二模磁場(chǎng)中隨機(jī)晶場(chǎng)作用混合自旋橫向Ising模型的臨界行為

丁直，晏世雷

（蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇蘇州 215006）

二模磁場(chǎng)中隨機(jī)晶場(chǎng)作用混合自旋橫向Ising模型的臨界行為

丁直，晏世雷

（蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇蘇州 215006）

在有效場(chǎng)理論和切斷近似的框架內(nèi)，研究了二模磁場(chǎng)中隨機(jī)晶場(chǎng)作用的混合自旋橫向Ising模型的臨界行為.在T-h相圖中，晶場(chǎng)濃度對(duì)有序相的影響需要將二模磁場(chǎng)分段考慮；大的晶場(chǎng)和適當(dāng)?shù)木?chǎng)濃度有利于二級(jí)重入相變現(xiàn)象；但橫場(chǎng)對(duì)三臨界點(diǎn)的作用值得更多研究.在T-D相圖中，負(fù)晶場(chǎng)比例較大降低有序相，正晶場(chǎng)比例較大增大有序相；強(qiáng)二模磁場(chǎng)和橫場(chǎng)都抑制有序相，但強(qiáng)二模磁場(chǎng)有利于三臨界點(diǎn)的出現(xiàn)，而橫場(chǎng)抑制三臨界點(diǎn).在T-Ω相圖中，晶場(chǎng)和晶場(chǎng)濃度對(duì)有序相范圍有顯著影響.

混合自旋橫向Ising模型；臨界行為；隨機(jī)晶場(chǎng)；二模磁場(chǎng)

Jiang等人研究了晶場(chǎng)作用自旋為1的橫向Ising模型，給出適用一般配位數(shù)的二級(jí)相變和三臨界點(diǎn)表達(dá)式，并考察了晶場(chǎng)對(duì)相變的影響[1].晶場(chǎng)作用的橫向Ising模型是橫向Ising模型（TIM）和Blume-Capel模型（BCM）的發(fā)展.該模型中包含了近鄰格點(diǎn)的交換相互作用、晶格排列引起的晶場(chǎng)作用，以及描述量子隧穿效應(yīng)的橫場(chǎng)作用.隨后該模型受到了其他研究者的重視[2-5].Yan等人將晶場(chǎng)作用單自旋橫向Ising模型發(fā)展為混合自旋系統(tǒng)[6]，一個(gè)重要結(jié)論是：補(bǔ)償溫度不僅受晶場(chǎng)控制，還受橫場(chǎng)影響.其他研究者的工作已涉及到系統(tǒng)中鍵、晶場(chǎng)和橫場(chǎng)隨機(jī)性的影響，獲得很多有意義的結(jié)果[7-9].最近，Li等人在不同橫場(chǎng)作用的系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)過飽和磁化行為[10].總的來說，隨機(jī)性的引入給系統(tǒng)性質(zhì)帶來豐富的變化.本文在有效場(chǎng)理論和切斷近似的框架內(nèi)，研究簡(jiǎn)立方晶格情形下二模磁場(chǎng)中隨機(jī)晶場(chǎng)作用的混合自旋橫向Ising模型的臨界行為.

1 理論推導(dǎo)

二模磁場(chǎng)中隨機(jī)晶場(chǎng)作用的混合自旋橫向Ising模型的哈密頓量為：

這里的格子由子格A和子格B相互嵌套而成，子格A是自旋為1/2的磁性原子，和是z方向和x方向的自旋矩陣；子格B是自旋為1的磁性原子，和是子格B磁性原子z方向和x方向的自旋矩陣.J為最近鄰格點(diǎn)間的交換相互作用，并設(shè)J＜0，表明所考慮系統(tǒng)是亞鐵磁耦合，兩個(gè)不同子格的磁化方向相反.若J＞0，則系統(tǒng)轉(zhuǎn)為鐵磁耦合，這里僅考慮亞鐵磁耦合情況.Ω為系統(tǒng)橫場(chǎng)，代表子格A和子格B的量子隧穿效應(yīng).Dj是作用在子格B上的晶場(chǎng)，滿足隨機(jī)分布

p是隨機(jī)晶場(chǎng)濃度.當(dāng)p=0時(shí)，表現(xiàn)為純的負(fù)晶場(chǎng)；當(dāng)p=1時(shí)，表現(xiàn)為純的正晶場(chǎng)；0＜p＜1時(shí)是混合隨機(jī)晶場(chǎng).hα()

