均勻圓陣二維波達(dá)角估計的Cramer-Rao界?

苑小華，鄭輝，余飛群

（盲信號處理重點實驗室，成都610041）

均勻圓陣二維波達(dá)角估計的Cramer-Rao界?

苑小華??，鄭輝，余飛群

（盲信號處理重點實驗室，成都610041）

均勻圓陣（UCA）是一種應(yīng)用廣泛的具有二位波達(dá)角估計能力的平面陣列。為了從理論上分析不同陣列參數(shù)下到達(dá)波方位角（AOA）、仰角估計精度，推導(dǎo)了均勻圓陣二維波達(dá)角估計的性能界，以此為基礎(chǔ)分析了陣列孔徑、陣元個數(shù)、快拍數(shù)以及來波仰角高低與到達(dá)角估計精度的關(guān)系，并通過對UCA-MUSIC算法計算機仿真驗證了推導(dǎo)結(jié)果的正確性。研究結(jié)果為波達(dá)角估計類算法提供了可供參考的性能下界，圓陣設(shè)計時也不再需要大量的Monte Carlo仿真試驗確定陣列參數(shù)，可直接從估計精度表達(dá)式中獲得。

均勻圓陣；二維波達(dá)角估計；低仰角；Cramer-Rao界

1 引言

均勻圓形陣列（Uniform Circular Array，UCA）是陣元均勻分布在一個圓周上的平面陣列，相比其他陣形具有很多優(yōu)點，如無180°方位模糊，分辨率與方向無關(guān)，可同時估計到達(dá)波的方位角和仰角等，因此均勻圓陣被廣泛應(yīng)用于各種測向系統(tǒng)中。當(dāng)平面陣列的孔徑受限時，均勻圓陣對到達(dá)波特別是低仰角到達(dá)波的仰角估計精度不足，因此大孔徑均勻圓陣在仰角分辨能力上優(yōu)勢明顯。

在陣列初始設(shè)計階段，陣列孔徑、陣元數(shù)、快拍數(shù)、信噪比等參數(shù)都會影響估計性能，通常的做法是通過Monte Carlo仿真取統(tǒng)計平均確定各參數(shù)的影響。當(dāng)各參數(shù)的影響相互干擾時，需要大量的Monte Carlo仿真計算以確定最佳參數(shù)。而用到達(dá)角估計的性能下界代替計算機仿真可以大大簡化計算量，從而快速準(zhǔn)確地實現(xiàn)陣列參數(shù)設(shè)計。

波達(dá)角估計算法的研究同樣需要衡量算法性能優(yōu)劣的統(tǒng)一參考標(biāo)準(zhǔn)。由于均勻圓陣的陣列流型不具有類似均勻線陣的Vandermonde陣列形式，使得許多基于均勻線陣的優(yōu)良算法不能直接應(yīng)用于均勻圓陣。Mathews［1］、Zoltowski［2］等將模式激勵技術(shù)與高分辨算法相結(jié)合把圓陣的陣元空間變換到波束空間，使得許多均勻線陣的算法得以移植到圓陣上，如黃浩學(xué)等［3］基于模式空間變換提出仰角、方位角和多普勒頻移的聯(lián)合估計算法，張輝等［4］在模式空間變換的基礎(chǔ)上提出通過矩陣束的廣義特征值計算入射信號的方位角和俯仰角以減小了孔徑損失并實現(xiàn)了自動配對。高書彥等［5］提出基于模式空間矩陣重構(gòu)的空間譜估計算法比空間平滑類算法具有更好的性能。然而，Belloni等［6］指出模式空間變換帶來估計性能的損失，而上述大多數(shù)算法在性能仿真時并沒有給出算法估計精度與估計下界的比較結(jié)果，無法橫向比較各種算法的性能。

Stoicia等［7］推導(dǎo)了基于陣列信號處理的一維方位角估計性能下界，即Cramer-Rao界（簡記為CRB）。Mathew等［1］給出了基于無限長信號樣本的二維波達(dá)角估計的CRB公式，但未給出詳細(xì)的推導(dǎo)過程，也沒有針對均勻圓陣得出相應(yīng)結(jié)論。

