定點(diǎn)DSP中高精度小數(shù)乘法運(yùn)算研究

周澤湘，歐陽明星

(廣東松山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東韶關(guān)512126)

0 引言

DSP(Digital Signer Processor)是一種用于數(shù)字信號(hào)處理運(yùn)算的專用處理器，內(nèi)部采用了改進(jìn)型哈佛結(jié)構(gòu)和多總線的并行結(jié)構(gòu)，以及一些專用的硬件處理單元，使得DSP 數(shù)字信號(hào)處理器能在單周期內(nèi)完成復(fù)雜的數(shù)字信號(hào)處理的數(shù)學(xué)運(yùn)算。DSP 內(nèi)部還集成有專用并行硬件單元，其結(jié)合匯編語言編程實(shí)現(xiàn)數(shù)字信號(hào)處理的核心算法可以提高程序效率［1］。DSP所處理的數(shù)據(jù)類型有定點(diǎn)DSP 和浮點(diǎn)DSP，其中以定點(diǎn)DSP 在市場(chǎng)上較為常見，而如何在定點(diǎn)DSP 中實(shí)現(xiàn)小數(shù)運(yùn)算是一個(gè)關(guān)鍵問題。本文論述了在定點(diǎn)DSP 中實(shí)現(xiàn)小數(shù)乘法運(yùn)算的方法，研究了不同Qm.n 規(guī)格數(shù)精度問題，并詳細(xì)討論和分析了在定點(diǎn)DSP 中進(jìn)行小數(shù)運(yùn)算的操作方法。

1 定點(diǎn)數(shù)的Qm.n 表示方法

1.1 Qm.n 格式

字長是計(jì)算機(jī)CPU 在一次操作中能處理單位字的長度。字長決定了數(shù)的范圍和精度，根據(jù)DSP 型號(hào)不同，有16、24 及32 位等不同字長。定點(diǎn)DSP 處理的都是定點(diǎn)數(shù)，以一個(gè)16 位字長DSP 為例，規(guī)定最高位為符號(hào)位S，S 為0 表示正數(shù)，S 為1 表示負(fù)數(shù)，余下15 位按其二進(jìn)制權(quán)值以補(bǔ)碼形式表示數(shù)的大小。當(dāng)表示小數(shù)時(shí)，先確定小數(shù)點(diǎn)在16 位數(shù)中的位置即定標(biāo)，小數(shù)點(diǎn)右邊的二進(jìn)制權(quán)值為負(fù)，小數(shù)點(diǎn)左邊的二進(jìn)制權(quán)值為正。正權(quán)值表示數(shù)的整數(shù)部分，負(fù)權(quán)值表示數(shù)的小數(shù)部分，這樣人為地?cái)U(kuò)大了數(shù)的表示范圍，使得在定點(diǎn)DSP 中可以表示小數(shù)。這種在定點(diǎn)DSP 中表示小數(shù)的方法稱為Qm.n 表示方法，其中m 表示整數(shù)二進(jìn)制位數(shù)，n 表示小數(shù)二進(jìn)制位數(shù)，Qm.n 又可用Qn 來表示，如Q0.15 在實(shí)際中通常使用Q15 表示。在定點(diǎn)DSP 中，相同字長的CPU 不同Qm.n 格式表示數(shù)的精度和范圍均不同，Qm.n 的數(shù)的表示方法如圖1所示［2］。以Q3.12 為例，即在16 位數(shù)中，除1位表示數(shù)的符號(hào)外，用3 位二進(jìn)制表示整數(shù)，用12 位二進(jìn)制表示小數(shù)，m 決定數(shù)的范圍，n決定數(shù)的精度，二者互斥，顯然m 越大表示數(shù)的范圍越大，但表示數(shù)的精度越低;n 越大表示數(shù)的范圍越小，但表示數(shù)的精度越高，故Q3.12 表示數(shù)的范圍為－8～8，表示數(shù)的精度為1/212，即Q 值越大，表示數(shù)的精度越高。

比如執(zhí)教賈平凹的《月跡》時(shí)，首先讓學(xué)生充分感知課文，反復(fù)練讀達(dá)到“文通字順”；然后讓學(xué)生選擇自己喜歡的描寫月光的句子，讀一讀，并引導(dǎo)學(xué)生交流喜歡的原因，從而幫助學(xué)生再現(xiàn)畫面，體會(huì)意境；最后讓學(xué)生配上柔柔的樂曲，圖文結(jié)合，美美地賞讀，在賞讀中進(jìn)一步感悟語言，形成語感，在美讀中那皎潔的月光也仿佛灑向了孩子那稚嫩的心靈。

