回轉(zhuǎn)曲面的可展切曲面

毛 昕， 楊靜林， 馬明旭

（東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110004）

回轉(zhuǎn)曲面的可展切曲面

毛 昕， 楊靜林， 馬明旭

（東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110004）

論文系統(tǒng)地提出了構(gòu)造回轉(zhuǎn)曲面的可展切曲面及它們間映射分析的理論與方法，建立了回轉(zhuǎn)曲面可展切柱面和可展切錐面的數(shù)學(xué)模型以及曲面間的映射關(guān)系。根據(jù)回轉(zhuǎn)曲面及其可展切曲面間微分長(zhǎng)度比的理論分析，推出了映射中極值映射曲線和等距映射曲線的微分方程，通過(guò)整體和局部的變形分析，可以準(zhǔn)確地掌握回轉(zhuǎn)曲面與其可展切曲面間映射中的變形情況。

幾何計(jì)算；回轉(zhuǎn)曲面；可展切曲面；映射分析

工程應(yīng)用中，可展曲面的構(gòu)造和分析近年來(lái)得到越來(lái)越廣泛的關(guān)注和研究[1-4]。作者在前面的研究中，提出了曲面片的可展切曲面及其映射分析的理論和方法。對(duì)于曲面片Σ：r ( u, v)，沿其上任意曲線 Γ:r=r( u( t), v( t) ) =r( t)，存在一可展曲面 Σ1：r1( t, w) 沿曲線Γ與Σ相切，把 Σ1稱為Σ的可展切曲面[5-6]，其表達(dá)形式為

式中 l( t)為 Σ1特征線（直素線）方向的單位矢量，n( t )為Γ曲線上參數(shù)t處曲面的單位法矢?？烧骨星婕捌溆成浞治龅睦碚摵头椒梢栽谇娼Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、不可展曲面近似展開及誤差分析和紋理映射及變形控制等方面得到應(yīng)用[7]。在實(shí)際生產(chǎn)中，回轉(zhuǎn)曲面有著非常廣泛的應(yīng)用，因此，本文在已有研究的基礎(chǔ)上著重討論回轉(zhuǎn)曲面的可展切曲面，建立構(gòu)造回轉(zhuǎn)曲面的可展切曲面及其它們間映射分析的理論模型，并給出在近似展開及其變形分析中的應(yīng)用實(shí)例。

1 回轉(zhuǎn)曲面的可展切曲面

設(shè)回轉(zhuǎn)曲面由 xoz坐標(biāo)面上的曲線C:x=f( v), z=g( v)繞z軸旋轉(zhuǎn)而成，曲面的參數(shù)方程為rv={f′( v ) cosu,f′( v) sinu, g′( v)}，可得曲面上任意點(diǎn)處的單位法矢（當(dāng) f( v)≥ 0時(shí)，取上面符號(hào)；當(dāng) f( v) ＜ 0時(shí)，取下面符號(hào)）

1.1 Γ曲線為經(jīng)線時(shí)的可展切曲面

此時(shí)對(duì)于Γ曲線有：u=u0, v = t ，將其分別代入式（1）和式（2）得Γ曲線的方程

和Γ曲線上曲面的單位法矢

切曲面特征線方向的單位矢量

式中，當(dāng) f′( v ) g ′( v ) -f′(v ) g ′( v )≥ 0時(shí)，取上面符號(hào)，否則取下面符號(hào)。由式（4）可見(jiàn) l( t)為常矢量，說(shuō)明可展切曲面 Σ1沿 r( t)的各條直素線互相平行， Σ1一般為柱面。其方程為

1.2 Γ曲線為緯線時(shí)的可展切曲面

此時(shí)對(duì)于Γ曲線有：u=t, v=v0，將其分別代入式（1）和式（2）得Γ曲線的方程

和Γ曲線上曲面的單位法矢

切曲面特征線方向的單位矢量

由于特征線經(jīng)過(guò)緯線Γ，且由式（7）可見(jiàn)，l(t)在z軸上的分量為常數(shù)，說(shuō)明 l( t)與z軸有不變的夾角，所以 Σ1為圓錐面。其方程為

由上式可解得圓錐錐頂?shù)淖鴺?biāo)為

2 映射分析中的微分長(zhǎng)度比

在映射分析中，首先建立回轉(zhuǎn)曲面與其可展切曲面間的映射關(guān)系，之后通過(guò)整體映射關(guān)系分析兩曲面間參數(shù)曲線長(zhǎng)度的相對(duì)變化、對(duì)應(yīng)區(qū)域面積的相對(duì)變化和對(duì)應(yīng)參數(shù)曲線交角的相對(duì)變化；再通過(guò)局部映射關(guān)系分析對(duì)應(yīng)點(diǎn)處各方向上的微分長(zhǎng)度比，并進(jìn)而獲得曲面映射中的最大、最小長(zhǎng)度相對(duì)變化曲線（極值映射曲線）和長(zhǎng)度不變的曲線（等距映射曲線）。