本文借鑒文獻［7］和文獻［8］的證明思路，將其推廣到均勻圓陣的二維波達(dá)角估計的CRB，并分析了陣元孔徑、陣元個數(shù)、信噪比、快拍數(shù)以及仰角高低與波達(dá)角估計精度的關(guān)系。最后通過計算機仿真將基于陣元空間UCA－MUSIC算法的波達(dá)角二維估計性能曲線與推導(dǎo)的CRB進行了比較，檢驗了其正確性。

符號說明：AT為矩陣轉(zhuǎn)置，AH為矩陣共軛轉(zhuǎn)置，A*為矩陣共軛，A－1為矩陣求逆，A⊙B為Hardmard積。

2 信號模型

如圖1所示，設(shè)圓陣的N個陣元均勻分布在半徑為r的圓周上，以圓周中心為原點如圖建立球坐標(biāo)系，陣元按逆時針方向排列，第n個陣元方向與x軸的夾角為γn＝2πn/N，n＝1，2，…，N－1。假設(shè)D個同信道窄帶信號源si（t）（i＝1，2，…，D）從遠(yuǎn)場入射，載波波長為λ，第i個信號源的到達(dá)角為（φi，θi），φ∈［0，2π）表示方向角，θ∈［0，π/2］表示來波方向與z軸的夾角。定義到達(dá)波仰角β為到達(dá)波方向與在xoy平面投影的夾角，β＝π/2－θ。

圖1 均勻圓陣的幾何示意圖Fig.1 Geometry schematic diagram of UCA

陣列接收的數(shù)據(jù)矩陣可表示為［9］

二維波達(dá)角估計的過程就是從接收數(shù)據(jù)矩陣x（）k中估計出（ξi，φi）。

3 二維波達(dá)角估計的Cramer-Rao界

只考慮信號源是確定信號［8］，且假設(shè)如下條件成立：陣元個數(shù)N大于信號個數(shù)D；噪聲為獨立同分布的零均值復(fù)高斯白噪聲，E［e（t）e*（t）］＝σI且E［e（t）eT（t）］＝0。

將式（13）～（25）代入式（3）得

式（37）與文獻［4］給出的公式（33）相同，因此文獻［1］給出的CRB計算公式是K足夠大時得到的，而公式（31）是有限樣本長度的CRB。

4 均勻圓陣二維波達(dá)角估計精度

將均勻圓陣的流型矩陣表達(dá)式代入式（31）即得到均勻圓陣的CRB表達(dá)式。下面利用CRB研究均勻圓陣的二維波達(dá)角估計性能，假設(shè)輻射源的個數(shù)為1，來波方向為（φ，β），這里通過數(shù)值計算的方式分析到達(dá)角估計的CRB隨陣列孔徑、陣元個數(shù)、快拍數(shù)以及來波仰角高低的變化關(guān)系。為了方便討論這里不考慮模糊和天線互耦的影響。

（1）陣列孔徑

陣元數(shù)為20，到達(dá)波仰角β＝5°，信噪比為10 dB，快拍數(shù)為200。方位角和仰角的CRB隨陣列孔徑波長比（圓陣直徑與波長的比）變化曲線如圖2所示。

圖2 CRB隨陣列孔徑波長比變化曲線Fig.2 Curves of CRB versus aperturewavelength ratio

由圖可見，隨著陣列孔徑增大方位角和仰角的估計精度明顯提高，孔徑對仰角估計精度影響大于對方位角的影響。

（2）陣元個數(shù)

陣列孔徑波長比D/λ＝4，來波仰角β＝5°，信噪比為10 dB，快拍數(shù)為200。方位角和仰角的CRB隨陣元數(shù)變化曲線如圖3所示。

圖3 CRB隨陣元個數(shù)變化曲線Fig.3 Curves of CRB versus array elements number

由圖可見，隨著陣元數(shù)變大方位角和仰角的估計精度明顯提高。

（3）快拍數(shù)

