基于小波變換和GM-ARMA的導(dǎo)彈備件消耗預(yù)測(cè)

趙建忠 徐廷學(xué)

(海軍航空工程學(xué)院兵器科學(xué)與技術(shù)系，煙臺(tái) 264001)

葛先軍 尹延濤

(海軍航空工程學(xué)院科研部，煙臺(tái) 264001)

備件是進(jìn)行導(dǎo)彈裝備使用和實(shí)施維修等保障任務(wù)的重要物質(zhì)基礎(chǔ)，準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)備件的消耗才能在有限的經(jīng)費(fèi)情況下，最大限度地滿足導(dǎo)彈裝備保障的備件需求.在備件預(yù)測(cè)領(lǐng)域，時(shí)間序列分析由于避免了影響因素調(diào)查與篩選、多重共線性等難點(diǎn)而得到廣泛應(yīng)用.導(dǎo)彈備件消耗大都呈現(xiàn)“短周期、小樣本”的特點(diǎn)，這表明依靠大樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行建模的方法來(lái)預(yù)測(cè)導(dǎo)彈備件的消耗，很難達(dá)到預(yù)期效果.灰色模型(GM，Grey Model)是建立系統(tǒng)運(yùn)行趨勢(shì)模型的有效方法，適用于動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，且只需知道少量已知信息就可建立預(yù)測(cè)模型.另外，自回歸移動(dòng)平均模型 (ARMA，Autoregressive and Moving Average)，是分析平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的一種成熟而有效的方法，能處理周期性變化的序列，且建模時(shí)所需數(shù)據(jù)量少.由于2種模型對(duì)于時(shí)間序列的預(yù)測(cè)各有側(cè)重，一些學(xué)者提出了GMARMA組合模型(grey model and autoregressive integrated moving average model)［1］.但子模型 GM(1，1)模型對(duì)波動(dòng)大、非線性、非平穩(wěn)的序列難以取得滿意的預(yù)測(cè)效果，而數(shù)據(jù)變換技術(shù)為建立灰色模型創(chuàng)造先決條件;ARMA模型參數(shù)的估計(jì)過(guò)程是復(fù)雜的非線性回歸過(guò)程，導(dǎo)致ARMA模型參數(shù)估計(jì)成為模型運(yùn)用的一個(gè)難點(diǎn)，而阻尼最小二乘法為其提供了一條有效的途徑.為此本文提出了改進(jìn)的GM-ARMA模型以克服上述缺點(diǎn)，稱為RGM-ARMA模型(revised GM-ARMA).

導(dǎo)彈備件消耗大都呈現(xiàn)非線性、非平穩(wěn)特征，導(dǎo)致利用RGM-ARMA模型進(jìn)行導(dǎo)彈備件消耗預(yù)測(cè)誤差仍偏大.小波變換是近年來(lái)興起的一種新的信號(hào)分析處理技術(shù)，具有多分辨分析的特點(diǎn)，在時(shí)域、頻域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，是處理非平穩(wěn)隨機(jī)時(shí)間序列的一種有效方法［2］.目前，小波變換技術(shù)廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、圖像處理、計(jì)算機(jī)視覺等領(lǐng)域，但被用于備件預(yù)測(cè)方面的研究還幾乎沒有.為了解決備件消耗預(yù)測(cè)問題，本文嘗試將小波變換技術(shù)引入到備件消耗預(yù)測(cè)領(lǐng)域.

至此，在分析導(dǎo)彈備件消耗特性以及備件消耗預(yù)測(cè)模型研究現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，提出一種基于小波變換和RGM-ARMA的導(dǎo)彈備件消耗組合預(yù)測(cè)方法，稱為 WGM-ARMA模型(wavelet transform，revised grey model and autoregressive integrated moving average model).在充分?jǐn)M合低頻信息的同時(shí)，又避免對(duì)高頻信息的過(guò)擬合，從而提高了非平穩(wěn)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)精度，為備件消耗預(yù)測(cè)提供了一種新的思路.

1 小波變換理論

小波變換有很多算法，常用的有快速變換算法:Mallat算法和A Trous算法等.本文根據(jù)備件消耗序列長(zhǎng)度，采用Mallat算法，即塔式算法.該算法從空間概念方面形象地說(shuō)明了多分辨分析特性，并給出了信號(hào)分解不同頻率通道的算法及重構(gòu)算法［3］.