α=i,j是作用于系統(tǒng)的磁場(chǎng)，平行于z軸方向且滿足二模分布：

在有效場(chǎng)理論的框架下，子格A和子格B的子格磁化σ、m具有下列形式：

子格B的四極矩q具有如下形式：

表達(dá)式中的＜…＞表示熱力學(xué)平均，?=?/?x是微分算符.函數(shù)F(x)、G(x)和U(x)的定義如下：

其中f(x,hi)、g(x,hj,Dj)和u(x,hj,Dj)的表達(dá)式是：

這里β=1/kBT，其它涉及量的定義為：

其中系數(shù)為：

因?yàn)樯婕岸嘧孕嚓P(guān)，要精確求解方程（4）-（6）相當(dāng)困難，通常做法是引入切斷近似，即：

有i≠j≠…≠k.在切斷近似下，方程（4）-（6）可以表示為：

選取簡(jiǎn)立方格子（z=6）作為三維研究對(duì)象.聯(lián)立方程（22）-（24），得到子格A磁化σ滿足的自洽方程：

其中

包含的系數(shù)為：

根據(jù)朗道相變理論，二級(jí)相變線附近σ很小，因此只需保留線性項(xiàng)，得到相變方程a=1.因?yàn)橄嘧兎匠淌牵?2）-（24）聯(lián)立解的結(jié)果，其中包含子格A和B的共同貢獻(xiàn)，因此a=1方程所得到的臨界溫度代表整個(gè)亞鐵磁系統(tǒng)的臨界溫度.若b＜0，系統(tǒng)的相變?yōu)槎?jí)相變；若b＞0，系統(tǒng)的相變?yōu)橐患?jí)相變.當(dāng)一條相變線上同時(shí)存在二級(jí)相變和一級(jí)相變時(shí)，存在三臨界點(diǎn).而三臨界點(diǎn)的位置由a=1和b=0所決定.

2 數(shù)值結(jié)果和分析

圖1是臨界溫度隨磁場(chǎng)的變化關(guān)系，分別對(duì)應(yīng)于（a）D/J=1、Ω/J=0，（b）D/J=2、Ω/J=0，（c）D/J=2、Ω/J=1，不同的曲線對(duì)應(yīng)不同的晶場(chǎng)濃度p.圖1（a）表明，任意晶場(chǎng)濃度下，二級(jí)相變線隨二模磁場(chǎng)的增大而單調(diào)下降，強(qiáng)二模磁場(chǎng)有效降低臨界溫度.相變線上均存在三臨界點(diǎn)，但大的晶場(chǎng)濃度使三臨界點(diǎn)溫度升高.注意到存在一個(gè)臨界二模磁場(chǎng)值h/J=1.84，在h/J＜1.84時(shí)，有序相的范圍隨二模磁場(chǎng)的增大而增大，這意味著此時(shí)隨機(jī)晶場(chǎng)中正晶場(chǎng)的比例越大，越有利于有序相；然而h/J＞1.84時(shí)，有序相的范圍隨晶場(chǎng)濃度的增大而減小.即二模磁場(chǎng)分布條件下，隨機(jī)晶場(chǎng)濃度的大小對(duì)有序相的影響需要分段考慮.從圖1（b）中看到，晶場(chǎng)增大對(duì)三臨界點(diǎn)有顯著影響.在0≤p≤0.38范圍內(nèi)，三臨界點(diǎn)被完全抑制.在0.39≤p≤0.49范圍內(nèi)，在二級(jí)相變線中出現(xiàn)部分一級(jí)相變過程，即在一條相變線上存在雙三臨界點(diǎn)，在此范圍內(nèi)隨著晶場(chǎng)濃度增大，兩個(gè)三臨界點(diǎn)分別向高溫和低溫方向發(fā)展.在p≥0.5時(shí)，低溫的三臨界點(diǎn)消失，高溫的三臨界點(diǎn)隨晶場(chǎng)濃度的增加繼續(xù)升高.因此在晶場(chǎng)值增大后，較大的負(fù)晶場(chǎng)比例（p較小）能有效抑制三臨界點(diǎn)；適當(dāng)大小的隨機(jī)晶場(chǎng)濃度能導(dǎo)致雙三臨界點(diǎn)的出現(xiàn).與圖1（a）相比，零場(chǎng)時(shí)的居里溫度分別向高溫與低溫方向擴(kuò)展，由于p=0為純負(fù)晶場(chǎng)，大的負(fù)晶場(chǎng)使得零場(chǎng)時(shí)的有序范圍減小，p=1時(shí)則反之.在0≤p≤0.05內(nèi)有序相的范圍擴(kuò)展到更大的磁場(chǎng)處.另一方面在0.06≤p≤0.46內(nèi)，觀察到二級(jí)重入相變現(xiàn)象，且隨著晶場(chǎng)濃度的增加重入現(xiàn)象逐漸抑制直至消失.因此二級(jí)重入相變現(xiàn)象與大的晶場(chǎng)和適當(dāng)?shù)碾S機(jī)濃度有關(guān).注意到基態(tài)時(shí)二級(jí)相變線在0≤p≤0.05和0.06≤p≤0.38分別聚于橫軸的兩點(diǎn)，說明基態(tài)時(shí)在一定的晶場(chǎng)濃度范圍內(nèi)出現(xiàn)簡(jiǎn)并態(tài)，在相圖上即表現(xiàn)為相變線交于同一點(diǎn).圖1（c）中，在0≤p≤0.32范圍內(nèi)觀察不到三臨界點(diǎn)，與圖1（b）比較晶場(chǎng)濃度范圍有所減小.以往的工作普遍認(rèn)為橫場(chǎng)能有效抑制三臨界點(diǎn)，而這里結(jié)果表明，在T-h空間中橫場(chǎng)對(duì)三臨界點(diǎn)的影響不同，因此對(duì)以往的結(jié)論需重新認(rèn)識(shí).零場(chǎng)的居里溫度降低，二級(jí)重入相變現(xiàn)象消失，另外零溫時(shí)二級(jí)相變線的磁場(chǎng)簡(jiǎn)并被打開，說明橫場(chǎng)對(duì)這些結(jié)果有直接影響.綜合圖1，晶場(chǎng)、晶場(chǎng)濃度、二模磁場(chǎng)和橫場(chǎng)這四個(gè)因素對(duì)居里溫度、三臨界點(diǎn)溫度、二級(jí)重入相變、磁場(chǎng)簡(jiǎn)并等有重要作用.

