有限群p-超可解性的一個判別準則

閆文愛, 張志讓

(成都信息工程學院數(shù)學學院,四川成都610225)

0 引言

所討論的群皆為有限群,文中所用符號為標準的,未交代的概念與符號可參見文獻[1-2].

一個群稱G為p-超可解的,如果G的任一主因子H/K為p階或p′-群,如果任意素數(shù)p,G為p-超可解的,則稱G為超可解群.p-超可解群與超可解群都是特殊而重要的群類,關(guān)于 p-超可解群的一個熟知的結(jié)論是一個可解群G為p-超可解的當且僅當它的每個極大子群的指數(shù)為p或為p′-數(shù).許多群論專家都對超可解群進行了深入的研究,如文獻[3]利用子群覆蓋系統(tǒng)給出了 p-超可解群的重要刻畫;文獻[4]中利用子群的補充研究了p-超可解與p-冪零群的一些性質(zhì)與判定準則.

研究有限群的超可解性和 p-超可解性的一個重要手段是利用子群的各類置換性質(zhì),特別是某些準素子群的置換性質(zhì),設(shè)A,B為群G的兩個子群,如果 AB=BA,那么 A被叫做與B可置換的,群G的一個子群H如果與G的所有子群可置換,則稱H為G的置換子群或擬正規(guī)子群[5].置換子群的概念以多種形式被推廣,如文獻[6-12]等所做的工作.特別地,在文獻[6],作者引入z-置換子群的概念并給出了有限群結(jié)構(gòu)的一些非常有意義的描述,這里將進一步推廣z-置換子群的概念,并給出有限群p-超可解性的一些新的判別準則.

1 預(yù)備知識

設(shè)G是一個群,集合z稱為群G的Sylow子群的完全集[6],如果對于任意的素數(shù) p∈π(G),z恰好包含G的一個Sylow p-子群,設(shè)N是群G的正規(guī)子群,群G的子群集zN:

zN={GpN｜Gp∈z}

G/N的子群集zN/N:

zN/N={GpN/N｜Gp∈z}

群G的子群集z∩N:

z∩N={Gp∩N｜Gp∈z}

可以知道,zN/N,z∩N分別為G/N和G的Sylow子群的完全集.

定義1[6]設(shè)G是一個群,z為群G的Sylow子群的完全集,群G的子群H稱為在G內(nèi)z-置換的,如果H與z的每一個元素可換.

定義2 設(shè)z是群G的Sylow子群的完全集,群G的一個子群H稱為在G內(nèi)z-置換嵌入,如果H的每個Sylow子群也是G的某個z-置換子群的Sylow子群.

下面給出z-置換子群的一些基本性質(zhì).

引理1 設(shè)z是群G的Sylow子群的完全集,H和K是群G的子群,則有下面結(jié)論:

(1)如果K?G,那么z∩K,zK/K分別是K和G/K的Sylow子群的完全集;

(2)如果H在G中z-置換嵌入且K在G中置換,那么 HK在G中z-置換嵌入;

(3)如果H在G中z-置換嵌入且K?G,那么HK/K在G/K中zK/K-置換嵌入;

(4)如果K?G且K?H,那么H在G中z-置換嵌入的充要條件是H/K在G/K中zK/K-置換嵌入;

(5)如果H在G中z-置換嵌入且K?G,那么H∩K在G中z-置換嵌入;

(6)假設(shè)H在G中z-置換嵌入.如果K?G,那么 H∩K 在K中z∩K-置換嵌入.

證明:(1)參見文獻[6].

(2)對于任意p∈π(H),設(shè) P1是 H 的Sylow p-子群.如果 H在G中z-置換嵌入,則存在 G的z-置換子群子U,使得P1也是U的Sylow p-子群,則對于任意Q∈z,U與Q可換,又因為K在G中置換,所以K與Q也可換,從而UKQ=UQK=QUK.由Q的任意性,那么UK在G中z-置換.因此要證明(2)只需證明HK的某個Sylow p-子群也是UK 的Sylow p-子群.設(shè) P是HK 的Sylow p-子群,使 P1?P,又設(shè) K 的Sylow p-子群P2包含在P中,那么是一個 p′-數(shù),故 P=P1P2,同理是一個p′-數(shù),故P是UK的Sylow p-子群.(2)成立.

