波浪對(duì)豎直板的水彈性沖擊

范從軍，孫昭晨，馬小劍，高 哲

（大連理工大學(xué)海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連116024）

波浪對(duì)豎直板的水彈性沖擊

范從軍，孫昭晨，馬小劍，高 哲

（大連理工大學(xué)海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連116024）

基于線性水波理論，采用模態(tài)疊加法和有限差分法研究了受波浪沖擊作用的豎直板的水彈性響應(yīng)。流體假定為不可壓縮、理想勢(shì)流。首先基于模態(tài)疊加法給出了二維邊界條件和四周簡(jiǎn)支板的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的解析解，與有限差分法求解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比完全一致，然后運(yùn)用有限差分法給出了四邊固定彈性板運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的數(shù)值解，最后分析了厚度、波長(zhǎng)對(duì)板振動(dòng)、輻射波高的影響。研究發(fā)現(xiàn)在有邊界約束條件下水彈性作用會(huì)加劇板的振動(dòng)。

豎直板；四周邊界；水彈性響應(yīng)；波浪沖擊

隨著對(duì)海洋資源的不斷開(kāi)發(fā)，海岸和近海工程建筑物的安全問(wèn)題已成為研究的熱點(diǎn)，特別是波浪對(duì)海上建筑物的沖擊作用問(wèn)題。眾所周知，由于波浪在船舶和港口岸壁之間的不停反射使得?？吭诟劭趦?nèi)的船四周環(huán)境與開(kāi)放海域大不相同。豎直墻或者岸邊的存在對(duì)于港口內(nèi)的浮體結(jié)構(gòu)和停靠船舶有較大的影響，波浪的反射能夠引起結(jié)構(gòu)的動(dòng)響應(yīng)，從而使結(jié)構(gòu)發(fā)生疲勞等各種損害。隨著結(jié)構(gòu)向大型化、輕薄化發(fā)展，結(jié)構(gòu)水彈性效應(yīng)將更突出，對(duì)豎直板的水彈性研究也將有助于工程上對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的預(yù)報(bào)，避免發(fā)生重大事故。

目前國(guó)內(nèi)外對(duì)水平板的水彈性研究較多，提出了各種各樣的方法［1-4］，而對(duì)于豎直板的研究則甚少。Newman［5］給出了一個(gè)描述豎直圓柱振動(dòng)的正交多項(xiàng)式集，計(jì)算了波浪作用下下端固定的懸臂彈性圓柱的振動(dòng)響應(yīng)。Sturova［6］基于線性勢(shì)流理論，通過(guò)傅里葉、拉普拉斯變換，得到了一個(gè)與彈簧相連的豎直板在波浪作用下時(shí)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)方程，豎直板仍然假定為剛性的。Peter和Meylan［7］第一次假定板為彈性，采用加速度勢(shì)推導(dǎo)了板和波浪作用的耦合方程，求解該方程能得到各模態(tài)的振幅，再利用譜理論得到時(shí)域內(nèi)板的響應(yīng)。He G. H［8］在2D水域內(nèi)，運(yùn)用BEM-FEM方法研究了板在非線性波沖擊作用水彈性響應(yīng)以及波浪對(duì)板變形的響應(yīng)。分別考慮了板的各項(xiàng)同性和異性，對(duì)于耦合方程整體求解。上述文獻(xiàn)都只考慮二維板邊界條件，即把板當(dāng)做彈性梁，而實(shí)際工程中的模型往往需要考慮板四周的邊界條件。

本文將采用勢(shì)流理論，在頻域內(nèi)利用速度勢(shì)推導(dǎo)豎直板在波浪沖擊作用下的耦合作用方程，分別用有限差分法和模態(tài)疊加法對(duì)方程進(jìn)行求解，對(duì)板在不同波浪參數(shù)和邊界條件下的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行系統(tǒng)分析研究，分別考慮水彈性和不考慮水彈性，對(duì)兩者結(jié)果做一個(gè)對(duì)比。

1 問(wèn)題分析

如圖1所示，在均勻水深d中有一塊厚度為t的豎直彈性板，板長(zhǎng)度為D，彈性模量為E。假定流體為無(wú)粘性，運(yùn)動(dòng)無(wú)旋、不可壓縮理想流體，滿足勢(shì)流理論。入射波為頻率為ω的周期諧波，則速度勢(shì)可以寫(xiě)成分離出時(shí)間變量形式分別表示入射勢(shì)、反射勢(shì)和輻射勢(shì)。對(duì)于入射勢(shì)和反射勢(shì)可以表示成

方程解為［9］

由線性理論下伯努利方程得壓力

根據(jù)歐拉板理論［10］，板振動(dòng)方程為

假定在簡(jiǎn)諧波作用下板的振動(dòng)為

把（4）帶入（3）并結(jié)合方程（2）可得

2 方程求解

本文將采用有限差分法和模態(tài)疊加法分別求解并對(duì)兩種結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，分別考慮二維板和三維板邊界條件，二維板條件下對(duì)耦合方程化簡(jiǎn)為

