基于結(jié)合力模型的自適應(yīng)飛機(jī)防滑剎車控制

李豐羽 焦宗夏

(北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191)

在起飛和著陸階段，飛機(jī)依靠防滑剎車系統(tǒng)(ABS，Anti-skid Braking System)控制，通過協(xié)調(diào)舵面和前輪操縱保證飛機(jī)安全剎停.為了防止由于機(jī)輪打滑造成事故，使用穩(wěn)定和高效防滑剎車控制策略對提高飛機(jī)地面安全性有著重要意義.

飛機(jī)的防滑剎車系統(tǒng)是一個復(fù)雜的具有不確定性的非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的非線性主要由結(jié)合系數(shù)與滑移率和剎車力矩與壓力等映射關(guān)系導(dǎo)致［1］.

目前飛機(jī)防滑剎車控制律主要是依靠對機(jī)輪角速度、角加速度和機(jī)體速度的測量，以預(yù)先設(shè)定的減速率或滑移率等為控制目標(biāo)，通過改變剎車壓力實現(xiàn)飛機(jī)防滑剎車.飛機(jī)防滑剎車控制律常見的有壓力偏調(diào)、滑模變結(jié)構(gòu)控制、模糊控制和滑移率閉環(huán)控制［2－6］等.但是在不同跑道狀況(干、濕)、材質(zhì)(瀝青、軟土)或溫度等條件下，由于機(jī)輪與跑道之間的結(jié)合力發(fā)生變化，對應(yīng)的期望滑移率工作區(qū)間會隨之偏移.此時只可能保證飛機(jī)防滑剎車系統(tǒng)有效工作，但不能確保滿足可靠性和高效性的要求.

輪胎/路面摩擦力模型是基于結(jié)合力模型的非線性防滑剎車控制律研究的基礎(chǔ).文獻(xiàn)［7］提出的魔術(shù)公式是基于大量試驗基礎(chǔ)上的穩(wěn)態(tài)摩擦力擬合公式，給出了以滑移率為自變量的結(jié)合系數(shù)的表達(dá)式.

基于鬃毛變形理論的動態(tài)LuGre摩擦力模型考慮了結(jié)合力的速度相關(guān)性［8］，其用來表示鬃毛形變量的內(nèi)部摩擦狀態(tài)變量具有有界性和滿足Lipschitz條件等性質(zhì)，使其便于應(yīng)用在剎車系控制律研究方面，其不可測量的內(nèi)部摩擦狀態(tài)可以通過狀態(tài)觀測器進(jìn)行估計［9－10］.通過合理設(shè)計自適應(yīng)律可以解決由未知外部工作狀況引起的模型參數(shù)不確定問題［10－12］.

首先考慮到飛機(jī)滑跑中受到地面載荷、氣動力和發(fā)動機(jī)殘余推力等，建立機(jī)體和機(jī)輪的動力學(xué)模型，其中機(jī)輪所受結(jié)合力使用動態(tài)LuGre摩擦力模型表示，將未知跑道狀態(tài)映射到模型參數(shù).利用雙狀態(tài)觀測器［11］估計模型的不可測內(nèi)部摩擦狀態(tài)，并更新由自適應(yīng)律估計得到的模型參數(shù)估計值.

通過在線求解分布式LuGre摩擦力模型的偽穩(wěn)態(tài)模型極值，得到結(jié)合系數(shù)的最大值及相應(yīng)的滑移率.將此滑移率作為控制系統(tǒng)的跟蹤目標(biāo)，利用反饋線性化思想構(gòu)造前饋控制器進(jìn)行防滑剎車控制，從而達(dá)到改善未知跑道狀態(tài)下的防滑剎車系統(tǒng)工作效率的目的.

1 飛機(jī)機(jī)體及機(jī)輪動力學(xué)模型

1.1 飛機(jī)的地面受力分析

飛機(jī)在地面滑跑過程中受力如圖1所示.