2 GM-ARMA模型的改進(jìn)

2.1 基于背景值優(yōu)化和數(shù)據(jù)變換技術(shù)的改進(jìn)GM(1，1)

2.1.1 振蕩序列的改進(jìn)

文獻(xiàn)［4－5］論證了平移變換可以使任意的原始數(shù)據(jù)序列X變?yōu)橐粋€(gè)單調(diào)遞增的序列X1;文獻(xiàn)［6－7］幾何平均變換不但可使序列X1的隨機(jī)波動(dòng)性減弱，消除沖擊干擾項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)造成的數(shù)據(jù)“失真”現(xiàn)象，而且還能保持原有數(shù)據(jù)序列X1的單調(diào)性，并提高序列X1的光滑性.因此，通過(guò)對(duì)平移變換和幾何平均變換后生成得到的數(shù)據(jù)序列建立GM(1，1)模型，可以有效地提高預(yù)測(cè)模型的模擬精度.

2.1.2 背景值的優(yōu)化

設(shè) X={x(1)，x(2)，…，x(n)}為原始時(shí)間序列，計(jì)算背景值 Z(1)時(shí)，Z(1)(i)=θx(1)(i－1)+(1 － θ)x(1)(i)(i=1，2，…，n).其中，X(1)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}為原始數(shù)據(jù)序列的一次累加序列，θ為(0，1)之間的待定常數(shù).

2.1.3 模型的建立

先對(duì)X進(jìn)行平移變換，得到的序列記作

其中，x1(k)=x(k)d1，k=1，2，…，n;然后對(duì) X1進(jìn)行幾何平均變換，生成的序列記作

其中，y(k)=x1(k)d2，再以 Y={y(1)，y(2)，…，y(n)}為原始序列建立GM(1，1)微分方程.求解并作一次累減生成得

2.2 基于阻尼最小二乘法優(yōu)化的ARMA

本文利用反向過(guò)程確定數(shù)據(jù)初值，結(jié)合阻尼最小二乘法，求解ARMA模型的參數(shù)［8－9］.

條件最小二乘法中的條件是指初值條件［10］，當(dāng)一時(shí)間序列用ARMA模型來(lái)擬合，假設(shè)此序列中第一個(gè)時(shí)刻之前的p個(gè)時(shí)刻的值為0或者均值，相對(duì)應(yīng)的殘差序列的前q個(gè)時(shí)刻的值為0.

首先用反向過(guò)程確定初值，假設(shè)時(shí)間序列x1，x2，…，xn，需要去估計(jì) x－i(i=1，2，…，n)，可以由反向模型所產(chǎn)生算子:φ(F)xk=θ(F)φk.

由于該算子的平穩(wěn)性，在一定的范圍k=ε以外，估計(jì)值基本上等于0［11］.因此，對(duì)充分的近似值，用式(4)來(lái)求解.

將混合過(guò)程用一個(gè)ε階滑動(dòng)平均過(guò)程代替.接著將模型線性化，而且要極小化

將［φk］用 Taylor級(jí)數(shù)展開，m=p+q個(gè)參數(shù)用β作為(φ，θ)的記號(hào)，在該值附近有一組推測(cè)的對(duì)應(yīng)參數(shù)值 β0=(β1，0，β2，0，…，βm，0)，則有

再使用阻尼最小二乘法進(jìn)行計(jì)算，阻尼最小二乘法是Newton法與最速下降法的結(jié)合，不僅收斂速度快，而且精度高［12－13］.

對(duì)于給定的模型，值［φm|x，β1，0，β2，0，…，βm，0］對(duì)于 k=1 － ε，…，n 用遞推方法，然后對(duì)［φm|x，β1，0+ δ1，β2，0，…，βm，0］重復(fù)遞推計(jì)算，繼而又對(duì)［φm|x，β1，0，β2，0+ δ2，…，βm，0］進(jìn)行遞推 計(jì)算，由

可得到具有足夠精度的所需導(dǎo)數(shù)負(fù)值，求?。郐誯］，最后計(jì)算出預(yù)期的ARMA模型參數(shù).

3 WGM-ARMA模型的構(gòu)建

在上述分析和研究的基礎(chǔ)上，對(duì)導(dǎo)彈備件消耗預(yù)測(cè)的思路和框架進(jìn)行規(guī)劃.首先對(duì)備件消耗序列進(jìn)行分解與重構(gòu)，然后對(duì)低頻和高頻信息分別建模和預(yù)測(cè)，最后將各個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行疊加，便得到原始序列的預(yù)測(cè)結(jié)果.預(yù)測(cè)框架見圖1.

