增一型分層模糊系統(tǒng)結構的PCA優(yōu)化方法

王 杰， 周賀松

(鄭州大學電氣工程學院 河南鄭州450001)

0 引言

模糊系統(tǒng)是當前智能控制理論與應用研究領域中最活躍的分支之一．隨著模糊系統(tǒng)理論的成熟，模糊系統(tǒng)在越來越多的領域取得了成功的應用．

在模糊系統(tǒng)建模方面，隨著輸入變量個數(shù)的增加，模糊規(guī)則總數(shù)將會呈指數(shù)增加，規(guī)則數(shù)的大量增加會導致模糊控制器的失靈，這就是“維數(shù)災”問題．“維數(shù)災”的出現(xiàn)一方面造成了推理計算的復雜性，另一方面也限制了人工經(jīng)驗的引入［1］．通常情況下人們會減少輸入變量對模型進行簡化，但這樣無疑會降低模型的精度．1991年，Raju等［2］提出了一類分層模糊系統(tǒng)，為解決“維數(shù)災”問題開辟了一個新的研究方向．目前對分層模糊系統(tǒng)的研究主要集中在分層模糊系統(tǒng)的拓撲結構、通用逼近性［3－4］、控制方法［5－6］、等效性［7］以及系統(tǒng)設計［1，8－9］等方面，而對分層結構的研究則較少涉及．

分層模糊系統(tǒng)有多種分層結構，對分層結構的研究就是為了解決怎樣選擇最優(yōu)分層結構的問題．可以通過“試湊法”來選擇最優(yōu)結構，但是這樣工作量就會成倍增加．當分層結構太多時，“試湊法”就變得難以實現(xiàn)了．作者把主成分分析引入到“增一型”分層模糊系統(tǒng)，對輸入變量進行空間映射，得到新的輸入變量，新變量按照包含原有輸入量信息的多少排序，最后根據(jù)新變量的貢獻率構造出了代價函數(shù)．通過水泥窯生產(chǎn)過程仿真，驗證了該方法的有效性．

1 “增一型”分層模糊系統(tǒng)

由于“增一型”分層模糊系統(tǒng)的通用逼近性已經(jīng)得到證明，且采用“增一型”分層模糊系統(tǒng)的規(guī)則總數(shù)隨著輸入量個數(shù)的增加線性增長，規(guī)則總數(shù)相對其他分層模糊系統(tǒng)是最少的［2］．

“增一型”分層模糊系統(tǒng)如圖1所示，x1，x2，x3，x4，…，xn表示n個實際的物理輸入量，yi表示第i層模糊單元的輸出，也是第i+1層模糊單元的輸入，共有n－1個模糊單元．

由圖1可知，整個“增一型”分層模糊系統(tǒng)由一個個的模糊單元串聯(lián)而成，每個模糊單元有兩個輸入量，其中，第一層的模糊單元輸入量是兩個實際的物理輸入量，其余層的輸入量是前一層的輸出量和另外一個物理輸入量．

文獻［10］指出，對于一個n個輸入變量的“增一型”分層模糊系統(tǒng)，假設每個輸入量有m個模糊子集Ap，i=1，…，n;p=1，…，m，每個模糊單元采用T-S推理方式，采用加權平均解模糊方法，則有第一層模糊單i元的輸出:

式中，h1pq(x1，x2)為線性或者非線性函數(shù)，μA1p(x1)，μA2q(x2)為A1p，A2q相應的隸屬度函數(shù)．

推廣到第l層模糊單元，第l層模糊單元的輸出為fl(yl－1，xl+1)=yl

圖1 “增一型”分層模糊系統(tǒng)結構Fig．1 Structure of increase-type hierarchical fuzzy system

式中，y0=x1，C0=A1．

對于整個“增一型”分層模糊系統(tǒng)，有

由式(3)可知，同一個輸入量放在不同的層對輸出的影響大小是不一樣的．第一層的輸入量x1，x2影響到所有的n－1個模糊單元，第二層的輸入量x3影響到除第一層外的n－2個模糊單元，依次類推，第n－1層的輸入量xn值的變化僅僅影響到最后1個模糊單元．

在圖1中，把n個輸入量中的2個輸入量作為第一個模糊單元的輸入，有C2n種組合，剩下的n－2個輸入量中的1個輸入量作為第二個模糊單元的輸入，有C1n－2種組合，剩下的n－3個輸入量中的1個輸入量作為第三個模糊單元的輸入，有C1n－3種組合，依次類推，最后的一個輸入量作為第 n－1個模糊單元的輸入．這樣對于有n個輸入的“增一型”分層模糊系統(tǒng)，分層結構就有種組合，采用不同的分層結構必然會影響到最終模型的精度．