我走進(jìn)家門時(shí)，劉鐵頭已經(jīng)等我好一陣了。兒子正往煤球爐上坐鍋添水準(zhǔn)備熬湯。劉鐵頭看著兒子忙活了一陣，對(duì)我豎了豎大拇指。窮人的孩子早當(dāng)家啊，你看才多大個(gè)孩子就中用了，說到底，還是你有福啊四眼兒張。說著，就從塑料袋里掏出把炒花生米往兒子兜里放。

圖1 Qm.n 的數(shù)的表示方法

不同字長的CPU，Q 值越大，表示數(shù)的精度越高，能分辨的小數(shù)越小，常見的Qm.n 格式數(shù)的范圍和精度如表1所示。

表1 常見的Qm.n 格式數(shù)的范圍和精度

1.2 Qm.n 數(shù)的規(guī)格化與反規(guī)格化

TI 公司生產(chǎn)的定點(diǎn)DSP 有C2000、C5000和C6000 等多種型號(hào)，C2000 系列DSP 主要用于控制領(lǐng)域;C5000系列DSP主要用于數(shù)字語音等領(lǐng)域;C6000 系列DSP 主要用于高端圖像處理等［4］。TMS320F2812 是C2000 系列中的代表型號(hào)，字長為32 bit，TMS320C5402 為C5000 系列的典型型號(hào)，字長為16 bit，TMS3206402 為C6000 系列的典型型號(hào)，字長為32 bit。在定點(diǎn)DSP 中進(jìn)行數(shù)字信號(hào)處理的小數(shù)乘法運(yùn)算時(shí)，有幾個(gè)關(guān)鍵問題值得研究:①參與運(yùn)算的小數(shù)應(yīng)表示成與DSP 的CPU 字長相適應(yīng)的Qm.n 格式，如在TMS320C54x DSP 中輸入數(shù)據(jù)使用Q15 格式規(guī)格化，而在TMS320F2812 DSP 中則需使用Q31 規(guī)格化。②在編譯器中不能直接表示小數(shù)，以CCS2.0 編譯器為例，在進(jìn)行匯編語言編程時(shí)，在定點(diǎn)DSP 中無法編輯小數(shù)，在對(duì)小數(shù)進(jìn)行規(guī)格化處理時(shí)，應(yīng)寫成定點(diǎn)數(shù)的形式，如0.3 按Q15 進(jìn)行規(guī)格化，可以寫成3* 32 768/10，其結(jié)果與0.3* 32 768 等價(jià)，這樣避免了編譯器出現(xiàn)小數(shù)，但需注意應(yīng)先乘再除，否則無效。③在進(jìn)行小數(shù)乘法運(yùn)算時(shí)會(huì)產(chǎn)生冗余符號(hào)位，如0.5×(－0.375)，按Q3 進(jìn)行規(guī)格化處理，正確結(jié)果為1110100(－0.187 5=－12/26)，當(dāng)將其送入累加器時(shí)，為了保持乘積符號(hào)擴(kuò)展為8 位結(jié)果11110100(－0.093 75=－12/27)，擴(kuò)展了一個(gè)多余的符號(hào)位之后導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤，必須消除該冗余的符號(hào)位。DSP 乘法器有冗余符號(hào)位自動(dòng)消除功能，在進(jìn)行小數(shù)乘法運(yùn)算時(shí)，將FRCT 位置為1后會(huì)自動(dòng)將結(jié)果左移1 位，以確保結(jié)果正確。本例中11110100 左移1 位后結(jié)果為11101000(－24/27=－0.187 5)。④應(yīng)避免乘法溢出，在DSP中，乘、加運(yùn)算結(jié)果一般放在累加器中，累加器字長是CPU 字長的數(shù)倍，如TMS320C54x 的累加器字長為40 位，以保證多個(gè)16 位數(shù)運(yùn)算時(shí)不會(huì)溢出。

表2 Q12 格式規(guī)格化與反規(guī)格化的數(shù)對(duì)比

表3 Q15 格式規(guī)格化與反規(guī)格化的數(shù)對(duì)比

表4 Q31 格式規(guī)格化與反規(guī)格化的數(shù)對(duì)比

在TMS320C54x 定點(diǎn)DSP 中，進(jìn)行小數(shù)乘法運(yùn)算之前，先將ST1 寄存器中的FRCT 位置1，每次進(jìn)行乘法運(yùn)算之后DSP 自動(dòng)將結(jié)果左移1 位，消除冗余符號(hào)位。在數(shù)字信號(hào)處理中，乘－累加運(yùn)算是最常見的運(yùn)算，如實(shí)現(xiàn)IIR和FIR 數(shù)字濾波，或FFT 快速傅里葉變換［5］。在DSP 中計(jì)算乘－累加運(yùn)算如下式［4］:

