實(shí)例合作學(xué)習(xí)模式在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的實(shí)踐

王 扉，王夢(mèng)賢，夏方禮

(湖南城市學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南益陽413000)

眾所周知，科教興國的關(guān)鍵是創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)。具有創(chuàng)新精神的人才必須深刻地掌握現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)研究的基本方法:理論研究、科學(xué)實(shí)驗(yàn)和科學(xué)計(jì)算，而這三大基本方法要求具有扎實(shí)數(shù)學(xué)技術(shù)。數(shù)學(xué)技術(shù)主要由數(shù)學(xué)分析技術(shù)、數(shù)學(xué)建模技術(shù)、數(shù)學(xué)軟件技術(shù)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)技術(shù)與科學(xué)計(jì)算技術(shù)組成[1]。

數(shù)學(xué)建模于1960-70年代進(jìn)入西方國家的大學(xué)，1980年代初開始進(jìn)入我國大學(xué)。數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁，是數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的媒介，是數(shù)學(xué)技術(shù)化的主要途徑。為了適應(yīng)科學(xué)技術(shù)發(fā)展和創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的需要，國內(nèi)外越來越多的大學(xué)正在將數(shù)學(xué)建模與教學(xué)改革相結(jié)合，努力探索更有效的數(shù)學(xué)建模的教學(xué)法和新思路。

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，學(xué)生起點(diǎn)不一、專業(yè)混雜、教學(xué)內(nèi)容繁雜、課時(shí)少等狀況制約了教學(xué)效果。傳統(tǒng)教學(xué)中理論課、實(shí)驗(yàn)課、課程設(shè)計(jì)三者脫節(jié)，理論課“滿堂灌”，實(shí)驗(yàn)課“教條化”，而課程設(shè)計(jì)“放羊”，學(xué)生處于被動(dòng)地位，缺乏興趣，導(dǎo)致教學(xué)效果事倍功半。針對(duì)這些問題，結(jié)合筆者的一些教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，本文提出了一種“實(shí)例研究”與“合作學(xué)習(xí)”相結(jié)合的教學(xué)模式——實(shí)例合作學(xué)習(xí)模式。該模式利用問題驅(qū)動(dòng)和教學(xué)中各因素之間的互動(dòng)，提高了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)和研究性學(xué)習(xí)的能力。

一 實(shí)例合作學(xué)習(xí)模式概述

實(shí)例研究法是指在某一學(xué)科領(lǐng)域的實(shí)踐中，抽取一些具有共性而無唯一答案的問題，綜合利用該學(xué)科的理論和應(yīng)用知識(shí)，分析解決問題的方法和步驟，指出可能影響到相應(yīng)問題解決的種種因素，從而找出帶規(guī)律性的方法和結(jié)論[2]。合作學(xué)習(xí)是1970年代初興起于美國，并在1970年代中期至1980年代中期取得實(shí)質(zhì)性進(jìn)展的一種富有創(chuàng)意和實(shí)效的教學(xué)理論與策略體系，是指學(xué)生在學(xué)習(xí)群體中“為了完成共同的任務(wù)，有明確的責(zé)任分工的互助性學(xué)習(xí)”[3]。實(shí)例合作學(xué)習(xí)是以合作學(xué)習(xí)小組為基本組織形式，在教師的組織引導(dǎo)下，以解決一些開放性的問題為目的，通過學(xué)生自己的主動(dòng)探索和學(xué)生與學(xué)生之間、組與組之間、教師與學(xué)生之間的互動(dòng)過程，完成實(shí)例研究報(bào)告的一個(gè)教學(xué)過程。

在實(shí)例合作學(xué)習(xí)模式的實(shí)施中，教師首先根據(jù)教學(xué)要求設(shè)計(jì)和選取實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)查閱文獻(xiàn)資料和學(xué)習(xí)新知識(shí)，然后營造一個(gè)生動(dòng)活潑的環(huán)境去引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，鼓勵(lì)學(xué)生積極開展討論和辯論，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、努力進(jìn)取的學(xué)風(fēng)，培養(yǎng)學(xué)生從事科研工作的初步能力，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神。

二 實(shí)例合作學(xué)習(xí)模式在數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模課程總的教學(xué)目標(biāo)與任務(wù)是使學(xué)生了解利用數(shù)學(xué)理論和方法去分析和解決問題的全過程，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力，使學(xué)生在以后的工作中能經(jīng)常性地想到用數(shù)學(xué)去解決問題，提高學(xué)生盡量利用計(jì)算機(jī)軟件及當(dāng)代高新科技成果的意識(shí)，能將數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)有機(jī)地結(jié)合起來以解決實(shí)際問題[4]。