由圖1可知，在坐標(biāo)系Oxyz中飛機(jī)質(zhì)心速度V和受力的關(guān)系為

其中，m為飛機(jī)質(zhì)量;R為總空氣動力，沿坐標(biāo)系Oxyz的分量為D，L和Y，方向如圖1所示;F為地面通過起落架給機(jī)體的力.

為了簡化模型，做出以下假設(shè).

假設(shè)1

1)左、右機(jī)輪對稱剎車，且工作條件(跑道狀況和溫度等)相同，則有

其中，F(xiàn)x為飛機(jī)輪胎與跑道之間的結(jié)合力.

2)不存在側(cè)向加速度和側(cè)力，即左、右機(jī)輪垂直載荷均勻分布，則有

其中，F(xiàn)n為機(jī)輪受到的法向力.

3)機(jī)體質(zhì)心速度與機(jī)輪轉(zhuǎn)動中心速度相同.

4)忽略前起落架水平載荷、發(fā)動機(jī)推力和升力.

注意，前起落架水平載荷和發(fā)動機(jī)推力相對結(jié)合力較小;升力相對重力較小，因此建模時被忽略.根據(jù)假設(shè)1，水平縱向速度分量v與受力的關(guān)系簡化為

其中，Ka為氣動阻力系數(shù)，且有D=Kav2.

1.2 機(jī)輪的受力分析

剎車壓力Pb通過剎車系統(tǒng)產(chǎn)生剎車力矩uτ使得機(jī)輪減速.由機(jī)輪受力分析(圖2)可知，由于機(jī)輪與地面等效接觸點的線速度同機(jī)體速度存在速度差，使得機(jī)輪工作在既滾又滑的狀態(tài)，與跑道之間產(chǎn)生大于滾動摩擦和滑動摩擦的結(jié)合力，使得飛機(jī)減速剎停.剎車力矩與剎車壓力具有復(fù)雜的非線性關(guān)系，不影響控制效果前提下，此處簡化為線性關(guān)系 uτ=KbPb，其中 Kb=npμpnhApRb為剎車力矩增益系數(shù)，與摩擦偶摩擦面?zhèn)€數(shù)np、摩擦偶摩擦系數(shù)μp、剎車作動活塞個數(shù)nh、活塞面積Ap和摩擦半徑Rb相關(guān).

圖2 機(jī)輪受力示意圖

綜合假設(shè)1中4)和圖2分析可得機(jī)輪動力學(xué)方程:

其中，J為機(jī)輪的轉(zhuǎn)動慣量;ω為機(jī)輪相對轉(zhuǎn)動中心的角速度;r為機(jī)輪轉(zhuǎn)動半徑.

為了度量飛機(jī)輪胎滑動運動的程度和法向力與結(jié)合力的關(guān)系，定義滑移率和結(jié)合系數(shù)如下:

其中，相對速度vr=v－rω.

1.3 飛機(jī)輪胎結(jié)合力模型

結(jié)合力模型采用動態(tài)LuGre摩擦力模型［8］:

其中，z為內(nèi)部摩擦狀態(tài);σ0為名義靜摩擦系數(shù);g(vr)=μC+(μS－ μC)e－|vr/vs|1/2，μC和 μS為庫倫摩擦和最大靜摩擦系數(shù)，vs為Stribeck相對速度;β0和β1為輪胎橡膠剛度和阻尼系數(shù);β2為粘滯阻尼系數(shù).

注意，z表示輪胎微觀上鬃毛的變形量，是摩擦力模型中的重要部分，而且具有未知和不可測量的特性，可通過設(shè)計觀測器對其進(jìn)行估計.由z的含義可知其具有如下有限變形特性:

性質(zhì) 1 如果 |z(0)|≤ μS/σ0，則有:|z(t)|≤μS/σ0，對于?t≥0;

性質(zhì) 2 ∞ ＞μS≥g(vr)≥μC＞0，?vr.

根據(jù)LuGre摩擦力模型參數(shù)的物理意義，做出如下假設(shè).