圖1 臨界溫度隨磁場(chǎng)的變化關(guān)系（曲線上的數(shù)值是隨機(jī)晶場(chǎng)濃度p）

圖2 臨界溫度隨晶場(chǎng)的變化關(guān)系（曲線上的數(shù)值是隨機(jī)晶場(chǎng)濃度p）

圖2是系統(tǒng)在T-D空間的相圖，分別對(duì)應(yīng)于（a）h/J=0.8、Ω/J=0；（b）h/J=1.6、Ω/J=0；（c）h/J=0.8、Ω/J=1，不同的曲線對(duì)應(yīng)不同的隨機(jī)晶場(chǎng)濃度p.圖2（a）中，在0≤p≤0.08時(shí)存在一個(gè)三臨界點(diǎn)，并且隨著晶場(chǎng)濃度的增大而降低；在0.09≤p≤0.12時(shí)存在兩個(gè)三臨界點(diǎn)，它們隨著晶場(chǎng)濃度的增大而逐漸合并；在0.13≤p≤1時(shí)，不存在三臨界點(diǎn).此時(shí)，增大晶場(chǎng)濃度抑制三臨界點(diǎn).當(dāng)p≥pC=0.12時(shí)，相變線與橫軸沒有交點(diǎn)，這意味著無(wú)論晶場(chǎng)多大，低溫時(shí)系統(tǒng)始終為有序.p=0.5時(shí)居里溫度單調(diào)減小，p=0.7時(shí)居里溫度先增大后減小，p=0.9時(shí)居里溫度單調(diào)增大.這是因?yàn)樨?fù)晶場(chǎng)比例較大降低有序相，正晶場(chǎng)比例較大則促進(jìn)有序相.在圖2（b）中，二模磁場(chǎng)的增大抑制了有序相范圍.在0≤p≤0.73范圍內(nèi)可觀察到三臨界點(diǎn)，p=0時(shí)三臨界點(diǎn)溫度降低，然后三臨界點(diǎn)溫度隨著晶場(chǎng)濃度的增大而升高，晶場(chǎng)濃度對(duì)三臨界點(diǎn)的影響與圖2（a）的結(jié)果不同.顯然二模磁場(chǎng)的大小對(duì)三臨界點(diǎn)有很大影響：弱二模磁場(chǎng)中隨機(jī)晶場(chǎng)能抑制三臨界點(diǎn)，強(qiáng)二模磁場(chǎng)中隨機(jī)晶場(chǎng)則有利于三臨界點(diǎn).圖2（c）給出了h/J=0.8、Ω/J=1時(shí)的相圖，由于受到橫場(chǎng)的影響，三臨界點(diǎn)完全抑制，有序相范圍減小.圖2清晰地表明，強(qiáng)二模磁場(chǎng)和橫場(chǎng)都抑制有序相，但強(qiáng)二模磁場(chǎng)有利于三臨界點(diǎn)出現(xiàn).

