偏差最小的四心圓近似橢圓作圖法

曾振柄， 陳良育， 李志斌， 陳光喜

（1. 華東師范大學(xué)軟件學(xué)院，上海 200062；2. 上海市高可信計(jì)算重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200062；

3. 華東師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院，上海 200062；4. 桂林電子工業(yè)學(xué)院計(jì)算科學(xué)與數(shù)學(xué)系，廣西 桂林 541004）

偏差最小的四心圓近似橢圓作圖法

曾振柄1,2， 陳良育1,2， 李志斌3， 陳光喜4

（1. 華東師范大學(xué)軟件學(xué)院，上海 200062；2. 上海市高可信計(jì)算重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200062；

3. 華東師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院，上海 200062；4. 桂林電子工業(yè)學(xué)院計(jì)算科學(xué)與數(shù)學(xué)系，廣西 桂林 541004）

以曲線的等距線距離為度量，得到近似橢圓與精確橢圓的偏差估計(jì)，并給出了偏差與半軸長(zhǎng)的顯示表達(dá)式。通過符號(hào)計(jì)算和回歸分析，提出一種偏差最小的四心圓近似橢圓作圖法。新方法易于通過尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn)，可用于編制數(shù)控機(jī)床中加工橢圓零件的插補(bǔ)程序。

四心圓作圖法；偏差分析；橢圓；等距線

眾所周知，使用直尺和圓規(guī)手工作圖，不可能畫出精確的橢圓。用若干段圓弧拼接成近似橢圓是一個(gè)自然的想法。有考證，用一些兩兩相切的圓弧畫橢圓的方法，至少可以追溯到 16世紀(jì)文藝復(fù)興時(shí)期的建筑師Sebastiano Serlio，甚至可追溯到公元一世紀(jì)的羅馬競(jìng)技場(chǎng)，或者更早于1500多年的巨石圈[1]。橢圓的近似畫法數(shù)學(xué)（制圖）、天文（軌道分析）、藝術(shù)和建筑（如石拱門）設(shè)計(jì)中曾有廣泛應(yīng)用?，F(xiàn)代計(jì)算機(jī)字體設(shè)計(jì)中也經(jīng)?？紤]用圓弧逼近一般的二次或三次曲線。圖1(a)是達(dá)芬奇(Leonardo da Vinci)的 Hostinato Rigore銘文徽章，其輪廓可用4段圓弧獲得非常接近的擬合，圖1(b)中顯示TrueType字體中用一些圓弧產(chǎn)生字母a的輪廓。

圖1 圓弧畫橢圓的方法例證

現(xiàn)代畫法幾何中常用4段圓弧連接畫圓的軸測(cè)投影。下面的畫法1，在要求較低的情況下可用作正等測(cè)和正二測(cè)橢圓。

畫法 1

1） 作橢圓外接菱形。設(shè) O為菱形中心，A, D ,B,C為菱形四邊的中點(diǎn)；

2） 作菱形各邊的垂直平分線，交于 I, J,K,L四點(diǎn)；

3） 分別以 I , J,K,L為中心， IA, J B, KC, LD為半徑畫弧 AC ,B D,CB,DA，四段圓弧構(gòu)成一近似橢圓。

圖2畫的是正等測(cè)橢圓，軸間角等于120°，K,L與菱形的頂點(diǎn)重合。這種近似橢圓的長(zhǎng)半軸比真實(shí)橢圓的短，短半軸比真實(shí)橢圓的長(zhǎng)。設(shè)θ是軸間角。計(jì)算可知，真實(shí)橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸分別是

圖2 畫法幾何中的近似橢圓

而近似橢圓中，

易知，當(dāng) 90° ＜ θ＜ 180°時(shí)，

在正等軸測(cè)圖中，

已知橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸，可用下面的四心圓法畫近似橢圓。它作出的圖形光滑，偏差較小，容易用尺規(guī)和手工實(shí)現(xiàn)作圖。畫法如下：