為了在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)讓學(xué)生通過實(shí)例的研究，掌握數(shù)學(xué)建模的方法和提高綜合分析能力與創(chuàng)新能力，教師可采取先導(dǎo)入具體實(shí)例、然后融入背景知識(shí)點(diǎn)的方式講解，激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，然后把實(shí)例中涉及的知識(shí)點(diǎn)、難點(diǎn)及重點(diǎn)進(jìn)行歸納、分析，引導(dǎo)學(xué)生課后分組自主學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)。通過課堂匯報(bào)研究成果、課程設(shè)計(jì)和競(jìng)賽等形式組織引導(dǎo)小組合作學(xué)習(xí)，把整個(gè)數(shù)學(xué)建模過程變成一個(gè)互相交流學(xué)習(xí)的過程，一個(gè)不斷探索和提高的過程。

(一)選取典型實(shí)例，構(gòu)造合作學(xué)習(xí)愿景

教學(xué)實(shí)例構(gòu)建是實(shí)例合作學(xué)習(xí)教學(xué)模式的核心。數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的案例一般由工程技術(shù)和管理科學(xué)及社會(huì)熱點(diǎn)問題簡化而成。選題既要考慮數(shù)學(xué)知識(shí)、計(jì)算機(jī)技術(shù)等小組合作學(xué)習(xí)的需要，又要照顧部分學(xué)生深入研究的需要，這樣才能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和團(tuán)隊(duì)的協(xié)作精神。以下是數(shù)學(xué)建模實(shí)例設(shè)計(jì)與選取的原則:

1．突出教學(xué)重點(diǎn)，拓展學(xué)生知識(shí)面

結(jié)合教學(xué)單元，展示一個(gè)個(gè)實(shí)例的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建與求解應(yīng)用過程，可極大地激發(fā)學(xué)生的求知欲和好奇心。例如，講授無約束優(yōu)化模型時(shí)，選取“生豬的最佳出售時(shí)機(jī)”作為案例。該案例與實(shí)際生活結(jié)合緊密，能有效地激發(fā)學(xué)生的求知欲。通過引導(dǎo)學(xué)生課堂上分組合作學(xué)習(xí)，展開對(duì)該實(shí)例的思考、討論、歸納和總結(jié)，學(xué)生不僅能掌握數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的建立與求解的步驟和方法，還能更好地理解結(jié)果對(duì)參數(shù)的相對(duì)敏感程度分析和模型的強(qiáng)健性等新知識(shí)，教學(xué)效果顯著。

2．突出時(shí)效與趣味

愛因斯坦說過:“興趣是最好的老師?！边@就是說一個(gè)人一旦對(duì)某事物有了濃厚的興趣，就會(huì)主動(dòng)去求知、去探索、去實(shí)踐，并在求知、探索、實(shí)踐中產(chǎn)生愉快的情緒和體驗(yàn)。例如，2011年3月11日，日本福島發(fā)生里氏9．0級(jí)地震，地震引發(fā)了海嘯，造成福島核電站核泄漏事故。當(dāng)時(shí)國內(nèi)一部分居民因不明情況出現(xiàn)恐慌情緒，由此產(chǎn)生了搶購碘鹽等風(fēng)波。筆者構(gòu)造了一組數(shù)據(jù)模擬福島核電站核泄漏事故和采集兩組大氣環(huán)流和大洋環(huán)流數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生建立微分方程模型，分析評(píng)估核泄漏事故對(duì)中國內(nèi)地的影響。學(xué)生對(duì)此問題產(chǎn)生了濃厚的興趣，在課堂上展開了熱烈的討論，最后通過數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，得出核泄漏事故對(duì)中國沿海地區(qū)有微弱的影響、對(duì)中國內(nèi)陸地區(qū)影響甚微的結(jié)論，及時(shí)地消除了學(xué)生的恐慌心理，使學(xué)生樹立了尊重科學(xué)的觀念。

3．突出學(xué)生的主體地位，因材施教

教師可針對(duì)不同的教學(xué)對(duì)象組織不同的范例，學(xué)生可針對(duì)自己的情況和興趣選擇不同難易程度、不同應(yīng)用領(lǐng)域的實(shí)際問題，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)個(gè)性化和個(gè)別化。在實(shí)例研究過程中，小組自主組織學(xué)習(xí)、討論、辯論、實(shí)驗(yàn)和撰寫研究報(bào)告，教師不參與其中任何具體工作，只起質(zhì)疑、答疑、輔導(dǎo)的作用。

