擴(kuò)＊-亞序與實(shí)＊-環(huán)

姜偉，黃冬明

（1.常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇常熟 215500；2.海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南海口 570228）

擴(kuò)＊-亞序與實(shí)＊-環(huán)

姜偉1，黃冬明2

（1.常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇常熟 215500；2.海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南?？?570228）

在取定*-環(huán)的一個(gè)擴(kuò)*-亞序T的基礎(chǔ)上，研究了*-環(huán)的T-模和*-序的一些聯(lián)系，刻畫(huà)了*-環(huán)的實(shí)性的一個(gè)判別條件，并探討了*-環(huán)的擴(kuò)*-亞序、*-亞序和*-序的一些聯(lián)系.

*-環(huán)；*-序；擴(kuò)*-亞序；實(shí)代數(shù)

在本文中，R表示包含單位元1的環(huán).R的一個(gè)變換*稱(chēng)作對(duì)合映射，如果滿(mǎn)足(r+s)*=r*+s*，(rs)*=s*r*且(r*)*=r，其中r,s∈R；*-環(huán)一般表示帶有對(duì)合*的非交換幺環(huán).若有r*=r，其中r∈R，則稱(chēng)r是R中的對(duì)稱(chēng)元.我們定義S(R)={r∈R|r*=r}.一般來(lái)說(shuō)，S(R)在R之中不是乘法閉子集，但是S(R)是R的一個(gè)加法子群.如果a,b∈S(R)，r∈R，則ab+ba∈S(R)，且rar*∈S(R).當(dāng)然，如果*是一個(gè)恒等映射，那么R就成為一個(gè)交換環(huán).本文涉及的擴(kuò)*-亞序、*-亞序的定義和有關(guān)性質(zhì)以及T-模、限制素*-理想、Jordan理想的定義均參見(jiàn)文獻(xiàn)[3-7].

1 *-序的概念

定義1.1（參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]中定義1.2）設(shè)R是一個(gè)*-環(huán)，P是S(R)的一個(gè)子集，如果P滿(mǎn)足如下條件：

（1）1∈P，-1?P；

（2）P+P?P；

（3）r Pr*?P，?r∈R；

（4）P?-P=S(R)；

（5）?a,b∈S(R)，若aba∈P?-P，則a∈P?-P或b∈P?-P；

（6）若a,b∈P，則ab+ba∈P.

那么就稱(chēng)P是R的一個(gè)*-序.此時(shí)，集合P?-P稱(chēng)為*-序P的支集，并記為supp（P）.如果P僅滿(mǎn)足上述條件（1）-（5），那么稱(chēng)P為R的一個(gè)Baer-序.

定義1.2環(huán)R稱(chēng)為實(shí)*-環(huán)，如果R具有*-序.

注：本文中所述*-環(huán)R如不特別申明，則均指實(shí)*-環(huán).由于R的特征為0，從而可認(rèn)定Z?R，其中Z表示通常的整數(shù)環(huán).此外，本文用N表示通常的自然數(shù)集.

定義1.3（參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]中定義1.2）設(shè)R是一個(gè)*-環(huán)，P是R的一個(gè)*-序，如果R的一個(gè)子集Q滿(mǎn)足如下條件：

那么就稱(chēng)Q是P的一個(gè)擴(kuò)*-序.

定義1.4環(huán)R中的一個(gè)理想I稱(chēng)為*-理想，如果I*=I.

定義1.5[7]環(huán)R的一個(gè)理想I（I≠R）稱(chēng)為素理想，如果a,b∈R且aRb?I可得a∈I或b∈I.

定義1.6I稱(chēng)為*-環(huán)R的素*-理想，如果I既是R的*-理想又是R的素理想；I稱(chēng)為*-環(huán)R的限制素*-理想，如果I是R的素*-理想與S(R)的交集.

定義1.7I稱(chēng)為*-環(huán)R的Jordan理想，如果I不僅是R的一個(gè)子加群且滿(mǎn)足

若a∈I，b∈R，則ab+ba∈I.