2.1 回轉(zhuǎn)曲面的微分長(zhǎng)度比

微分長(zhǎng)度比定義為對(duì)應(yīng)點(diǎn)處沿某方向微分長(zhǎng)度（弧素）的比值，即：

微分長(zhǎng)度比

式中，ds和ds1分別為曲面∑ 和∑1在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的微分弧長(zhǎng)，E、F、G和E1、F1、G1分別為兩曲面的第一基本量，由上式可見(jiàn)，長(zhǎng)度比是曲面上點(diǎn)(u ,v)和切方向(dv/du)的函數(shù)。

對(duì)于回轉(zhuǎn)曲面，微分長(zhǎng)度比可以用方向角β來(lái)表示。圖1中的ABCD為曲面在點(diǎn)A(,)u v處的微分單元，β為點(diǎn)A處的切方向(d/dv u)與緯線切向的夾角。容易看出：

圖1 回轉(zhuǎn)曲面的微分單元

將式（10）和回轉(zhuǎn)曲面的第一基本量E=f2(v), F=0,G=f′2(v) + g ′2(v)代入公式（9）并整理有：

2.2 特殊方向的微分長(zhǎng)度比

2.2.1 微分長(zhǎng)度比取極值的方向

在式（11）中，把2μ對(duì)β求偏導(dǎo)并令其等于零，有=(C - A) sin2β+ 2B cos2β=0

代入式（10）并整理，有

上式即為極值映射曲線的微分方程式，兩個(gè)解分別對(duì)應(yīng)映射中變形最大和最小的兩族曲線，曲線上任一點(diǎn)的切矢方向是該點(diǎn)處微分長(zhǎng)度比取極值的方向。

2.2.2 微分長(zhǎng)度比等于1的方向

在該方向上兩曲面的微分長(zhǎng)度相同，沒(méi)有長(zhǎng)度變化。令式（11）等于1，即

μ2=A cos2β+ Bsin2β + C sin2β=1可解得

將其代入式（10）并整理，有

上式即為等距映射曲線的微分方程式，兩個(gè)解分別對(duì)應(yīng)曲面映射中長(zhǎng)度沒(méi)有發(fā)生變化的兩族曲線，該曲線上任意點(diǎn)的切矢方向是該點(diǎn)處微分長(zhǎng)度比等于1的方向。

3 回轉(zhuǎn)曲面與其可展切曲面間的映射

3.1 回轉(zhuǎn)曲面與其可展切柱面間的映射

這時(shí)Γ曲線為回轉(zhuǎn)曲面的經(jīng)線，切曲面為柱面。如圖2所示，回轉(zhuǎn)曲面Σ中的點(diǎn)A映射為切柱面 Σ1中同緯度直素線上的點(diǎn) A1，取Γ曲線的u 向參數(shù)為 U，并 取參數(shù)變換 t =v, w =f (v)tan(u- U)，將其代入式（5），便得到以 u, v為參數(shù)的 Σ1的方程

圖2 切柱面的映射關(guān)系

由式（14）可得切柱面 Σ1的第一基本量

將其代入式（12），得到極值映射曲線的微分方程

式中：

再將切柱面 Σ1的第一基本量代入式（13），便得到等距映射曲線的微分方程

3.2 回轉(zhuǎn)曲面與其可展切錐面間的映射

這時(shí)Γ曲線為回轉(zhuǎn)曲面的緯線，切曲面為圓錐面。如圖3所示，回轉(zhuǎn)曲面Σ中的點(diǎn)A映射為切錐面 Σ1中同經(jīng)度直素線上的點(diǎn) A1，其中AA1⊥ CD。取變換

并將其代入式（8），便得到 u, v為參數(shù)的 Σ1方程：

式中：

由式（17）可得切錐面的第一基本量：E1=(f( v0) + ab( v ))2， F1=0，，由于 F1=0，根據(jù)極值映射曲線的微分方程式（12）可知，若d v=0,v=常數(shù)，即u曲線；若d u=0,u=常數(shù)，即v曲線。兩族參數(shù)曲線即為映射中的極值映射曲線。

再將切錐面的第一基本量代入式（13），便得到等距變換曲線的微分方程

4 可展切曲面在環(huán)面片近似展開中的應(yīng)用

下面以環(huán)面片為例說(shuō)明回轉(zhuǎn)曲面的可展切曲面在近似展開及其變形分析中的應(yīng)用，這里把環(huán)面片用其可展切柱面進(jìn)行替代來(lái)近似展開。