畫法2 設(shè)橢圓T的長(zhǎng)軸是AB，短軸是CD，O是AB和CD的交點(diǎn)，如圖3所示。

1） 連接AC。在AC上取點(diǎn)E使CE=OAOC；

2） 作AE的中點(diǎn)F，過F作AE的垂線交AB于G，交CD于J。在OB上取點(diǎn)H使OH=OG，在OC上取點(diǎn)I使OI=OJ；

3） 以G為圓心，GA為半徑畫弧K4AK1，以J為圓心，JC為半徑畫弧K1CK2，以H為圓心，HB為半徑畫弧K2BK3，以I為圓心，IB為半徑畫弧K3DK4。則圓弧K4AK1，K1CK2，K2BK3，K3DK4組成的圖形Γ近似于橢圓T。本文稱Γ為四心圓近似橢圓。

圖3 四心圓近似橢圓

許多文獻(xiàn)載有畫法2。文獻(xiàn)[2-3]給出將畫法2用于數(shù)控機(jī)床中加工橢圓形零件的插補(bǔ)程序。文獻(xiàn)[4]分析了用四心圓法作的近似橢圓與精確橢圓之間的偏差，得出以下結(jié)論：

1） 近似橢圓與精確橢圓的偏差在大圓弧段較小，在小圓弧段較大；

2） 近似橢圓的面積比精確橢圓的面積略大；

3） 橢圓越扁平，偏差越大。

本文用符號(hào)計(jì)算推導(dǎo)了近似橢圓的偏差公式，并給出一種偏差更小的四心圓近似橢圓作圖法。

1 四心圓近似橢圓的偏差

本文所稱四心圓法指畫法2。下面的引理描述四心圓近似橢圓與精確橢圓的位置關(guān)系，這個(gè)結(jié)果見第 3.1節(jié)[4]。為方便后面的討論，本文給出其證明。

引理1 設(shè)T是橢圓，Γ是對(duì)應(yīng)的四心圓近似橢圓。則除橢圓的4個(gè)頂點(diǎn)外，近似橢圓Γ與橢圓T有4個(gè)公共點(diǎn) M1,M2,M3,M4，分別位于4段橢圓弧 AC ,C B,BD,DA上，近似橢圓上的弧M1C M2,M3DM4位于橢圓 T 的內(nèi)部，弧M4AM1,M2BM3位于橢圓T的外部。

證明 假設(shè) AB =2a ,CD=2b。則橢圓T的方程是

易計(jì)算 JGFE ,,, 的坐標(biāo)分別是

令 O (G ,A)是以G為圓心，GA為半徑的圓；O (J ,C)是J為圓心，JC為半徑的圓。這兩個(gè)圓的方程分別是

計(jì)算可知點(diǎn)1K的坐標(biāo)是

易驗(yàn)證

所以，點(diǎn)K1在橢圓T的外部。

下證除點(diǎn)A以外，圓弧14AKK 在橢圓的外部。為此，計(jì)算圓 ),( AGO 與橢圓T的交點(diǎn)，得

其中A是一個(gè)二重交點(diǎn)。因

知弧14AKK 與橢圓T的交點(diǎn)只有A，又因K1在T的外部，所以除點(diǎn)A以外，弧14AKK 在T的外部。

下面證明，除點(diǎn)C以外，弧21CKK 與橢圓T有兩個(gè)交點(diǎn)。計(jì)算圓 ),( CJO 與T的交點(diǎn)，得

其中C是一個(gè)二重交點(diǎn)，21,MM 是一重交點(diǎn)。因

如果在計(jì)算四心圓近似橢圓偏差時(shí)，用橢圓T上的點(diǎn) (x , yT)和近似橢圓Γ上的點(diǎn) (x , yC)的縱坐標(biāo)之差 Δy =yT-yC作為度量，則該度量與坐標(biāo)系有關(guān)。如下例：設(shè)精確圖形是C1:x2+ y2-a2=0，近似圖形是 C2:x2+ y2-(a + ε)2= 0，ε ＞ 0。則：當(dāng) x →0時(shí)，Δ y →-ε；當(dāng) x→ a時(shí)，Δy →-。但撇開坐標(biāo)系來看，C1與 C2的偏差是均勻的，C1與 C2的曲線距離是ε。用曲線間距離度量曲線逼近的偏差，優(yōu)點(diǎn)是與坐標(biāo)系無關(guān)。設(shè) C1,C2是兩條平面曲線。則C1,C2的距離定義如下[5]