2 基于主成分分析的代價函數(shù)構造

2．1 代價函數(shù)

作者構建的是關于輸入量貢獻率的代價函數(shù)．模型精度是衡量模型好壞的最重要指標．模型誤差越小，精度越高，該模型越能描述系統(tǒng)各變量之間的相互關系．基于此，作者用模型誤差來驗證代價函數(shù)是否有效．

在圖1中，設輸入量x1對輸出量y的貢獻率為m1，輸入量x2對輸出量y的貢獻率為m2，輸入量x3對輸出量y的貢獻率為m3，…，輸入量xn對輸出量y的貢獻率為mn．由于x1，x2，x3，…，xn位于不同的輸入層，因此它們對輸出量y的貢獻權重是不同的，設?1，?2，…，?n－1分別為第1，2，…，n－1輸入層對輸出的權重系數(shù)．

該分層結構對輸出的整體貢獻量M=?1(m1+m2)+?2m3+…+?n－1mn，M值越大，說明該分層結構所包含的信息量越多，該結構越能充分表達輸入量與輸出量之間的關系，由該分層結構建立的模型誤差越?。?/p>

定義代價函數(shù)C為整體貢獻量M的倒數(shù)，則有

由式(3)可知

權重系數(shù)反映著輸入量對整個模糊系統(tǒng)的影響大小，在數(shù)學上可以用求偏導數(shù)的形式實現(xiàn)．每個輸入層的權重系數(shù)如下:

由于x1，x2是第一層模糊單元的輸入量;f1，x3是第二層模糊單元的輸入量;…;fn－2，xn是最后一層(n－1層)模糊單元的輸入量．每個輸入量對該層模糊單元的權重系數(shù)反映該模糊單元對輸入量的靈敏度，每個模糊單元對其輸入量的靈敏度是相同的．因此有

式(4)可以簡化為

式中，?為權重因子，m1，m2，m3，…，mn為變量對輸入的貢獻率．

采用主成分分析的方法求輸入量的貢獻率．權重因子?的取值與具體的輸入量和輸出量有關，可以通過以下步驟確定?的值．

①分別求出xn和y的一階微分項Δxn，Δy．y為輸出量，xn是最后一層的實際物理輸入量．Δxn，Δy都是列向量．

②求兩組列向量的點除值?x，?x=Δy/Δxn．

2．2 主成分分析

主成分分析(PCA)是一種簡化數(shù)據(jù)集的技術．它借助于一個正交變換，將其分量相關的原隨機向量轉化成其分量不相關的新隨機向量，這在代數(shù)上表現(xiàn)為將原隨機向量的協(xié)方差陣變換成對角形陣，在幾何上表現(xiàn)為將原坐標系變換成新的正交坐標系，使之指向樣本點散布最開的幾個正交方向．

文中用到主成分分析法中的空間變換思想，對主成分分析法稍微做了修改．設原變量為x1，x2，…，xn，用主成分分析法對原變量進行空間映射后得到新的變量z1，z2，…，zn均是原變量的線性組合［11］．新變量z1包含的信息量大于z2，z2包含的信息量大于z3，依次類推．

步驟如下:

①數(shù)據(jù)標準化處理:

xij表示原變量xj的第i個值表示xj的平均值，Sj表示第j個變量的標準差．

②矩陣［yij］I*n的相關矩陣 R．

③計算相關矩陣R的特征值λj和特征向量uj，并按特征值從大到小排列．

④求變換后的變量，zj=［x1x2x3x4］*uj．

3 實例驗證

為了驗證文中提出的代價函數(shù)的有效性，以水泥生產(chǎn)過程中的回轉窯分解爐出口壓力為被控量進行建模，通過數(shù)據(jù)的關聯(lián)分析和相關的工藝知識，確定其輸入量為:五級筒出口壓力，預燃室出口壓力，三次風壓力，窯尾提升機電流，分解爐喂煤秤喂料速度，分解爐出口壓力歷史值(k－1)．

因為輸入變量個數(shù)為6，采用“增一型”分層模糊系統(tǒng)，其分層結構有C26C14C13C12C11=360種，分層結構太多，對用“試湊法”驗證代價函數(shù)的有效性帶來不便．對模型進行簡化，選擇6個輸入量中最具代表性的3個輸入量:x1五級筒出口壓力，x2預燃室出口壓力，x3分解爐出口壓力歷史值(k－1)．簡化后的模型有C23C11=3種分層結構，一共有兩個輸入層．