2.1 數(shù)值解法

采用有限差分法對(duì)方程進(jìn)行離散，離散采用中心差分格式

帶入方程（6）得到二維板邊界下離散方程

對(duì)于三維邊界條件，假定橫向和豎向離散距離相等，同樣采用中心差分格式可以得到方程的離散形式如下

對(duì)于不同邊界下面給出主要的三種邊界差分格式［10］：

2.2 模態(tài)疊加法

二維板邊界條件下

四周簡(jiǎn)支板

2.2.1 簡(jiǎn)支邊界

對(duì)于兩邊簡(jiǎn)支邊界

對(duì)方程（6）右邊第一項(xiàng)進(jìn)行正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)

帶入方程（6），同時(shí)利用模態(tài)的正交性得

對(duì)于四周簡(jiǎn)支板

利用上述三角級(jí)數(shù)展開(kāi)同樣可以求得

2.2.2 其他邊界

本文只考慮兩個(gè)常用的邊界，一個(gè)是一端固定，一端自由和兩端都固定。

一端固定，一端自由

兩端固定

把模態(tài)（18）帶入方程（5），最后寫(xiě)成矩陣形式

3 算例結(jié)果

由于板振動(dòng)方程是建立在薄板小撓度振動(dòng)理論的基礎(chǔ)上，其必須滿足Kirchhoff的假設(shè)［13］這要求厚度和長(zhǎng)度滿足）。根據(jù)數(shù)值試驗(yàn)得到，當(dāng)彈性模量E為1011數(shù)量級(jí)或者更大，板的振動(dòng)為10-4數(shù)量級(jí)，無(wú)需再考慮。取彈性模量E為109∶1010，泊松比μ=0.3，密度比＜10.0為板密度，ρ為水密度，則本文適用范圍。

以實(shí)驗(yàn)室常用的有機(jī)玻璃為算例，參數(shù)如下：彈性模量E=3.15×109Pa，密度ρ=1.19×103kg/m3，泊松比μ= 0.3，厚度為t=0.01 m，則β=0.029，γ=0.011 9，在上述適用范圍內(nèi)，板寬D=1.0正方形板，水深為d=1m，入射波長(zhǎng)L/D=2，入射波幅H/D=0.2。分別考慮下端固定，上端自由、兩端固定、兩端簡(jiǎn)支和四邊簡(jiǎn)支4種不同情況。利用有限差分離散時(shí)，對(duì)二維板劃分30單元，四邊簡(jiǎn)支、固定時(shí)劃分20×20單元。

從圖2～圖3可以看出，在4種不同邊界條件下有限差分解和解析解吻合的比較好，這也驗(yàn)證了兩種方法的正確性。同時(shí)可以看出邊界約束越多，板撓度就越小，固定邊界的約束作用最大。

圖4～圖5可以看出在不同的邊界下水彈性對(duì)板的撓度影響呈現(xiàn)出了截然不同的結(jié)果。圖4在上端沒(méi)有約束下，水彈性作用十分明顯，較大的變形產(chǎn)生的附加質(zhì)量和附加阻尼使得上端變形迅速變小。圖5兩端固定，水彈性的作用卻加強(qiáng)了板的振動(dòng)，這是因?yàn)檫吔绲募s束作用，使得能量在板上聚集，造成結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)強(qiáng)烈。從附加阻尼矩陣來(lái)看，有邊界約束時(shí)，耦合項(xiàng)中出現(xiàn)了和非耦合項(xiàng)同一量級(jí)的數(shù)值，但符號(hào)相反，從而使得變形增大。

圖6～圖7分別表示考慮水彈性和不考慮水彈性下最大撓度變化值、輻射波高值與不考慮水彈性情況下最大撓度、入射波高比值。圖6可以看出，撓度增大的相對(duì)值隨著波長(zhǎng)的和無(wú)量綱剛度和質(zhì)量的β、γ增大而降低，當(dāng)L/D≥5.0時(shí)，相對(duì)值已經(jīng)接近于零。附加阻尼、質(zhì)量矩陣隨著波長(zhǎng)的變大而變小，所以長(zhǎng)波作用下水彈性影響很小。圖7中，輻射波高隨著波長(zhǎng)先增大后降低，L/D≈4.0時(shí)，達(dá)到最大值，同時(shí)無(wú)量綱剛度和質(zhì)量β、γ越大，其值也越小。輻射波高與板振幅大小和入射波頻率有關(guān)，振幅越大，頻率越大，輻射波高也就越大。當(dāng)波長(zhǎng)較小時(shí)，由于振幅增長(zhǎng)較快，所以波高增大，當(dāng)波長(zhǎng)超過(guò)一定值后，振幅增長(zhǎng)緩慢，甚至幾乎不變，但其入射頻率越來(lái)越小，使得波高逐漸降低。