4．遵循循序漸進(jìn)的原則

選題要注意選取復(fù)雜度不高的實(shí)例，由簡到難，步步深入，不要讓大多數(shù)同學(xué)感到難以下手。學(xué)期初，可布置學(xué)生研讀課本上的實(shí)例，報(bào)告學(xué)習(xí)心得，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力;學(xué)期中，可指定學(xué)生分析解決一些簡單實(shí)際問題，例如，在“微分方程模型”單元教學(xué)中可利用“酒駕的判定”、“蹦極過程的計(jì)算機(jī)仿真”等實(shí)例合作研究，培養(yǎng)學(xué)生綜合分析能力和發(fā)散性思維;學(xué)期末，可仿照大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，從當(dāng)年各高校賽題中選出若干反映社會(huì)熱點(diǎn)的實(shí)際問題，由合作學(xué)習(xí)小組任選一題作為課程設(shè)計(jì)，在指定的時(shí)間內(nèi)完成，以拓展學(xué)生知識(shí)面，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和團(tuán)隊(duì)精神。

(二)組建數(shù)學(xué)建模團(tuán)隊(duì)，搭建合作學(xué)習(xí)平臺(tái)

合作學(xué)習(xí)是實(shí)例合作學(xué)習(xí)教學(xué)模式的靈魂。可抽取班級(jí)中對(duì)數(shù)學(xué)建模興趣濃厚且基礎(chǔ)較好的學(xué)生，特別是參加過數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的學(xué)生為隊(duì)長，然后按數(shù)學(xué)建模分工合作要求對(duì)學(xué)生進(jìn)行組隊(duì)，每隊(duì)3人，由隊(duì)長協(xié)調(diào)團(tuán)隊(duì)內(nèi)學(xué)生分工合作。團(tuán)隊(duì)成員包括:建模人員(數(shù)學(xué)思維要靈活、具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底)，編程人員(編程能力要強(qiáng)、精通計(jì)算機(jī)技術(shù))，寫作人員(文字功底要好、表達(dá)要簡明扼要)。

引導(dǎo)團(tuán)隊(duì)成員合理分工合作。要求隊(duì)員先獨(dú)立分析問題與探索解決問題的思路，再交流討論各自提出的不同解決問題的方案;在充分討論達(dá)成共識(shí)的基礎(chǔ)上，再由隊(duì)長具體分工，明確各自的研究任務(wù)。建模人員與編程人員要密切配合，寫作人員要善于收集資料，分析有用信息，提供給建模人員與編程人員參考，并且隨時(shí)跟進(jìn)建模與求解的進(jìn)度，檢查工作進(jìn)展與結(jié)果的正確性。

(三)有效管理，提升合作學(xué)習(xí)效果

有效管理是由彼得·德魯克提出的一種創(chuàng)新的、務(wù)實(shí)的、普適的管理理論，主要包括以下觀點(diǎn):①卓有成效是可以學(xué)會(huì)的;②掌握自己的時(shí)間;③注重貢獻(xiàn)，并懂得將自己的工作與長遠(yuǎn)目標(biāo)結(jié)合起來;④發(fā)揮自己、下屬和上級(jí)的長處;⑤集中精力，要事優(yōu)先;⑥決策要有明確的要素和一定的步驟;⑦作出有效的決策[5]。

有效的管理總能帶來“整體大于部分”的效果。下面從管理者的4個(gè)基本工作職能——計(jì)劃、組織、領(lǐng)導(dǎo)、控制——討論教師對(duì)合作學(xué)習(xí)的有效管理。

1．制定“有效計(jì)劃”

計(jì)劃就是確定要達(dá)到的目標(biāo)，并事先確定實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所需的正確行動(dòng)。數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)面對(duì)的問題具有多樣性，計(jì)劃能有效消除教學(xué)中的不確定性。計(jì)劃還可以消除教學(xué)中教學(xué)資源的浪費(fèi)，數(shù)學(xué)建模教學(xué)涉及的學(xué)科過多，全部學(xué)習(xí)顯然不現(xiàn)實(shí)[6]。計(jì)劃使教師更合理地安排教學(xué)步驟和有效地掌握工作時(shí)間。實(shí)例合作學(xué)習(xí)是以學(xué)生為主體，圍繞一些簡化了的實(shí)際問題展開，時(shí)間跨度大，不確定因素多，計(jì)劃應(yīng)更注重教學(xué)的可行性和課外學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織安排。

2．“有效組織”團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)

組織是對(duì)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所需資源的分配與協(xié)調(diào)。團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)是指一個(gè)單位的集體性學(xué)習(xí)，便于單位成員之間的互相學(xué)習(xí)、互相交流、互相啟發(fā)、共同進(jìn)步。團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)依靠的是隊(duì)員間的深度匯談。深度匯談是通過在所有對(duì)話者參與的同時(shí)，分享所有對(duì)話者的意義，從而在群體和個(gè)體中獲得新的理解和共識(shí)的交流活動(dòng)過程[7]。