圖1 基于WGM-ARMA的導(dǎo)彈備件消耗預(yù)測(cè)框架圖

在WGM-ARMA模型中，需要整合3種模型，這里模型的整合優(yōu)化是建立WGM-ARMA模型的關(guān)鍵.首先要對(duì)小波基和分解層數(shù)進(jìn)行參數(shù)化:參數(shù)m代表小波基，參數(shù)k代表分解層數(shù).在灰色模型GM(1，1)中的特征參數(shù)是θ，在ARMA模型特征參數(shù)是(p，q)，在小波分解的特征參數(shù)是(m，k)，而整合GM(1，1)，ARMA模型和小波分解的過(guò)程就是找到特征參數(shù)組合(θ，p，q，m，k)最佳組合的過(guò)程.建立組合模型基本的前提條件是θ，(p，q)和(m，k)的選擇必須基于相同的統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則［14］.顯然參數(shù)(m，k)可以用總絕對(duì)值誤差(TAE，Total Absolute Error)準(zhǔn)則［15］選擇，因此模型的整合可以依據(jù)TAE準(zhǔn)則進(jìn)行選擇.

對(duì)于給定的時(shí)間序列 X=(x1，x2，…，xn)，已知小波基方程m和小波分解的層數(shù)k，根據(jù)小波分解，該時(shí)間序列X可以被分解為

對(duì)參數(shù)(m，k，θ，p1，q1，p2，q2，…，pk，qk)設(shè)定上下限，得到一個(gè)離散的參數(shù)空間:

這樣對(duì)于參數(shù)組合(m，k，θ，p1，q1，p2，q2，…，pk，qk)，通過(guò)式(7)計(jì)算出擬合序列 X=(x^1，x^2，…，x^n)，并計(jì)算出對(duì)應(yīng)的總絕對(duì)值誤差為

而最終的WGM-ARMA模型滿足:

4 實(shí)例分析

據(jù)調(diào)研分析，某型導(dǎo)彈裝備的使用和維修保障過(guò)程中，由于電流電壓不穩(wěn)或電子器件到壽、振動(dòng)或沖擊、橡膠老化或受力等因素，導(dǎo)致導(dǎo)彈裝備出現(xiàn)電子件短路斷路或擊穿燒蝕、機(jī)械件斷裂或磨損、橡膠件斷裂或磨損等現(xiàn)象，進(jìn)而導(dǎo)致相應(yīng)備件的消耗.這里統(tǒng)計(jì)了該型導(dǎo)彈裝備某種備件1998年－2010年的消耗情況(見表1).

表1 1998年－2010年某種導(dǎo)彈備件的消耗數(shù)據(jù)

4.1 數(shù)據(jù)分析

由表1知，備件消耗序列是非平穩(wěn)的時(shí)間序列，先采用小波分析理論把備件消耗序列進(jìn)行分解和重構(gòu).這里數(shù)據(jù)樣本共13組，選取前10組數(shù)據(jù)樣本構(gòu)建模型，擬合模型;后3組數(shù)據(jù)樣本用來(lái)作為預(yù)測(cè)值的比較對(duì)象，以檢驗(yàn)預(yù)測(cè)效果的好壞.

4.2 消耗預(yù)測(cè)

4.2.1 參數(shù)確定

首先對(duì)參數(shù)(m，k，θ，p1，q1，p2，q2，…，pk，qk)設(shè)定上下限.對(duì)參數(shù)m進(jìn)行編號(hào)，如表2所示.經(jīng)研究比較，對(duì)參數(shù)(k，θ，p1，q1，p2，q2，…，pk，qk)定義的上下界為 k∈［1，2，…，6］，θ∈［0，0.1，…，1］，p1，q1，p2，q2，…，pk，qk∈［0，1，…，5］.到此，對(duì)于每個(gè)參數(shù)組合(m，k，θ，p1，q1，p2，q2，…，pk，qk)都可以基于10個(gè)歷史數(shù)據(jù)X=(x1，x2，…，x10)通過(guò)式(7)建立模型，并得到擬合序列X^，并通過(guò)式(8)計(jì)算出相應(yīng)的σTAE，且WGM-ARMA模型滿足式(9).

上述式(7)～式(9)的計(jì)算過(guò)程可以用Matlab編程實(shí)現(xiàn)，最終計(jì)算出來(lái)的σTAE最小的參數(shù)組合為:m=4，k=2，θ=0.6，p1=2，q1=1，p2=2，q2=2.根據(jù)第3節(jié)參數(shù)定義和表2可知，m=4表明首先要用小波基方程“db3”，k=2表明通過(guò)小波分解把原始序列X分解2層，低頻逼近信號(hào)、高頻細(xì)節(jié)信號(hào)和重構(gòu)信號(hào)見圖2.