其中 ||P - Q||是點(diǎn)P到Q的距離。d (C1,C2)可用作度量 C2對(duì)于 C1的擬合程度。但是很多時(shí)候d (C1,C2)的解析表達(dá)式不易計(jì)算。對(duì)于一些特殊的情況，曲線距離可通過曲線的等距線來計(jì)算[6]：令K+(C1,a),K-(C1,b)是曲線 C1上的每點(diǎn)分別沿 C1在該點(diǎn)法線的正負(fù)兩個(gè)方向移動(dòng)距離 a,b所得到的點(diǎn)的軌跡，稱為 C1的等距線，令K (C1,a,b)表示這兩個(gè)等距線圍成的圖形。則

下面計(jì)算四心圓近似橢圓Γ和精確橢圓 T之間的距離。按照對(duì)稱性，只考慮第1象限的圖形。令L1是線段 GK1與橢圓T的交點(diǎn)。按引理1，橢圓弧 AL1包含在扇形 GAK1內(nèi)，因此存在最小的正實(shí)數(shù) r0使圖形 K(A K1,0,r0)包含橢圓弧AL1；橢圓弧 L1C與圓弧 K1C交于點(diǎn) M1,C，L1M1包含在扇形 L1JM1內(nèi)， M1C在扇形 M1JC之外，因此，存在最小的正實(shí)數(shù) r1,r2使圖形K(K1C ,r1,r2)包含橢圓弧 L1C。令

其中 JPGP, 表示線段的長(zhǎng)度。則

有下面的引理。

引理2 設(shè)橢圓T的長(zhǎng)半軸為a，短半軸是b，Γ是用四心圓法作的近似橢圓。則

證明 考慮以 J為圓心，m為半徑的圓O(J,m)

顯然，當(dāng) CJm= 時(shí)及1mm= 時(shí)， ),(mJO 與橢圓T相切。若 ),( yx 是 ),( mJO 與T的切點(diǎn)，則 yx,除滿足 ),(mJO 和T的方程外，還滿足下面的條件

即

通過本文的分析,已經(jīng)初步發(fā)現(xiàn)浮標(biāo)站和周邊站點(diǎn)一些定性定量的規(guī)律,未來將進(jìn)一步找出浮標(biāo)站與周邊站點(diǎn)之間的風(fēng)力關(guān)系,得到由陸地風(fēng)推導(dǎo)出江面風(fēng)的理論或半經(jīng)驗(yàn)結(jié)論,應(yīng)用于日常業(yè)務(wù)工作。

由此解得滿足 0,0 ＞＞ yx 的切點(diǎn) ),( yx 和相應(yīng)的m

C:(0,b)，

P1:(x1, y1)，

其中

比較點(diǎn)1P和1M 的縱坐標(biāo)

知1P位于橢圓弧 CM1及

現(xiàn)在求2m。由以上計(jì)算知，對(duì)任意 0＞m ，圓 ),(mJO 與橢圓T的弧11ML 不相切，從而，定義于圓弧11ML 上的函數(shù)

關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x單調(diào)遞增，

即

以下計(jì)算0m?？紤]以G為圓心，以m為半徑的圓 ),( mGO

當(dāng) GAm= 時(shí)， ),(),( AGOmGO = 與橢圓T在點(diǎn)A相切。我們求使 ),( mGO 與T相切的其它m及相應(yīng)的切點(diǎn)。如果有唯一的 GAm＜ 使切點(diǎn)位于橢圓弧1AL，則該m即是0m。 ),( mGO 與T在第1象限的切點(diǎn) ),( yx 滿足