團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)具有兩個(gè)特征:一是團(tuán)隊(duì)目標(biāo)一致，二是知識(shí)共享。為了保障有效的團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)，教師的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)包括團(tuán)隊(duì)的結(jié)構(gòu)、組織政策、發(fā)展策略等內(nèi)容，明確隊(duì)員的工作責(zé)任與工作分工，以利于團(tuán)隊(duì)盡早達(dá)成一致目標(biāo);教師還應(yīng)在團(tuán)隊(duì)合作學(xué)習(xí)過程中界定真實(shí)情況，協(xié)助隊(duì)員對(duì)真實(shí)情況進(jìn)行正確、深刻的把握，提高他們對(duì)團(tuán)隊(duì)的了解能力，促進(jìn)每個(gè)隊(duì)員的學(xué)習(xí);教師還應(yīng)優(yōu)化資源配置和創(chuàng)造條件使團(tuán)隊(duì)人事和諧。

3．“有效領(lǐng)導(dǎo)”團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)

領(lǐng)導(dǎo)就是激勵(lì)人們成為績效杰出者，就是指導(dǎo)、激勵(lì)和與個(gè)人或群體的溝通。指導(dǎo)老師應(yīng)該創(chuàng)造和諧、充滿激情的工作氛圍。有些教師生硬地照搬教科書，學(xué)生學(xué)習(xí)效果并不理想。教師應(yīng)該在師生之間營造一種互動(dòng)的教學(xué)氛圍，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，還應(yīng)培育隊(duì)員的集體榮譽(yù)感，充分挖掘隊(duì)員的潛力，從而提升團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)效果。

4．“有效控制”團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)

全面的計(jì)劃、堅(jiān)實(shí)的組織、出色的領(lǐng)導(dǎo)并不能確保成功。成功的管理者，都會(huì)對(duì)工作實(shí)現(xiàn)密切關(guān)注。具體的控制活動(dòng)包括:制訂績效標(biāo)準(zhǔn)使進(jìn)展指向長期目標(biāo)，通過收集績效數(shù)據(jù)監(jiān)督個(gè)人和組織的工作，提供進(jìn)展的信息和反饋，通過將績效數(shù)據(jù)與標(biāo)準(zhǔn)比較發(fā)現(xiàn)問題，采取行動(dòng)糾正問題。作為團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)的管理者，教師不僅要對(duì)課程有全面深入的理解，還要求教師對(duì)團(tuán)隊(duì)進(jìn)行科學(xué)引導(dǎo)。否則學(xué)生依然會(huì)停留在個(gè)體學(xué)習(xí)狀態(tài)，使團(tuán)隊(duì)合作流于形式。

指導(dǎo)教師應(yīng)及時(shí)跟進(jìn)團(tuán)隊(duì)活動(dòng)。各隊(duì)長和隊(duì)員、指導(dǎo)教師和隊(duì)員之間建立通暢的溝通渠道，除了利用課堂教學(xué)，課外還可通過現(xiàn)代化通訊手段使團(tuán)隊(duì)和指導(dǎo)教師能夠及時(shí)處理學(xué)習(xí)中的問題。

實(shí)例小組活動(dòng)要及時(shí)歸納、總結(jié)、評(píng)價(jià)。首先，教師應(yīng)要求各團(tuán)隊(duì)在課前提交實(shí)例研究報(bào)告，督促學(xué)生按時(shí)按質(zhì)地完成實(shí)例研究;然后由各隊(duì)代表在課堂上報(bào)告、答疑，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和語言表達(dá)能力。教師應(yīng)適當(dāng)提出一些問題以考查學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，對(duì)團(tuán)隊(duì)所作的研究工作及各方面能力進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，對(duì)提高相關(guān)能力給出指導(dǎo)性意見，對(duì)各團(tuán)隊(duì)研究成果進(jìn)行等級(jí)評(píng)定。最后教師將各隊(duì)報(bào)告中的主要數(shù)學(xué)知識(shí)與方法匯總，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究態(tài)度與創(chuàng)新意識(shí)。

數(shù)學(xué)建模具有難度大、涉及面廣、形式靈活、對(duì)教師和學(xué)生要求高等特點(diǎn)，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)本身是一個(gè)不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高的過程。實(shí)例合作學(xué)習(xí)教學(xué)模式是以實(shí)驗(yàn)室為基礎(chǔ)、以學(xué)生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)能力為目標(biāo)來組織教學(xué)工作。筆者多年來的教學(xué)實(shí)踐表明，將實(shí)例合作學(xué)習(xí)模式應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模教學(xué)，不僅增強(qiáng)了課程的吸引力，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性，而且拓寬了學(xué)生的知識(shí)面，提高了學(xué)生綜合素質(zhì)、創(chuàng)新意識(shí)和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

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