2 擴(kuò)*-亞序和T-模

首先敘述*-環(huán)R的擴(kuò)*-亞序的定義[3].

定義2.1*-環(huán)R的元素r=rπ(1)…rπ(n)稱(chēng)為元素r1,…,rn的一個(gè)置換積，其中π是集合{1,…,n}的一個(gè)置換.

定義2.2*-環(huán)R的一個(gè)置換積稱(chēng)為關(guān)于元素r1，，…，rn，嵌套，如果這個(gè)置換積中的元素滿(mǎn)足rj出現(xiàn)在元素ri，之間當(dāng)且僅當(dāng)元素出現(xiàn)在元素ri，之間.

定義2.3設(shè)R是一個(gè)*-環(huán)，且M?S(R).T是形如a1,…,al，b1,b1…,bm,bm，r1，，…，rn，，ai∈M，bj∈S(R)，rk∈R，l,m,n＞0的元素關(guān)于元素r1，，…，rn，嵌套的置換積的有限和生成的集合，則稱(chēng)T是*-環(huán)R的擴(kuò)*-亞序.

注：*-環(huán)R的擴(kuò)*-亞序T滿(mǎn)足如下公理：（1）T+T?T；（2）TT?T；（3）rTr*?T，?r∈R；（4）T=T*.用T0(R)表示R的由空集生成的擴(kuò)*-亞序，則T0(R)是R的最小的擴(kuò)*-亞序.

設(shè)a∈S(R)，T是由S(R)的子集M生成的.則我們也能得到由M?{a}生成的擴(kuò)*-亞序.這個(gè)擴(kuò)*-亞序可以分解為T(mén)+T[a]，其中T[a]表示為如下所有元素a，a1,…,al，b1,b1…,bm,bm，r1，，…，rn，，ai∈M，bj∈S(R)，rk∈R，l,m,n＞0，關(guān)于元素r1，…，rn，嵌套的置換積的有限和生成的集合.

定義2.4設(shè)T是*-環(huán)R的一個(gè)擴(kuò)*-亞序，R的一個(gè)素*-理想p稱(chēng)為T(mén)-相容的，如果對(duì)于任意的s,t∈T?S(R)，由s+t∈p都有s,t∈p.

命題2.5設(shè)T是*-環(huán)R的一個(gè)擴(kuò)*-亞序，且p是R的一個(gè)T-相容的限制素*-理想，使得T?-T?S(R)=p.若T是R的滿(mǎn)足上述條件的一個(gè)極大的擴(kuò)*-亞序，則T?S(R)成為R的一個(gè)*-序.

證明顯然，由文獻(xiàn)[3]的注4.3知T[1]=T，從而1∈T?S(R).假如-1∈T.則1∈T?-T?S(R)=p.從文獻(xiàn)[3]的定理4.7（1）知，存在*-環(huán)R的一個(gè)*-序P，使P?-P=p.從而1∈P?-P，即有-1∈P，矛盾于定義1.1（1），故-1?T?S(R)，T?S(R)+T?S(R)=(T+T)?S(R)?T?S(R).設(shè)a∈T?S(R)，?r∈R，則rar*∈T?S(R).這表明，r(T?S(R))r*?T?S(R).由于p是R的限制素*-理想，從而表明，對(duì)于任意的a,b∈S(R)，aba∈(T?S(R))?-(T?S(R))=T?-T?S(R)=p，導(dǎo)致a∈p或b∈p.利用T是R的滿(mǎn)足命題條件的一個(gè)極大的擴(kuò)*-亞序，由文獻(xiàn)[3]中的定理4.7的斷言1和斷言2知，S(R)?T?-T，即(T?S(R))?-(T?S(R))=S(R).最后，設(shè)a,b∈T?S(R)，則ab+ba∈(TT+TT)?S(R)?(T+T)?S(R)?T?S(R).因此，T?S(R)成為*-環(huán)R的一個(gè)*-序.

命題2.6設(shè)T是*-環(huán)R的一個(gè)擴(kuò)*-亞序，且p是R的一個(gè)限制素*-理想，則以下論斷等價(jià)：

（1）存在一個(gè)擴(kuò)*-亞序Q?T，使得Q?S(R)成為R的一個(gè)*-序，且supp（Q?S(R)）=p；

（2）p是T-相容的.