解之得

易驗(yàn)證

上式之右是1K的橫坐標(biāo)。設(shè)1L的坐標(biāo)是 ),(llyx 。則

于是，使 ),( mGO 與橢圓T相切的 GAm＜ 是唯一的，且切點(diǎn) P0:( x0,y0)位于橢圓弧 AL1。此證明

因此，定義于圓弧1AN上的函數(shù)

連續(xù)可微，且對(duì)1AN上一切P滿足

故m0=min ρG(P)，特別

最后，得到

引理2得證。

現(xiàn)在我們可以給出四心圓近似橢圓的偏差公式。

定理1 設(shè) ba,是精確橢圓T的長(zhǎng)半軸和短半軸，Γ是用四心圓作的近似橢圓，則

證明 計(jì)算可得

又易見

所以

定理1得證。

下面將近似橢圓位于精確橢圓以外的偏差稱為外偏差，位于精確橢圓以內(nèi)的偏差稱為內(nèi)偏差。則由引理2和定理1，可得到如下結(jié)論：

1） 最大內(nèi)偏差出現(xiàn)在大圓弧段 P1處，最大外偏差出現(xiàn)在小圓弧段P0處。其中10,PP 的坐標(biāo)見引理2證明。外偏差和內(nèi)偏差之比為

2） 最大偏差可近似如下表示為 ba,的表達(dá)式

其中

3） 當(dāng) a =1，b的值從0增加到1時(shí)，偏差d( Γ, T )≤ 0.027678…，最大偏差當(dāng) b=0.22432…時(shí)取到。圖4畫出 a =1，0 ≤ b≤ 1時(shí) d (Γ ,T)的曲線。

圖4 四心圓近似橢圓的最大偏差

4） 若將偏差跟短半軸b相比，則橢圓越扁平，相對(duì)偏差越大。即當(dāng) 1=a ，b接近0時(shí)，

可以看出，將曲線之間的距離作為逼近偏差的度量，得出的實(shí)際上是最大偏差。若將近似曲線和真實(shí)曲線圍成的圖形的面積作為偏差的度量，可以得到逼近的平均偏差。文獻(xiàn)[4]指出，近似橢圓的面積大于精確橢圓的面積。因?yàn)榻茩E圓的有些弧段在精確橢圓內(nèi)，有些弧段在精確橢圓外，所以近似橢圓和精確橢圓圍成的圖形的面積 ),( TΓS 大于近似橢圓的面積與精確橢圓的面積之差。過1M 作直線1xx= ，過1K 作直線x= xK，將近似橢圓Γ和橢圓T圍成的圖形在第一象限的部分分成3塊，其面積自左向右分別記為W1,W2,W3。令

則

用符號(hào)計(jì)算軟件Maple可將321,, WWW 和 ),( TΓd表示為 ba,的函數(shù)。這些表達(dá)式過于復(fù)雜，此處僅畫出當(dāng) 1=a ，0 1b≤ ≤ 時(shí) ),( TΓd 的圖形，如圖5所示。

圖5 畫法2的四心圓近似橢圓的面積偏差

2 偏差更小的四心圓近似橢圓

四心圓橢圓近似作圖法可以一般化為如下曲線逼近問題。假設(shè)要畫的橢圓T是

其中心為 O，頂點(diǎn)為 A ,B ,C,D，坐標(biāo)分別為A = (a ,0),B = (0,- a), C = (0,b), D = (0,- b)在長(zhǎng)半軸OA上取一點(diǎn) G( u ,0),(0 ≤ u ＜a)，在短半軸或其延長(zhǎng)線上取點(diǎn) J (0 ,- v),(v＞0)，以 G為圓心，GA為半徑畫圓 O (G ,A)，以 J為圓心，JC為半徑畫圓 O (J,C)。如果兩圓與射線JG交于同一個(gè)點(diǎn) K，則二圓在點(diǎn) K是 1階切觸。圓弧AK,K C構(gòu)成橢圓在第1象限的一個(gè)近似，如圖6所示。按對(duì)稱方法作橢圓在其它象限的近似。記近似橢圓為Γ。這樣的作圖是可能的，例如，取