假設(shè)2 飛機(jī)輪胎結(jié)合力模型參數(shù)β0，β1和β2為正數(shù)，且全局一致有界.

由前述分析可知模型參數(shù)對應(yīng)跑道狀態(tài)，參數(shù)值對結(jié)合系數(shù)-滑移率曲線(μ-λ曲線)形狀影響如圖3所示.由式(7)中結(jié)合系數(shù)定義可知，模型參數(shù)對結(jié)合力的影響與對結(jié)合系數(shù)的影響趨勢相同.

圖3 參數(shù)不同的μ-λ曲線(v=50m/s)

2 控制器設(shè)計

由圖3可知，參數(shù)值不同的μ-λ曲線的最大結(jié)合系數(shù)及相應(yīng)的期望滑移率均不相同.因此控制器需要根據(jù)不同結(jié)合力需求，通過控制算法改變剎車壓力，以期望使機(jī)輪工作在結(jié)合系數(shù)最大值附近;而且在跑道狀態(tài)發(fā)生變化時，能夠?qū)崟r估計摩擦力模型參數(shù)，進(jìn)而在線解算最大結(jié)合系數(shù)，確保獲得當(dāng)前路面狀態(tài)下的最大結(jié)合力和理想的機(jī)體減速度，保證系統(tǒng)的有效性，縮短剎車距離，提高系統(tǒng)的工作效率.

2.1 控制目標(biāo)

為了充分利用機(jī)輪與地面之間的結(jié)合力，通過在線求解式(10)中分布式動態(tài)LuGre摩擦力模型的等效偽穩(wěn)態(tài)模型極值，可以獲得最大結(jié)合系數(shù)μmax及相應(yīng)的期望滑移率λ［10］d.

由式(7)中滑移率定義可知，對應(yīng)于λd可得最大結(jié)合力Fxmax.因此將通過控制剎車壓力使飛機(jī)輪胎工作在λd及其左半平面附近作為系統(tǒng)的控制目標(biāo)，可以保證飛機(jī)防滑剎車系統(tǒng)的工作效率.

其中，l為飛機(jī)輪胎與跑道接觸長度;η=λ/(1－ λ);γ =1 － β1|η|/［rωg(vr)］.

式(10)中結(jié)合系數(shù)是多變量函數(shù)，其中飛機(jī)速度可以通過傳感器測量，結(jié)合力模型參數(shù)通過設(shè)計觀測器和自適應(yīng)律進(jìn)行估計，在求極值時上述兩種變量可作為常數(shù).因此通過在給定區(qū)間求極值的方法得到μmax及相應(yīng)的λd.

2.2 基于狀態(tài)觀測的自適應(yīng)控制器設(shè)計

由式(6)中滑移率定義可知期望相對速度vrd=vλd，則可認(rèn)為對應(yīng)當(dāng)前速度v，對期望滑移率的跟蹤等價于對vrd的跟蹤.根據(jù)vr定義可知，其導(dǎo)數(shù)為

將式(4)、式(5)、式(8)和式(9)代入式(11)可得

其中，g1=J/(rKb);g2=Fn(2J/m+r2)/(rKb);θ=β1+β2，故 g1，g2和 θ均為正.

定理1 在跑道狀態(tài)未知時，由式(4)和式(5)描述飛機(jī)機(jī)體和機(jī)輪模型，由式(8)和式(9)描述輪胎結(jié)合力模型，在滿足假設(shè)1和2時，可以得到:

①系統(tǒng)內(nèi)所有信號均有界;

②存在自適應(yīng)律:

其中，γβ0，γβ1和 γθ為正常數(shù);e為相對速度的跟蹤誤差，使用如下雙狀態(tài)觀測器估計內(nèi)部摩擦狀態(tài)值得到和

其中γ0和γ1為正常數(shù)，使得利用反饋線性化構(gòu)造的剎車壓力控制律:

其中c1為正的反饋增益，通過改變剎車壓力，能夠保證系統(tǒng)跟蹤由式(10)在線解算得到λd.