對(duì)于圓環(huán)面有：f( v) =R + r cosv，g( v)=r sinv，由式（1）可得圓環(huán)面的方程r(u, v)={(R+rcosv) cosu,( R + rc osv) sinu, rs in v}由式（14）得其切柱面的方程

環(huán)面的第一基本量：E=(R + r cosv)2，F(xiàn)=0，G=r2。

切柱面的第一基本量：

環(huán)面片取邊界條件 [u1, u2]=[0°, 20°] ,[v1, v2]=[30°, 150°],Γ 曲線的 u 向參數(shù)U=10°。環(huán)面的半徑 R=40，母線圓半徑r=20。

4.1 環(huán)面片的展開

把切柱面映射到平面上，得到展開圖的方程：

代入邊界條件后的展開圖如圖4所示。

圖4 環(huán)面片的展開圖

4.2 變形分析

4.2.1 整體變形分析

通過(guò)環(huán)面和其切柱面的第一基本量，分別計(jì)算它們的經(jīng)線長(zhǎng)度、緯線長(zhǎng)度、曲面片面積和參數(shù)曲線交角，進(jìn)而得出相對(duì)經(jīng)線長(zhǎng)度變化 δLv、相對(duì)緯線長(zhǎng)度變化 δLu、相對(duì)面積變化 δS 和相對(duì)參數(shù)曲線交角變化 δA 。圖 5 是當(dāng)u1=0,U=u2/2 時(shí)緯線長(zhǎng)度和面積的相對(duì)變化情況，它們具有相同的變化值，并隨參數(shù) u2的增大快速增加。由圖6可見(jiàn)，當(dāng)u=U時(shí)，經(jīng)線長(zhǎng)度變化為零，兩曲面沿該經(jīng)線相切；經(jīng)度離此越遠(yuǎn)，經(jīng)線長(zhǎng)度的相對(duì)變化也越大。圖7為參數(shù)曲線交角的相對(duì)變化曲線，當(dāng)u=U時(shí)，交角的相對(duì)變化為零；當(dāng)參數(shù)v固定時(shí)，隨參數(shù)u的減小， δA 約呈線性趨勢(shì)增加；在參數(shù)u=U的兩端，δ A 為對(duì)稱分布，即有 δA ( u, v0)=δA ( u2-u, v0)。

圖5 緯線長(zhǎng)度和面積相對(duì)變化

圖6 經(jīng)線長(zhǎng)度相對(duì)變化曲線

圖7 參數(shù)曲線交角的相對(duì)變化曲

4.2.2 局部變形分析

把 f( v)=R + r cos v 、g ( v)=r sinv和切柱面的第一基本量代入公

式（11），得到映射中的微分長(zhǎng)度比

式中

圖8和圖9分別為由上式得到的u = 5°,v = 45°、90°、135°和u = 15°,v = 45°、90°、135°時(shí)的μ- β曲線，由公式和圖可知：

1）μ( u, v, β) =μ( u, v ,180°+ β)，即在一點(diǎn)處隨著方向角β的變化，μ是以π為周期的周期函數(shù)。

2） 隨著方向角β變化一周，μ四次取得極值，如圖8中v = 90°的曲線，μ在極值方向角β等于43.7476°和223.7476°時(shí)取最大值1.0487；在133.7476°和313.7476°時(shí)取最小值0.9609，極值方向角對(duì)應(yīng)著過(guò)該點(diǎn)的極值映射曲線的切矢方向，各極值方向角間相隔90°。

3） 隨著方向角β變化一周，μ四次取 1值，如圖8中v = 90°的曲線，μ在方向角β為92.4630°、175.0000°、272.4630°和355.0000°時(shí)等于 1，4個(gè)等距方向角對(duì)應(yīng)著過(guò)該點(diǎn)的等距映射曲線的切矢方向。

4）μ( u, v, β)=μ( u ,180°- v,β)，如圖中v=45°與 v=135°的曲線重合，即μ在 v向參數(shù)對(duì)稱于 π /2時(shí)具有相同的值。

5）μ( u, v, β) =μ( 20°- u, v ,180°- β)，如圖中 μ(5°, 90°,0°) =μ(15°, 90°, 180°) =1.0077，即μ在 u向參數(shù)和方向角β均對(duì)稱于Γ曲線(u=U=10°)時(shí)具有相同的值。