就得到畫法2。易觀察到，只要 vu,滿足下列關(guān)系

則 O (G ,A)和 O (J,C)與射線JG的交點(diǎn)重合。設(shè)d (Γ ,T)是近似橢圓和真實(shí)橢圓之間的距離。如何選擇 u,v使得曲線距離 d (Γ ,T)為最??？

圖6 一般的四心圓橢圓

這個(gè)問題是一個(gè)單參數(shù)系統(tǒng)的優(yōu)化問題?？沈?yàn)證， vu,滿足的條件可寫成下面的單參數(shù)形式

圓 ),( AGO 和 ),(CJO 的方程是

設(shè)K= (xk,yk)，則

為使G在OA上，以及K在第1象限，參數(shù)p應(yīng)滿足條件 /p a b≥ 。為保證點(diǎn)K落在橢圓T的外部，p還須滿足下面的不等式

令M=(xm,ym),N=(xn,yn)分別為圓 O(J ,C)和 O (G ,A)與橢圓的交點(diǎn)。則

注意，當(dāng) a + ap+bp-bp2＜0時(shí)總有 a + bbp＜ 0，以及

因此橢圓T在第1象限與近似橢圓Γ有 CMA ,, 3個(gè)公共點(diǎn)，橢圓弧CM在近似橢圓Γ外部，橢圓弧MA在Γ的內(nèi)部。橢圓T與圓 ),( AGO 的交點(diǎn)N在弧MA上，如圖7所示。

圖7 第1象限的近似橢圓

下面計(jì)算 ),( TΓd 。設(shè)L是橢圓T與GK的交點(diǎn)。如第2節(jié)所證，

其中

令P0=(x0,y0),P1=(x1,y1),P2=(x2,y2)分別是取到極值 m0,m1,m2的點(diǎn)。用引理2證明中的方法可求得

容易驗(yàn)證

此說明 P0,P1分別位于橢圓弧段 AL,M C上。因此m2=JL＞JP0=m0，即

d( Γ, T ) = max{G A- m0,m1-JC}

其中 GA ,J C,m0,m1可以看成 a ,b ,p的函數(shù)。注意到p滿足的條件可寫成

有下面的結(jié)果。

定理 2 對(duì)任何0 ＜ b ≤ a，存在實(shí)數(shù) p*, p0＜ p* ＜ p1使

證明 可驗(yàn)證 f,g滿足以下性質(zhì)：

1） 函數(shù) f (p)在其定義域單調(diào)增加；

2） 函數(shù) g (p)在區(qū)間 ( p0,p1)單調(diào)減少；

3） f ( p1)＞ g(p1)，且當(dāng) p趨近 p0時(shí)，f( p )＜ g(p)。此處不詳列推導(dǎo)過程。

圖8畫出 a = 5, b=4時(shí)函數(shù) f,g 在區(qū)間p0=2.711…和p1=2.850…之間的圖形。 可知，此時(shí) p* ≈2.75相應(yīng)的 d ≈0.02123；而 p1相應(yīng)的d ≈0.02718。我們得到比畫法2的偏差更小的四心圓近似橢圓。

圖8 當(dāng) a = 5, b = 4時(shí)取 p* ≈2.75得到偏差最小的近似橢圓

圖9畫出當(dāng) a =1，0 ≤ b≤ 1時(shí) p0b, p *b,b, p1b的曲線。其中，p是 p*的一個(gè)回歸

圖9 曲線 p *(b)決定最佳近似橢圓， (b)為其擬合曲線

圖10 誤差曲線

圖10中的曲線自上而下是當(dāng) a =1， 0 ≤ b≤ 1時(shí) p1對(duì)應(yīng)的四心圓近似橢圓和,p*對(duì)應(yīng)的四心圓近似橢圓與精確橢圓的偏差。從圖中可以看出，取參數(shù)p=的近似橢圓的最大偏差接近最佳參數(shù) p*對(duì)應(yīng)的畫法的偏差，比畫法2有明顯降低。計(jì)算知，新畫法最大偏差小于0. 01145，發(fā)生在 b /a ≈0.28時(shí)。

