自由度，大大減少了計(jì)算時(shí)間，通過廣泛的工業(yè)比較，驗(yàn)證了這一仿真方法的可靠性。

5 展望

(1)隨著拉矯帶鋼厚度的增加，傳統(tǒng)解析法中的相關(guān)假設(shè)存在著明顯的不足，需要探求比較貼近實(shí)際的新的拉矯解析模型。

(2)鑒于拉矯過程的復(fù)雜性，不存在簡(jiǎn)單的解析公式來描述整個(gè)拉矯過程，在清楚拉矯機(jī)理的前提下，有限元方法的應(yīng)用是大勢(shì)所趨。因此，開發(fā)低成本的準(zhǔn)確的有限元模型是十分必要的。它不僅可以優(yōu)化生產(chǎn)工藝參數(shù)、評(píng)價(jià)拉矯機(jī)的拉矯能力，還可以為設(shè)計(jì)拉矯機(jī)提供技術(shù)支持。

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