圖3顯示的是系統(tǒng)在T-Ω空間中h/J=0.8時(shí)的臨界性質(zhì)，分別對(duì)應(yīng)于（a）D/J=1和（b）D/J=2，不同的曲線對(duì)應(yīng)不同的晶場(chǎng)濃度p.圖3（a）中，任意晶場(chǎng)濃度下，居里溫度隨著橫場(chǎng)單調(diào)降低.隨著晶場(chǎng)濃度增大，系統(tǒng)有序相的范圍增加.圖3（b）與圖3（a）比較，居里溫度分別向低溫和高溫方向發(fā)展，即：隨機(jī)濃度小時(shí)系統(tǒng)有序相范圍減小，隨機(jī)濃度大時(shí)有序相范圍增大，這也很清楚地表明負(fù)晶場(chǎng)抑制有序相而正晶場(chǎng)促進(jìn)有序相.

圖3 臨界溫度隨橫場(chǎng)的變化關(guān)系（h/J=0.8，曲線上的數(shù)值是隨機(jī)晶場(chǎng)濃度p）

3 結(jié)論

本文基于有效場(chǎng)理論和切斷近似討論了二模磁場(chǎng)中晶場(chǎng)作用的混合自旋橫向Ising模型的臨界行為.在T-h相圖中，晶場(chǎng)濃度對(duì)有序相范圍的影響需要將二模磁場(chǎng)分段考慮；大的晶場(chǎng)和適當(dāng)?shù)木?chǎng)濃度有利于二級(jí)重入相變現(xiàn)象；橫場(chǎng)可打開基態(tài)的磁場(chǎng)簡(jiǎn)并；特別是引入橫場(chǎng)后完全抑制三臨界點(diǎn)的晶場(chǎng)濃度范圍減小，表明T-h空間中橫場(chǎng)對(duì)三臨界點(diǎn)的影響是不同的，因此以往的結(jié)論需重新認(rèn)識(shí).在T-D相圖中，負(fù)晶場(chǎng)比例較大降低有序相，正晶場(chǎng)比例較大促進(jìn)有序相；強(qiáng)二模磁場(chǎng)和橫場(chǎng)都抑制有序相，但強(qiáng)二模磁場(chǎng)有利于三臨界點(diǎn)出現(xiàn)，而橫場(chǎng)抑制三臨界點(diǎn).在T-Ω相圖中，隨著晶場(chǎng)濃度增大，有序相范圍增加；增大晶場(chǎng)后晶場(chǎng)濃度的不同使居里溫度分別向低溫和高溫方向發(fā)展.

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The Critical Behaviors of Mixed Spin Transverse Ising Model with the Random Crystal Field in a Bimodal Magnetic Field

DING Zhi,YAN Shi-lei
(School of Physical Science and Technology,Soochow University,Suzhou 215006,China)

Within the framework of the effective field theory(EFT)and cutting approximation,the critical behav?iors of mixed spin transverse Ising model with the random crystal field in a bimodal magnetic field are investigat?ed.InT-hspace,the effect from crystal field concentration to ordered phase range needs to be considered at different areas of bimodal magnetic field.A big crystal field and appropriate random concentration benefit the second phase reentrance phenomenon.The result shows it needs more discussion about the influence of trans?verse field to the tricritical point.InT-Dspace,a high proportion of negative crystal field leads to small or?dered phase range while high proportion of positive crystal field brings large ordered phase range.Both a big bi?modal magnetic field and transverse field can depress ordered phase.But a big bimodal magnetic field can in?crease tricritical point temperature while the transverse field suppresses tricritical point.InT-Dspace,crystal field and crystal field concentration have a marked impact on ordered phase.

critical behaviors;mixed spin transverse Ising model;random crystal field;bimodal magnetic field

O469

A

1008-2794（2013）04-0029-06

2013-05-15

江蘇省高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目（YK40000112）

晏世雷，教授，研究方向：凝聚態(tài)理論，E-mail：sly@szda.edu.cn.