證明（1）?（2）：設(shè)R的一個(gè)擴(kuò)*-亞序Q?T，使得Q?S(R)成為R的一個(gè)*-序，且supp（Q?S(R)）=p.再設(shè)s+t∈p，其中s,t∈T?S(R)，則s∈Q?S(R)，且s∈-t+p?-Q?S(R).于是，s∈supp（Q?S(R)）=p.同理可得，t∈p.這表明，p是T-相容的.

（2）?（1）：設(shè)Q是由(T?S(R))?p生成的擴(kuò)*-亞序.由文獻(xiàn)[3]中命題4.6（2）知，Q?-Q?S(R)=p.再由文獻(xiàn)[3]中命題4.6（1）知，Q?S(R)=T?S(R)+p.由于p是T-相容的，從而可知p是Q-相容的.由Zorn引理，可設(shè)Q為滿(mǎn)足條件：Q?-Q?S(R)=p的一個(gè)極大的擴(kuò)*-亞序.再由命題2.5知，Q正為（1）中所求.

推論2.7設(shè)p是*-環(huán)R的一個(gè)限制素*-理想，則以下論斷等價(jià)：

（1）p是R的某個(gè)*-序的支集；

（2）p是T0(R)-相容的.

我們有如下T-模的定義[3].

定義2.8對(duì)于*-環(huán)R的一個(gè)擴(kuò)*-亞序T，R的一個(gè)子集Q稱(chēng)為T(mén)-模，如果Q滿(mǎn)足如下條件：

（4）對(duì)于任意的a∈Q?S(R)，都有T[a]?Q.

以下設(shè)x∈S(R)，用Z+表示Z中的非負(fù)元，且Z+[x2]表示如下集合：

顯然，Z+[x2]?S(R)，且對(duì)于*-環(huán)R的任意的擴(kuò)*-亞序T都有，Z+[x2]?T.

命題2.9設(shè)T是*-環(huán)R的一個(gè)擴(kuò)*-亞序，Q為R的一個(gè)T-模，使得T?Q，且-Z+[x2]?Q=?.若Q是R的滿(mǎn)足上述條件的一個(gè)極大的T-模，則有：

（1）p：=Q?-Q?S(R)成為S(R)的一個(gè)Jordan理想；

（2）S(R)?Q?-Q；

（3）Q?S(R)成為R的一個(gè)Baer-序.

證明（1）由于Q是R的一個(gè)T-模，從而p+p?p和-p=p顯然成立.設(shè)Q′={b|b∈R,且2b∈Q}，則Q?Q′.顯然，Q′成為一個(gè)T-模.假若對(duì)于某個(gè)f(x2)∈Z+[x2]，-f(x2)∈Q′，則-2f(x2)∈Q.從而-f(x2)=-2f(x2)+f(x2)∈Q，矛盾！因此，-Z+[x2]?Q′=?.再由Q的極大性知，Q′=Q.

設(shè)r∈S(R)，b∈p，則4rb=(r+1)2b+(r-1)2(-b)?T[b]+T[-b]?Q+Q?Q.再由Q′=Q知，rb∈Q.同理，-rb∈Q，即rb∈Q?-Q.類(lèi)似地，br∈Q?-Q.從而，rb+br∈Q?-Q?S(R)=p.因此，p是S(R)的一個(gè)Jordan理想.