陣列孔徑波長比D/λ＝4，陣元數(shù)為20，來波仰角β＝5°，信噪比為10 dB。方位角和仰角的CRB隨快拍數(shù)變化曲線如圖4所示。

圖4 CRB隨快拍數(shù)變化曲線Fig.4 Curves of CRB versus snapshot number

由圖可見，隨著陣元數(shù)變大方位角和仰角的估計精度提高?？炫臄?shù)小于500時精度提高較快，快拍數(shù)大于500后精度提高變緩。

（4）仰角

陣列孔徑波長比D/λ＝4，陣元數(shù)為20，信噪比為10 dB，快拍數(shù)為200。方位角和仰角的CRB隨仰角變化曲線如圖5所示。

圖5 CRB隨來波仰角變化曲線Fig.5 Curves of CRB versus elevation angle

由圖可見，隨著來波仰角增大，方位角估計精度降低而仰角估計精度提高。當(dāng)仰角大于70°時，方位角估計精度降低加速；當(dāng)仰角小于10°時，仰角估計精度降低加速。

5 計算機仿真

為了對CRB做進一步驗證，對基于二維搜索的UCA-MUSIC算法進行Monte Carlo仿真，并將估計性能與CRB作了比較。陣列采用大孔徑均勻圓陣，陣列孔徑采用D/λ＝2、D/λ＝4、D/λ＝8三種，陣元數(shù)取20，單信號源到達(dá)角（φ，θ）＝（270°，85°），噪聲源取零均值加性高斯白噪聲。UCA-MUSIC算法譜估計公式為

其中，a（φ，θ）的計算見式（1），＾UN是對接收信號的自相關(guān)矩陣作特征分解得到的噪聲子空間特征向量矩陣［9］。對式（38）做二維搜索得到參數(shù)φ和θ的估計值?？炫臄?shù)取200，通過1 000次仿真實驗的統(tǒng)計平均得到方位角和仰角估計的標(biāo)準(zhǔn)差隨信噪比變化的曲線，如圖6所示。

仿真結(jié)果表明，UCA-MUSIC算法方位角和仰角估計偏差略高于CRB，隨著信噪比的增加逐漸接近CRB。對不同的圓陣孔徑仿真比較的結(jié)果與由CRB計算得到的比較結(jié)果一致。

6 結(jié)論

本文從陣列接收信號的概率密度函數(shù)出發(fā)，給出了均勻圓陣二維波達(dá)角估計Cramer-Rao界計算公式的詳細(xì)推導(dǎo)過程，與文獻［1］給出的結(jié)論形式一致，并以此為基礎(chǔ)分析得出結(jié)論：方位角和仰角估計精度隨陣列孔徑、陣元數(shù)、快拍數(shù)和信噪比的增加單調(diào)遞減，仰角低于10°時仰角估計精度下降迅速，仰角高于70°時方位角估計精度下降速度快。UCA

MUSIC算法的Monte-Carlo仿真結(jié)果與推導(dǎo)得到的CRB進行了比較，UCA-MUSIC的估計誤差曲線略高于CRB且隨著信噪比增加逐漸趨近CRB。本文推導(dǎo)得到的CRB不僅為波達(dá)角估計類算法提供了可供參考的性能下界，圓陣設(shè)計時確定陣列參數(shù)可直接利用CRB公式計算，不再需要大量的Monte Carlo仿真試驗獲得。

［1］Mathews C P，ZoltowskiM D.Eigenstructer techniques for 2－D angle estimation with uniform circular arrays［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1994，42（9），2395－2407.

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［3］黃浩學(xué)，吳嗣亮.基于均勻圓陣的信號源DOA和多普勒頻率估計算法［J］.電子學(xué)報，2001（5）：619－621. HUANG Hao-xue，WU Si-liang.An Algorithm for Estimating D0A and Doppler frequency of Signals Incident on Uniform Circular Array［J］.Acta Electronic Sinica，2001（5）：619－621.（in Chinese）

［4］張輝，李曉明，葛臨東，等.基于均勻圓陣的空時二維波達(dá)方向估計算法［J］.信號處理，2008，24（5）：767－769. ZHANG Hui，LI Xiao-ming，GE Lin-dong.Space-time 2－D DOA Estimation Algorithm Based on Uniform Circular Array［J］. Signal Processing，2008，24（5）：767－769.（in Chinese）

［5］高書彥，陳輝，王永良，等.基于均勻圓陣的模式空間矩陣重構(gòu)算法［J］.電子與信息學(xué)報，2007，29（12）：2833－2835. GAO Shu-yan，CHEN Hui，WANG Yong-liang.The MODETOEPAlgorithm Based on Uniform Circular Array［J］.Journal of Electronics＆Information Technology，2007，29（12）：2833－2835.（in Chinese）

［6］Belloni F，Koivunen V.Beamspace transform for UCA：error analysis and bias reduction［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2006，54（8）：3078－3089.