由GC- MS分析得到的質(zhì)譜數(shù)于NIST08.LIB和NIST14.LIB標(biāo)準(zhǔn)譜庫的檢索，查對(duì)相關(guān)質(zhì)譜資料，分別對(duì)各峰加以確認(rèn)，鑒定樣品中的揮發(fā)性香氣成分，用峰面積歸一法分析各組成分相對(duì)含量。

2 DSP 中小數(shù)乘法關(guān)鍵問題

Qm.n 表示數(shù)的方法是人為設(shè)定的為了在定點(diǎn)DSP 中拓寬數(shù)的表示范圍的一種表示方法，這種方法已被TI 公司所接受，并成為其定點(diǎn)DSP的LIB 庫接口標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)類型［2］。以TMS329C54x的定點(diǎn)DSP 為例，TI 公司提供的各種適用于定點(diǎn)DSP 使用的lib 庫，進(jìn)行小數(shù)運(yùn)算時(shí)，輸入、輸出數(shù)據(jù)均采用Q15 格式［2－3］。DSP 無法自動(dòng)識(shí)別這種數(shù)，在DSP 進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算之前，應(yīng)先將數(shù)按約定的格式進(jìn)行規(guī)格化處理才能進(jìn)行運(yùn)算。DSP運(yùn)算完成的結(jié)果依舊是一個(gè)定點(diǎn)數(shù)，需要將其按相反的規(guī)則進(jìn)行反規(guī)格化處理。使用Qm.n 表示數(shù)時(shí)，規(guī)格化數(shù)的方法為將該小數(shù)乘以2n 并取整，反規(guī)格化時(shí)將運(yùn)算得到的整數(shù)結(jié)果除以2n 還原成小數(shù)。若小數(shù)是負(fù)數(shù)，則應(yīng)將結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)碼操作。以小數(shù)0.768 93 為例，按Q15 規(guī)格化乘以32 768 得到結(jié)果為626CH，將626CH除以32 768 之后得到的結(jié)果為0.768 920。顯然，數(shù)規(guī)格化之后與規(guī)格化之前有誤差，這是由定點(diǎn)DSP 運(yùn)算過程的四舍五入所造成。而這個(gè)誤差與Qm.n 數(shù)精度有關(guān)，取0.567 1、0.234 21、－0.456 781、0.679 202 3、－0.232 345 624 439這5 個(gè)數(shù)，分別使用Q12、Q15、Q31 進(jìn)行規(guī)格化和反規(guī)格化處理，其結(jié)果如表2～4所示。

“哦，我半個(gè)月前去外地出差，在那邊遇到一個(gè)自稱老賈的人，他賣給我的?？磥砦矣龅降睦腺Z八成就是你說的那個(gè)人了?！敝心耆苏f著抱緊了箱子，生怕孟導(dǎo)急了來搶。

3 小數(shù)乘法在DSP 中實(shí)現(xiàn)

由表2～4 可知，相同的數(shù)，使用不同的Qm.n 格式進(jìn)行規(guī)格化處理，其誤差相差50～200×104倍，當(dāng)然，小數(shù)有效位數(shù)也影響規(guī)格化和反規(guī)格化結(jié)果。

其中，x = {0.35，－0.23，－0.4，0.1}，a={0.6，0.5，－0.1，－0.2}，輸入數(shù)據(jù)為小數(shù)，計(jì)算結(jié)果y 也是小數(shù)。完成公式(1)中小數(shù)運(yùn)算的步驟為:①建立.bbs 段，為x、a 分別保留4 個(gè)存儲(chǔ)單元，為y 分配2 個(gè)存儲(chǔ)單元，建立.data 段，存放8 個(gè)Q15 規(guī)格化的小數(shù);②將.data 段數(shù)據(jù)搬移到.bss，分別賦值給x、a;③置位FRCT，以消除冗余符號(hào)位;④執(zhí)行4 次MAC 指令，完成計(jì)算ai×xi運(yùn)算;⑤保存結(jié)果到y(tǒng)。按該思路編程如下:

鏈接器的CMD 配置文件如下

在CCS2.0 中編輯編譯程序并執(zhí)行，RAM執(zhí)行結(jié)果如圖2所示。

圖2 執(zhí)行結(jié)果

進(jìn)一步分析上述程序，每一步乘－累加運(yùn)算結(jié)果分解如表5所示，將程序中MAC 指令改成MPY 單乘法指令，并分別將FRCT 置0 和置1 之后執(zhí)行程序結(jié)果如表5 第4、第5 行所示。與原數(shù)相對(duì)照，第4 行受冗余符號(hào)位影響，所有結(jié)果均不正確，第5 行為FRCT 位置1后每次進(jìn)行乘法運(yùn)算后結(jié)果自動(dòng)左移1 位，消除冗余符號(hào)位，與原數(shù)對(duì)照，結(jié)果正確，第7 行為MAC 運(yùn)算結(jié)果。程序最后只將累加器高階AH 保存于y 中，AL 值直接舍去，這是由于在TMS320C54x DSP 中，2 個(gè)16 位整數(shù)相乘，乘積總是“向左增長”，這意味著多次相乘后乘積將會(huì)很快超出器件數(shù)據(jù)位寬甚至溢出。要將32 位乘積保存在數(shù)據(jù)存儲(chǔ)器中，需要開銷2 個(gè)機(jī)器周期以及2 個(gè)字的存儲(chǔ)單元，此外由于乘法器為16 位，后續(xù)的遞推運(yùn)算無法輸入32 位乘積數(shù)，而小數(shù)乘積總是向右增長，這就使得超出定點(diǎn)器件數(shù)據(jù)范圍所引起的誤差可以忽略不計(jì)，在條件允許的前提下既可以存儲(chǔ)32 位結(jié)果，也可以存儲(chǔ)高16 位結(jié)果，以節(jié)約資源，也便于遞推運(yùn)算［4］。若只取高階則應(yīng)按Q15 進(jìn)行反規(guī)格化處理，將結(jié)果除以215，2C27H/215=0.344 94;若取32 位則應(yīng)按Q31 進(jìn)行反規(guī)格化處理，將結(jié)果除以231，2C27C290H/231=0.344 96。將表5 中第6 行4 個(gè)AH 值相加有:1AE0+0EB8+051E+FD70=2C26H，直接舍去AL 位可簡化計(jì)算，但與結(jié)果2C27H 有1個(gè)數(shù)字的誤差。

表5 MAC 運(yùn)算過程分解表

4 結(jié)束語

DSP 數(shù)字信號(hào)處理器的應(yīng)用日趨廣泛，使用定點(diǎn)DSP 實(shí)現(xiàn)小數(shù)數(shù)字信號(hào)處理算法可保證結(jié)果精確。本文詳細(xì)介紹了使用定點(diǎn)數(shù)表示小數(shù)的方法，討論了小數(shù)乘法運(yùn)算中的幾個(gè)關(guān)鍵問題，研究了在不同Qm.n 格式下數(shù)對(duì)數(shù)精度的影響，通過在TMS320C54x DSP 中進(jìn)行小數(shù)的乘－累加運(yùn)算應(yīng)用實(shí)例，更深入地討論了小數(shù)乘法的高精度運(yùn)算問題。本文所介紹的方法適用于DSP、單片機(jī)、FPGA 等場(chǎng)合，但需要注意的是DSP 乘法器有冗余位自動(dòng)消除功能，對(duì)于沒有該功能的處理器在進(jìn)行小數(shù)乘法操作時(shí)可通過手動(dòng)方式實(shí)現(xiàn)，通過程序?qū)⒔Y(jié)果向左移1 位即可。

［1］張小鳴，王正洪，朱正偉.高精度定點(diǎn)數(shù)平方根匯編子程序的實(shí)現(xiàn)原理［J］.江蘇石油化工學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，14(4):59－60.

［2］余云霞，曾以成.一種有符號(hào)定點(diǎn)數(shù)乘法運(yùn)算的快速算法［J］.湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2007，29(1):37－40.

［3］姚斌，陳玉濤，李靜正.微機(jī)保護(hù)測(cè)控裝置定點(diǎn)數(shù)的開方計(jì)算方法［J］.電力自動(dòng)化設(shè)備，2007，27(11):42－45.

［4］陳金鷹.DSP 技術(shù)及應(yīng)用［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2004:129－180.

［5］鄒春杰.基于軟硬件協(xié)同設(shè)計(jì)平臺(tái)ECNUX 的并行FFT 設(shè)計(jì)［D］.上海:華東師范大學(xué)，2005.