證明 由相對速度跟蹤誤差的定義e=vrvrd可知，將式(4)、式(5)、式(8)和式(9)代入 e導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，整理可得

定義半正定Lyapunov函數(shù)如下:

其中，值得注意的是，狀態(tài)估計誤差及其導(dǎo)數(shù)定義為

規(guī)定乘積項的估計誤差為

同理可知:

將式(21)～式(24)代入Lyapunov函數(shù)V沿著式(13)～式(18)軌跡的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)假設(shè)2可得

由式(19)可知 e·∈ L∞，由式(25)可知 e∈L2，且 e∈ L∞.由 Barbalat引理可知，當(dāng) t→ ∞時，e→0.由誤差e和式(6)中滑移率λ定義可知，當(dāng)t→ ∞時，λ → λd.故②得證.

3 仿真結(jié)果

為了驗證設(shè)計的狀態(tài)觀測器、自適應(yīng)律和控制律的有效性，以某型飛機(jī)為對象設(shè)計仿真驗證程序，仿真參數(shù)如表1所示.

表1 仿真參數(shù)表

程序運行開始即進(jìn)行防滑剎車，剎車壓力指令信號驅(qū)動剎車裝置作動，通過將剎車片壓緊在剎車盤上產(chǎn)生的力矩進(jìn)行剎車.通過在區(qū)間［0.05，0.45］內(nèi)在線計算最大結(jié)合系數(shù) μmax及相應(yīng)的期望滑移率λd，將λd作為系統(tǒng)的跟蹤目標(biāo)，通過剎車系統(tǒng)使機(jī)輪工作在能夠提供的最大結(jié)合力附近，機(jī)體的減速度最大，防滑剎車效率最高，剎停距離最短.為了便于分析和顯示，仿真曲線顯示3 s之前的仿真結(jié)果.

由圖4和圖5可見，結(jié)合力模型的參數(shù)和內(nèi)部摩擦狀態(tài)估計值很快收斂到真值附近，模型參數(shù)真值為表1中仿真參數(shù)設(shè)定值，內(nèi)部摩擦狀態(tài)真值由仿真程序中對象模型提取.

圖4 摩擦力模型參數(shù)估計值和真值曲線

飛機(jī)剎車系統(tǒng)按圖6中剎車壓力指令進(jìn)行防滑剎車控制，得到圖7和圖8所示的期望滑移率跟蹤曲線及跟蹤誤差曲線，表明穩(wěn)定后機(jī)輪工作在期望滑移率附近，可以獲得最大結(jié)合力，以理想的機(jī)體減速度進(jìn)行防滑剎車，確保了飛機(jī)防滑剎車的效率.

圖5 摩擦力模型內(nèi)部摩擦狀態(tài)估計值和真值曲線

圖6 剎車壓力指令信號曲線

圖7 仿真對象滑移率和期望滑移率曲線

圖8 期望滑移率跟蹤誤差曲線

圖9顯示為在所設(shè)計的控制律下飛機(jī)機(jī)體和機(jī)輪的線速度曲線.

圖9 飛機(jī)機(jī)體和機(jī)輪速度曲線

4 結(jié) 束 語

飛機(jī)防滑剎車過程中未知的跑道狀態(tài)對應(yīng)了輪胎結(jié)合力模型中參數(shù)的不確定性.針對此問題通過設(shè)計狀態(tài)觀測器估計輪胎結(jié)合力模型中的內(nèi)部摩擦狀態(tài)值，設(shè)計自適應(yīng)律估計結(jié)合力模型參數(shù)，以在線解算結(jié)合力偽穩(wěn)態(tài)模型得到的期望滑移率為跟蹤目標(biāo)，采用反饋線性化思想構(gòu)造前饋控制器進(jìn)行防滑剎車控制，通過飛機(jī)防滑剎車系統(tǒng)使飛機(jī)輪胎工作在期望滑移率附近，提高了飛機(jī)防滑剎車效率.

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