（2）設(shè)a∈S(R).假若a,-a?Q，則Q+T[a]和Q+T[-a]都是T-模，且有T?Q+T[a]和T?Q+T[-a]成立.由Q的極大性知，存在f1(x2)，f2(x2)∈Z+[x2]，q1,q2∈Q，以及t1∈T[a]，t2∈T[-a]使得

此時(shí)可設(shè)q1,q2,t1,t2∈S(R).因?yàn)椋?f1(x2)-(f1(x2))*=q1+(q1)*+t1+(t1)*，其中-f1(x2)-(f1(x2))*∈-Z+[x2]?S(R)，q1+(q1)*∈Q?S(R)，t1+(t1)*∈T[a]?S(R).所以，在（2.1）中，不妨直接設(shè)q1,q2,t1,t2∈S(R).顯然，(f1(x2))2f2(x2)∈Z+[x2].此時(shí)，

顯然，(f1(x2)+t1)2f2(x2)∈T[f2(x2)]?Q.此外，由于f1(x2)，f2(x2)∈Z+[x2]?T，-(f1(x2)+t1)=q1∈Q?S(R)，且-(f2(x2)+t2)=q2∈Q?S(R).這表明，-f1(x2)(f1(x2)+t1)f2(x2)，-(f1(x2)+t1)f1(x2)f2(x2)，-t12(f2(x2)+t2)∈Q.最后，由于-t1=q1+f1(x2)∈Q?S(R)，且t1t2∈T[a]T[-a]?-T[a]T[a]?-T.于是，(t1)2t2.=(-t1)(-t1t2)∈Q.這表明，-Z+[x2]?Q≠?，矛盾！從而a∈Q或-a∈Q.由a在S(R)中的任意性即知，S(R)?Q?-Q.

（3）證明類(lèi)似于文獻(xiàn)[3]中的定理5.2.

推論2.10設(shè)T是*-環(huán)R的一個(gè)擴(kuò)*-亞序，使得-Z+[x2]?T=?.若T是R的滿(mǎn)足上述條件的一個(gè)極大的擴(kuò)*-亞序，則T?S(R)成為R的一個(gè)*-序.

證明由所設(shè)可知，R有一個(gè)T-模Q，使得Q?T且-Z+[x2]?Q=?，比如取Q=T.由Zorn引理，可進(jìn)一步設(shè)這個(gè)Q是極大的.假若Q?S(R)≠T?S(R)，則存在a∈Q?S(R)T?S(R)使得T+T[a]是R的一個(gè)擴(kuò)*-亞序，且T?T+T[a].由于T+T[a]?Q，從而-Z+[x2]?(T+T[a])=?.這與題設(shè)矛盾！因此，Q?S(R) =T?S(R).再由命題2.9知，T?S(R)是R的一個(gè)Baer-序.此外，由于T對(duì)于乘法是封閉的，從而知T?S(R)還滿(mǎn)足定義1.1的條件（6），即：若a,b∈T?S(R)，則ab+ba∈T?S(R).于是，T?S(R)成為*-環(huán)R的一個(gè)*-序.

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Extended*-preorderings and Real*-ring

JIANG Wei1,HUANG Dong-ming2
(1.School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China; 2.College of Information Science and Technology,Hainan University,Haikou 570228,China)

In order to describe the reality of a*-ring，the authors of this paper investigate some interplays be?tween the extended*-preorderings（or T-modules）and*-orderings on a*-ring.

*-ring；*-ordering；extended*-preorderings；real algebra

O153.5

A

1008-2794（2013）04-0001-04

2013-03-15

江蘇省2010年度高校“青藍(lán)工程”優(yōu)秀青年骨干教師項(xiàng)目（蘇教師〔2010〕27號(hào)）

姜偉，副教授，博士，研究方向：代數(shù)學(xué)，E-mail：jiangwei@cslg.cn.

*-環(huán)的概念是由*-域[1]的概念推廣出來(lái)的.所謂*-域，是指帶有一個(gè)對(duì)合映射*的斜域.有序的*-域有許多類(lèi)似于實(shí)域的結(jié)果[2].近來(lái)，M.Marshall[3-4]已經(jīng)把*-域的*-序概念推廣到了*-環(huán)上，發(fā)展了*-環(huán)的*-序的有關(guān)理論.為了進(jìn)一步研究*-環(huán)的實(shí)性，本文探討了*-環(huán)的擴(kuò)*-亞序、*-亞序和*-序的一些聯(lián)系.在取定一個(gè)擴(kuò)*-亞序T的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討了由M.Marshall在文獻(xiàn)[3]中引進(jìn)的T-模和*-序的一些聯(lián)系.