進行主成分分析后得到特征值 λ1=1．880 1，λ2=0．666 1，λ3=0．453 8，對應的特征向量為

對原有輸入變量用主成分方法進行空間映射得到新的輸入量:

新變量 z1，z2，z3均是原變量 x1，x2，x3的線性組合，對原變量的貢獻率分別為 0．626 7、0．222 0、0．151 3．

把變量z1，z2放在第一層，z3放在第二層，構成第一種分層結構．權重因子?==1．489 4，這種結構的代價函數(shù)

把變量z1，z3放在第一層，z2放在第二層，構成第二種分層結構．權重因子?==1．253 0，這種結構的代價函數(shù)

代價函把變

數(shù)

量z2，z3放在第一層，z1放在第二層，構成第三種分層結構．權重因子?==1．347 4，這種結構的

上述三種分層結構按代價函數(shù)從小到大排序為

按照代價函數(shù)應該選擇第一種分層結構．

把新輸入變量z1，z2，z3和輸出量 y代入ANFIS訓練分層模糊系統(tǒng)得到各種分層結構的訓練均方根誤差，選取訓練數(shù)據(jù)的前100個點繪制誤差率曲線(圖2～4)．

結構一、結構二、結構三的均方根誤差分別為7．623，8．724，8．636．

比較三種結構的誤差曲線及均方根誤差，按從小到大排序為:結構一＜結構三＜結構二，這個順序和按照代價函數(shù)的排序是一致的，從而證明了該代價函數(shù)的有效性．

圖2 結構一的誤差率曲線Fig．2 Error rate curve of structure one

4 結論

在模糊系統(tǒng)建模中，隨著輸入量個數(shù)的增加，模糊規(guī)則數(shù)將呈指數(shù)增加，這樣會使模型訓練的時間大幅度增加，而分層模糊系統(tǒng)可以極大地減少規(guī)則數(shù)，縮短訓練時間．在通常情況下，只有輸入量個數(shù)在4個以上才考慮使用分層模糊系統(tǒng)．n個輸入變量會有C1C1C1…C1種分層結構，不可能對所有的分層結構建立各nn－2n－32自的模型，通過比較選擇最優(yōu)模型．作者對“增一型”分層模糊系統(tǒng)的結構進行了研究，提出了基于貢獻率的代價函數(shù)，比較代價函數(shù)大小來選擇最優(yōu)的分層結構．在驗證代價函數(shù)有效性的時候，為簡便起見，把系統(tǒng)簡化為三輸入一輸出．該代價函數(shù)在多維輸入量下依然可以使用．

［1］ 朱曉東，王杰．基于分層模糊系統(tǒng)的石油鉆進參數(shù)預測模型［J］．石油學報，2010，31(5):838－842．

［2］ Raju G V S，Zhou Jun．Hierarchical fuzzy control［J］．Interntional Journal of Control，1991，54(5):1201 －1216．

［3］ 張香燕，張乃堯．一般二叉樹分層模糊系統(tǒng)的通用逼近性［J］．清華大學學報:自然科學版，2007，47(1):143－146．

［4］ 孫多青，霍偉．具有任意形狀隸屬度函數(shù)的分層模糊系統(tǒng)逼近性能研究［J］．控制理論與應用，2003，20(3):377－381．

［5］ 孫多青，霍偉．基于分層模糊系統(tǒng)的直接自適應控制［J］．控制與決策，2002，17(4):465－472．

［6］ 孫多青，霍偉．基于分層模糊系統(tǒng)的間接自適應控制［J］．北京航空航天大學學報，2003，29(4):303－307．

［7］ 王健，張香燕，張乃堯．一類二叉樹型分層模糊系統(tǒng)的等效性分析［J］．清華大學學報:自然科學版，2007，47(7):1237－1240．

［8］ 王杰，李廣，朱曉東．基于分層模糊推理的石油鉆進事故預警系統(tǒng)［J］．微計算機信息，2008，7(25):177－178．

［9］ 王杰，吳國曾，朱曉東．實時錄井信號小波分析中的右邊界動態(tài)處理［J］．鄭州大學學報:理學版，2010，42(3):84－90．

［10］ Wang Lixin．Analysis and design of hierarchical fuzzy systems［J］．IEEE Transactions on Fuzzy Systems，1999，7(5):617 －624．

［11］傅湘，紀昌明．區(qū)域水資源承載能力綜合評價［J］．長江流域資源與環(huán)境，1999，8(2):169－172．