4 結(jié)論

本文基于線性波浪理論，采用模態(tài)疊加法和有限差分給出了頻域內(nèi)各種邊界條件下板在波浪沖擊作用下的響應(yīng)。通過(guò)對(duì)比兩種方法得出的結(jié)果一致，驗(yàn)證了方法的正確性。同時(shí)定性的揭示了邊界條件、厚度、波長(zhǎng)對(duì)板振動(dòng)和輻射波高的影響。和水平板水彈性作用相比，豎直板的水彈性作用在邊界約束下能夠加劇板的振動(dòng)。通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)得出如下的結(jié)論：

（1）根據(jù)彈性薄板理論并結(jié)合數(shù)值試驗(yàn)，本文方法的適用范圍：

（2）因?yàn)樗畯椥宰饔秘Q直彈性板的振幅增加和振動(dòng)所產(chǎn)生的輻射波高隨著無(wú)量綱剛度和質(zhì)量β、γ的增大而降低；

（3）波長(zhǎng)越小，振幅增加相對(duì)值越大，在短波作用下必須考慮水彈性作用，當(dāng)L/D≥5.0時(shí)，則無(wú)需考慮；

（4）輻射波高隨著波長(zhǎng)變化有一個(gè)極值，即L/D≈4.0時(shí)，輻射波高達(dá)到最大；

（5）在各種邊界條件下，兩邊簡(jiǎn)支邊界在波浪沖擊作用下，產(chǎn)生的輻射波波高和振動(dòng)加劇最大。

同時(shí)通過(guò)傅里葉變換可以很方便地把本文解變?yōu)闀r(shí)域內(nèi)解，特別是二維邊界條件下，由于附加阻尼給出了解析的式子，求解十分方便，并不存在求解高頻附加阻尼出現(xiàn)的各種困難。

［1］Tsubogo T.A basic investigation on deflection wave propagation and strength of very large floating structures［J］.Journal of the Society of Naval Architects of Japan，1997，181（10）：299-307.

［2］Kashiwagi M.A B-spline Galerkin scheme for calculating hydroelastic response of a very large floating structure in waves［J］. Journal ofMarine Science and Technology，1998，3（1）：37-49.

［3］Liu X D，Sakai S.Time domain analysis on the dynamic response of a flexible floating structure to waves［J］.Journal of Engineering Mechanics-Asce，2002，128（1）：48-56.

［4］滕斌，勾瑩.大型浮體水彈性作用的頻域分析［J］.工程力學(xué)，2006，23（S2）：36-38.

［5］Newman N.Wave effects on deformable bodies［J］.Applied Ocean Research，1994，16（1）：47-59.

［6］KorobkinA A，Sturova IV.Motion of the vertical wall by an initial elevation of the fluid［J］.Journal of Applied Mechanics and Technical Physics，2009，50（5）：841-849.

［7］Peter M A，Meylan M H.Time-dependent interaction of water waves and a vertical elastic plate［C］//Hang Shoon Choi，Yonghwan Kim.The 23rd International Workshop on Water Waves and Floating Bodies.Keroa：Seoul National University Press，2008.

［8］Guanghua H E.Nonlinear Anslysis on Rseponse if Elastic Plate Due to Wave Impact［D］.Japan：Kyushu University，2009.

［9］李玉成，滕斌.波浪對(duì)海上建筑物的作用［M］.北京：海洋出版社，2002.

［10］徐芝綸.彈性力學(xué)中的差分方法［M］.北京：高等教育出版社，1989.

［11］曹國(guó)雄.彈性矩形薄板振動(dòng)［M］.北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，1983.

［12］付寶蓮.彎曲矩形板的廣義位移理論［M］.北京：科學(xué)出版社，2006.

［13］徐芝綸.彈性力簡(jiǎn)明教程：第二版［M］.北京：高等教育出版社，1989.

Hydroelastic analytic of a vertical elastic plate under wave action

FAN Cong-jun,SUN Zhao-chen,M A Xiao-jian，GAO Zhe
(State Key Laboratory of Coastaland Offshore Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

Based on the dynamical theories of water waves,hydroelastic analytic of a vertical elastic plate under wave action was presented using mode-expansion method and finite difference method.The fluid was supposed to be incompressible,inviscid and irrotational.Firstly,the analytic solution of response of plate with two dimensional boundary conditions and completely simple support was given by mode-expansion method,and it was fully consistent with the finite difference method result.Then,the response of plate with completely support was computed with finite difference method.Finally,the responsive amplitudes,radiation wave height affected by wavelength and plate thickness were analyzed.The study results show that the vibration of plate with boundary can be aggravated by hydroelastic effect.

vertical elastic plate;surrounded by boundary;hydroelastic response;wave action

TV 139.2；O 242.1

A

1005-8443（2013）05-0380-07

2012-11-12；

2013-01-08

國(guó)家自然科學(xué)基金（50921001）

范從軍（1988-），男，江蘇省南通人，碩士研究生，主要從事波浪與建筑物的水彈性作用方面的研究。

Biography：FAN Cong-jun（1988-），male，master student.