表2 小波基方程的編號(hào)

圖2 備件消耗時(shí)間序列及用db3小波分解后重構(gòu)結(jié)果

由于db N小波具有正交、時(shí)頻支撐、高正規(guī)性和Mallat快速算法等特點(diǎn)，對(duì)非平穩(wěn)時(shí)間序列的分解具有很好的特性，但消失矩不能太高，一般不超過(guò)4，即db2～db4比較合適;分解過(guò)程中本身存在計(jì)算誤差，層數(shù)越多，誤差越大，計(jì)算上的誤差會(huì)帶來(lái)預(yù)測(cè)的誤差，使預(yù)測(cè)精度下降，一般為2～5層［16］.由此可見，在分解過(guò)程中小波基和分解層數(shù)的選擇是比較合理的.

4.2.2 低頻逼近信號(hào)預(yù)測(cè)

對(duì)小波分解后的低頻逼近信號(hào)采用改進(jìn)GM(1，1)模型(θ=0.6)進(jìn)行預(yù)測(cè)，數(shù)據(jù)擬合情況如圖3所示.后驗(yàn)差比值 C=0.032＜0.35，小誤差概率P=1＞0.95，預(yù)測(cè)模型等級(jí)為優(yōu)，可以用于低頻逼近信號(hào)預(yù)測(cè).

4.2.3 高頻細(xì)節(jié)信號(hào)預(yù)測(cè)

對(duì)小波分解后的高頻信號(hào)采用ARMA模型(p1=2，q1=1，p2=2，q2=2)進(jìn)行預(yù)測(cè)，數(shù)據(jù)擬合情況及其誤差相關(guān)系數(shù)如圖4和圖5所示.由此可見，ARMA模型的預(yù)測(cè)信號(hào)值和原始信號(hào)很接近，預(yù)測(cè)精度較高，可以用于高頻細(xì)節(jié)信號(hào)的預(yù)測(cè).

圖3 低頻信號(hào)的灰色擬合效果

圖4 高頻信號(hào)1的ARMA擬合及其誤差相關(guān)系數(shù)

圖5 高頻信號(hào)2的ARMA擬合及其誤差相關(guān)系數(shù)

4.3 結(jié)果分析

在上述分析的基礎(chǔ)上，把低頻逼近信號(hào)和各層高頻細(xì)節(jié)信號(hào)在第11～13時(shí)間點(diǎn)的預(yù)測(cè)值相加，便得到2008年－2010年的備件消耗量.作為對(duì)比，再采用傳統(tǒng)的 GM(1，1)、改進(jìn)的 GM(1，1)、ARMA模型、RGM-ARMA模型，分別對(duì)備件消耗進(jìn)行預(yù)測(cè)，這5種方法的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖6所示，平均相對(duì)誤差(MRE，Mean Relative Error)分別是0.0622，0.0465，0.0497，0.0344，0.0152.

圖6 預(yù)測(cè)誤差對(duì)比

5 結(jié) 束 語(yǔ)

本文嘗試把小波變換引入到導(dǎo)彈備件消耗預(yù)測(cè)中，提出了基于小波變換和改進(jìn)GM-ARMA的導(dǎo)彈備件消耗預(yù)測(cè)方法，其顯著特點(diǎn)是運(yùn)用小波變換技術(shù)將非平穩(wěn)的備件消耗時(shí)間序列分解為多層頻率成分更加單純、相關(guān)性更強(qiáng)的序列，并且針對(duì)各層的特點(diǎn)，用改進(jìn)的GM(1，1)和ARMA模型分別對(duì)分解后的非線性低頻趨勢(shì)信息和相對(duì)平穩(wěn)高頻信息進(jìn)行預(yù)測(cè)，疊加各子序列的最終預(yù)測(cè)效果優(yōu)于單一預(yù)測(cè)模型.更為重要的是，本文提出了一個(gè)基于小波變換的全新的構(gòu)建組合預(yù)測(cè)模型的思路，進(jìn)而構(gòu)建出更多更精確的備件預(yù)測(cè)模型.研究結(jié)果表明，基于小波變換的多種模型相結(jié)合的方法，不僅能夠反映原始備件消耗數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特征及變化規(guī)律，而且還可以發(fā)揮各模型的優(yōu)勢(shì)，取得了較高的預(yù)測(cè)精度且預(yù)測(cè)性能穩(wěn)定，對(duì)進(jìn)一步解決實(shí)際問題具有良好的應(yīng)用前景.

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