從而可用于確定G和J的坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)新的四心圓畫法，而上述表達(dá)式中所涉及的運(yùn)算都是尺規(guī)作圖容易實(shí)現(xiàn)的。

3 結(jié) 論

本文顯示，原有的四心圓橢圓近似畫法有改進(jìn)的余地。新畫法可用手工實(shí)現(xiàn)。與畫法2一樣，新畫法作出的近似橢圓在4個(gè)頂點(diǎn)處的曲率有誤差。新畫法作出的近似橢圓，在大圓弧段和小圓弧段與精確橢圓的偏差相等，比畫法2的近似橢圓，有更多部分含在精確橢圓內(nèi)部，或許使之不適合用于數(shù)控機(jī)床加工橢圓形狀的零件?？捎妙愃品椒▽で笃畋M可能小的包含精確橢圓近似橢圓。

文獻(xiàn)[7]中，P. L. Rosin給出四心橢圓的改進(jìn)畫法。該結(jié)果用本文記號(hào)可表示為

文獻(xiàn)[8]給出計(jì)算機(jī)程序，對(duì)于給定的 a,b，通過調(diào)整 K1,K2,K3,K4的位置使得近似橢圓在大弧段和小弧段的誤差相等，從而可以得到更好的近似。文獻(xiàn)[9]根據(jù)圖形分析確定了四心圓弧擬合橢圓的定解區(qū)間，導(dǎo)出了擬合橢圓的四心圓弧法向誤差解析式，并根據(jù)法向誤差確定了四心圓弧擬合橢圓的最小誤差帶和最高擬合精度。本文通過回歸獲得的p是最佳四心圓橢圓的近似公式，在其它文獻(xiàn)中未見到。

文獻(xiàn)[10]介紹了一種八心近似橢圓畫法，可以保證近似橢圓經(jīng)過橢圓的4個(gè)頂點(diǎn)，并且在頂點(diǎn)處有正確的曲率半徑。關(guān)于用多段圓弧擬合橢圓的算法，還可參見文獻(xiàn)[1,11-12]。

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Approximating ellipse using four-arcs with the smallest error

Zeng Zhenbing1,2, Chen Liangyu1,2, Li Zhibin3, Chen Guangxi4
( 1. Software Engineering Institute, East China Normal University, Shanghai 200062, China; 2. Shanghai Key Lab of Trustworthy Computing, Shanghai 200062, China; 3. Computer Science & Technology School, East China Normal University, Shanghai 200062, China; 4. Department of Computing Science & Mathematics, Guilin University of Electronic Technology, Guilin Guangxi 541004, China )

The distance of equidistant curves is used to estimate the errors between an ellipse and the four-arcs which approximate the ellipse. An explicit expression of the errors and the semi-axes of the ellipse are established. A new method is proposed for approximating an ellipse by using of four-arcs with minimal error via symbolic computation and regression analysis. Our method is easy for drawing with ruler and compass and can be used in interpolation programming for the computerized Numerical Control lathes.

four-arcs; error analysis; ellipse; equidistant curve

TH 126

A

2095-302X (2013)01-0009-08

2011-08-08；定稿日期：2011-10-12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61021004）；上海市重點(diǎn)學(xué)科資助項(xiàng)目（B412）；上海自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11ZR1411500）

曾振柄（1963-），男，甘肅皋蘭人，教授，博士，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)機(jī)械化、定理機(jī)器證明。E-mail：zbzeng@sei.ecnu.edu.cn