(3)可由(2)和(4)推得.

(4)必要性:由于 H在G中z-置換嵌入,對于任意p∈π(H),H的Sylow p-子群P也是G的某個z-置換子群U的一個Sylow p-子群.對于任意Q∈z有UQ=QU,又由于U≤G,K?G有(UK/K)(QK/K)=UQK/K=QUK/K=(QK/K)(UK/K),因此 UK/K在G/K中zK/K-置換.設(shè) L/K是H/K的任意Sylow p-子群,則L=PK,其中P是L的Sylowp-子群,進而也是H的Sylow p-子群,從而 L/K=PK/K是UK/K的Sylow p-子群.

充分性:由于H/K在G/K中zK/K-置換嵌入,對于任意的p∈π(H/K),H/K的Sylow p-子群L/K是G/K的zK/K-置換子群U/K 的一個Sylow p-子群,對于任意 QK/K∈zK/K,有(U/K)(QK/K)=(QK/K)(U/K),從而 UQ=(UK)Q=U(QK)=(QK)U=QU,即 U 在G 中z-置換,設(shè)P是H 的任意Sylow p-子群,則PK/K 是H/K的Sylow p-子群,也是 U/K 的Sylowp-子群,取 L=PK,則P也是L的Sylow p-子群,所以為一個p′-數(shù),也為一個p′-數(shù),故 P 為U 的Sylow p-子群.

(5)對于任意p∈π(H),設(shè) G的z-置換子群U的Sylow p-子群也是H 的Sylow p-子群,那么對于任意的 Q∈z有UQ=QU,只要證明U∩K在G中z-置換,就要證明對于任意Q∈z,(U∩K)Q=UQ∩KQ,顯然(U∩K)Q?UQ∩KQ=(U∩KQ)Q,因為且是一個q-數(shù),其中 q是的素因子,故是一個q-數(shù).但是 Q是G的Sylow q-子群,所以一定是一個q′-數(shù),因此,所以(U∩K)Q=UQ∩KQ是G的子群,因此U∩K在G中z-置換.

設(shè)P是H和U的Sylow p-子群,那么P∩K=P∩U∩K是U∩K的Sylow p-子群,由于U∩K在U中正規(guī).同樣的,有P∩K也是H∩K的Sylow p-子群,這也說明了H∩K在G中z-置換嵌入.

(6)假設(shè)K?G,H1=H∩K.由(5),H1在G中z-置換嵌入,對于任意的 p∈π(H1),設(shè) G的z-置換子群U的Sylow p-子群也是H1的Sylow p-子群,由(4),可以假設(shè) U?K.對于任意的 Q∈z有UQ=QU 因此U(Q∩K)=UQ∩K=(Q∩K)U.所以U在K中z∩K-置換,所以H1=H∩K在K中z∩K-置換嵌入.

引理2 設(shè)N,L是群G的正規(guī)子群.設(shè)P/L是NL/L的Sylow p-子群,M/L是P/L的一個極大子群,如果Pp是P∩N的一個Sylow p-子群,那么Pp是N的一個Sylow p-子群,那么D=M∩N∩Pp是Pp的一個極大子群且M=LD.

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)z是群G的Sylow子群的完全集,N是G的p-可解正規(guī)子群,G/N是p-超可解的,設(shè) Gp是G的一個Sylow p-子群,如果Gp∩N的極大子群是G的z-置換嵌入子群,那么G是p-超可解的.

證明:假設(shè)結(jié)論不成立,并設(shè)G為極小階反例.通過以下步驟完成證明:

(1)設(shè)R為G的任一極小正規(guī)子群,則G/R為p-超可解的.

設(shè)R為G的極小正規(guī)子群,由于z是群G的Sylow子群的完全集,由引理1(1),zR/R是G/R的Sylow子群的完全集,又因為N是G的p-可解正規(guī)子群,NR/R?N/N∩R可解,顯然NR?G,因此NR/R為G/R的可解正規(guī)子群.設(shè)(Gp∩N)R/R是NR/R的一個Sylow p-子群,M/R為(Gp∩N)R/R的一個極大子群,由引理2,L=M∩N∩Gp是Gp∩N的一個極大子群,且 M=LR,由定理條件 L在G中z-置換嵌入,由引理1(3),M/R=LR/R在G/R中是zR/R-置換嵌入的.因此 G/R滿足定理條件.由 G的極小性知G/R p-超可解.