［7］Stoica P，Nehorai A.MUSIC，maximum likelihood，and Cramer-Rao bound［J］.IEEE Transactions on Acoustics，Speech，and Signal Precessing，1989，37（5）：720－741.

［8］Stoica P，Nehorai A.Performance study of conditional and unconditional direction-of-arrival estimation［J］.IEEE Transactions on Acoustics，Speech，and Signal Precessing，1990，38（10）：1783－1795.

［9］王永良，陳輝.空間譜估計理論與算法［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2004. WANG Yong-liang，CHEN Hui.Spatial Spectrum Estimation Theory and Algorithm［M］.Beijing：Tsinghua University Press，2004.（in Chinese）

［10］Key SM.統(tǒng)計信號處理基礎(chǔ)［M］.羅鵬飛，張文明，譯.北京：電子工業(yè)出版社，2011：36－38. Key SM.Fundamentalsof Statistical Signal Processing［M］. Translated by LUO Peng-fei，ZHANG Wen-ming.Beijing：Publishing House of Electronic Industry，2011：36－38.（in Chinese）

［11］葉中付.統(tǒng)計信號處理［M］.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2009：254－256. YE Zhong-fu.Statistical Signal Processing［M］.Hefei：University of Science＆Technology of China Press，2009：254－256.（in Chinese）

［12］張賢達(dá).矩陣分析與應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2004. ZHANG Xian-da.Matrix Analysis and Applications［M］. Beijng：Springer Press，2004.（in Chinese）

苑小華（1982—），男，河北滄州人，2007年于盲信號處理重點實驗室獲碩士學(xué)位，現(xiàn)為工程師、博士研究生，主要研究方向為陣列信號處理；

YUAN Xiao-hua was born in Cangzhou，Hebei Province，in 1982.He received the M.S.degree from National Key Laboratory of Blind Signals Processing in 2007.He is now an engineer and currently working toward the Ph.D.degree.His research direction is array signal processing.

Email：y－xiaohua＠163.com

鄭輝（1957—），男，重慶人，1982年于東南大學(xué)獲學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為高級工程師、博士生導(dǎo)師，主要研究方向盲信號處理；

ZHENG Huiwas born in Chongqing，in 1957.He received the B.S.degree from SoutheastUniversity in 1982.He is now a senior engineer and also the Ph.D.supervisor.His research concerns blind signals processing.

余飛群（1982—），男，湖北黃梅人，2007年于盲信號處理重點實驗室獲碩士學(xué)位，現(xiàn)為工程師、博士研究生，主要研究方向為空間波束合成。

YU Fei-qun was born in Huangmei，Hubei Province，in 1982. He received the M.S.degree from National Key Laboratory of Blind Signals Processing in 2007.He is now an engineer and currently working toward the Ph.D.degree.His research direction is antenna and propagation.

Cramer-Rao Bound for 2-D Angle Estimation w ith Uniform Circular Array（UCA）

YUAN Xiao-hua，ZHENG Hui，YU Fei-qun
（National Key Laboratory of Blind Signals Processing，Chengdu 610041，China）

Uniform circular array（UCA）is a kind ofwidely used planar arraywhich provides2-D angle of arrival（AOA）estimation.In order to analyze the precision of this estimation under different array shape，the performance bound for2-D angle estimation with uniform circular array is deduced and influence of array aperture，element number，snapshot and elevation angle on estimation accuracy is shown.Finally computer simulation of UCA-MUSIC algorithm is given to comparewith the Cramer-Rao bound（CRB）derived.The conclusion provides a performance bound for AOA estimation algorithms and proposes a newmethod for UCA design instead ofMonte Carlo simulationswith large amount of calculation.

uniform circular array；2-D angle of arrival estimation；low elevation angle；Cramer-Rao bound

TN911

A

1001－893X（2013）01－0044－07

10.3969/j.issn.1001－893x.2013.01.009

2012－08－17；

2012－10－23 Received date：2012－08－17；Revised date：2012－10－23

國家自然科學(xué)基金資助項目（61001111）

Foundation Item：The National Natural Science Foundation of China（No.61001111）

??通訊作者：y－xiaohua＠163.com Corresponding author：y－xiaohua＠163.com