(2)G有唯一極小正規(guī)子群R.

如果G有兩個不同的極小正規(guī)子群R1和R2,由(1)知,G/R1和G/R2都是p-超可解.由于p-超可解群的群類是次直積閉的,所以G?G/R1∩R2為 p-超可解.矛盾于G的選擇,因此G有唯一的極小正規(guī)子群R.

(3)Φ(G)=1

若Φ(G)≠1,則由(1)知 G/Φ(G)是 p-超可解.由于 p-超可解的群系是一個飽和群系,因此則G也是p-超可解的,與假設(shè)矛盾.故 Φ(G)=1.

G的唯一極小正規(guī)子群R為交換p-群且G=[R]M,其中 M為G的某個極大子群.

由(2)知 R必含于N,從而是 p-超可解的.R 的極小性表明R為交換p-群或p′-群,若 R為p′-群,則由 G/R p-超可解群.由(3)R?Φ(G)=1,故存在 G的一個極大子群M,使得 R?M.因此G=RM,由于 R∩M?M且R交換,R∩M?RM=G.由R的極小性,R∩M=1或R.但 R∩M=R有R?M,矛盾.因此 R∩M=1.(4)得證.

(5)R=CG(R)

設(shè) H=CG(R)∩M,則 H?M.由 R?CG(H)?NG(H),RM=G?NG(H),故 H?G,所以 R?H或H=1.由于 H?M,故 R?H,因此 H=1,CG(R)=CG(R)∩RM=HR=R,所以 R=CG(R).

(6)最后矛盾

由于R為G的唯一極小正規(guī)子群,所以R?N,又M為G的極大子群,則(Gp∩M∩N)R=(Gp∩N∩M)R=(Gp∩N)∩MR=Gp∩N,因此 Gp∩M∩N ＜Gp∩N 且Gp∩M＜Gp,取 P2?Gp∩M 且P2是 Gp的極大子群,則Gp=RP2,R?P2.因為 N?G,R?P2,所以P2∩N=P1是Gp∩N的極大子群.由定理條件P1在 G中z-置換嵌入,因此存在G的子群H,使得P1是H的Sylow p-子群且H在G中z-置換.對于任意的Q∈z,有HQ=QH≤G,設(shè) Q 為p′-群,則 R∩HQ=R ∩H=R ∩P1?HQ,所以為p-數(shù).由于 R∩P1=R∩P2∩N?Gp,所以 R∩P?Gp,故為 p′-數(shù) ,所以 G=NG(R ∩P1),即 R ∩P1?G.由R的極小性R∩P1=1或R.若 R∩P1=R則R?P1?P2.所以 Gp=RP2=P2,矛盾.所以R?P1,于是R∩P1=1從而所以 R循環(huán).由于 R循環(huán),G/R p-超可解,所以G為p-超可解群與G的選擇矛盾.這是最后一個矛盾,因此定理成立.

推論1 設(shè)G為p-可解群,z是群G的Sylow子群的一個完全集.又設(shè) Gp是G的一個Sylow p-子群,如果Gp∩N的極大子群是G的z-置換嵌入子群,那么G是p-超可解的.

推論2 設(shè)群G的導群G′是p-可解的,z是群G的Sylow子群的完全集Gp是G的一個Sylow p-子群,如果Gp∩G′的極大子群是G的z-置換嵌入子群,那么G是p-超可解的.

推論3 設(shè)z是群G的Sylow子群的完全集,p為G的階極小素因子,N是G的p-可解正規(guī)子群,G/N是p-冪零的,設(shè) Gp是G的一個Sylow p-子群,如果 Gp∩N的極大子群是G的z-置換嵌入子群,那么G是p-冪零的.

推論4 設(shè)z是群G的Sylow子群的完全集,N是G的可解正規(guī)子群,G/N是超可解的,如果z∩N中所有子群的極大子群是G的z-置換嵌入子群,那么G是p-超可解的.

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