圖8 u=5°時(shí)的微分長(zhǎng)度比

圖9 u=15°時(shí)的微分長(zhǎng)度比

圖10和圖11是由公式（15）和公式（16）得到的過(guò)點(diǎn)u = 5°和20°，v =30°、50°、…、150°的極值和等距映射曲線。由圖10，圖11可見(jiàn)，過(guò)每點(diǎn)分別各有兩條極值映射曲線和等距映射曲線。根據(jù)一點(diǎn)處微分長(zhǎng)度比的變化，圖 10中向上傾斜的為最大變形曲線，向下傾斜的為最小變形曲線，分別對(duì)應(yīng)著該點(diǎn)處最大和最小微分長(zhǎng)度比的方向；圖 11中過(guò)各點(diǎn)的兩條等距映射曲線在展開時(shí)長(zhǎng)度不發(fā)生變化，它們對(duì)應(yīng)著該點(diǎn)處微分長(zhǎng)度比等于1的方向。圖12為把極值映射曲線和等距映射曲線變換到環(huán)面上的情形。

圖10 極值映射曲線

圖11 等距映射曲線

圖12 環(huán)面上的極值和等距曲線

圖13 S rδ - 曲線和校正后的展

由上面分析可見(jiàn)，曲面展開后緯線和經(jīng)線長(zhǎng)度都變長(zhǎng)（因各點(diǎn)在0°和90°的微分長(zhǎng)度比均大于1），導(dǎo)致展開后面積增大；緯線長(zhǎng)度的相對(duì)變化與參數(shù)v（即緯度）無(wú)關(guān)，且與面積的相對(duì)變化等值，當(dāng)u2=20°時(shí)為0.0103；經(jīng)線長(zhǎng)度的相對(duì)變化在u=20°時(shí)也達(dá)到0.0109，因而在用切柱面片對(duì)環(huán)面片進(jìn)行替代時(shí)，經(jīng)度方向不易取過(guò)大的范圍，以減小展開誤差。

以上分析為展開樣板的矯正提供了依據(jù)，可采用形狀與面積并行矯正，形狀矯正為主、面積矯正為輔的策略：首先矯正緯線長(zhǎng)度，使各緯線長(zhǎng)度變化為零，由于面積相對(duì)變化只與緯向參數(shù)相關(guān)，所以緯線校正后，面積相對(duì)變化也趨向于零；然后再進(jìn)行經(jīng)線的矯正，把各緯線由平行線矯正為同心圓弧，各弧長(zhǎng)等于相應(yīng)緯線實(shí)長(zhǎng)，大、小端圓弧的半徑差等于經(jīng)線實(shí)長(zhǎng)，經(jīng)線矯正會(huì)引起面積相對(duì)變化值的改變，形成面積相對(duì)變化與同心圓半徑間的函數(shù)關(guān)系；最后根據(jù)這個(gè)函數(shù)關(guān)系，在合理控制面積相對(duì)變化值的情況下確定同心圓半徑，從而完成展開樣板的矯正。圖 13是面積相對(duì)變化與大端圓弧半徑r間的關(guān)系曲線和校正后的展開圖，其面積相對(duì)變化值取為負(fù)0.001，這時(shí)大端圓弧半徑為166.9680mm。

5 結(jié) 束 語(yǔ)

在上面的論述中，系統(tǒng)地提出了構(gòu)造回轉(zhuǎn)曲面的可展切曲面及它們間映射分析的理論與方法，建立了回轉(zhuǎn)曲面可展切柱面和可展切錐面的數(shù)學(xué)模型，建立了它們間的映射關(guān)系，基于提出的回轉(zhuǎn)曲面及其可展切曲面間微分長(zhǎng)度比的理論分析，推出了映射中極值映射曲線和等距映射曲線的微分方程，通過(guò)整體和局部的變形分析，可以準(zhǔn)確地掌握回轉(zhuǎn)曲面與其可展切曲面間映射中的變形情況。這些理論和方法可以在曲面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、不可展曲面近似展開及其誤差分析和紋理映射及其變形控制等方面得到應(yīng)用，同時(shí)對(duì)于曲面間映射分析的其他場(chǎng)合也有一定的借鑒、推廣價(jià)值。

[1] 孟雅琴. 可展曲面的構(gòu)造與插值研究[M]. 上海:上海交通大學(xué)出版社, 2010:3-25.

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[3] Chalfant J S, Maekawa T. Design for manufacturing using B-spline developable surface [J]. Journal of Ship Research, 1998, 42(3):207-215.

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[7] 丁 森. 不可展曲面近似展開中若干問(wèn)題的研究[D].沈陽(yáng):東北大學(xué), 2011.

Developable Tangent Surface of Rotary Surface

Mao Xin, Yang Jinglin, Ma Mingxu
( Northeast University Mechanical Engineering and Automation School , Shenyang Liaoning 110004, China )

The general theory and method to construct the developable tangent curved surface of rotary surface and mapping analysis between them are put forward systematically, the mathematical model and mapping relationship of the developable tangent cylinder and developable tangent cone of rotary surface are established. The differential equations of the extreme value mapping curve and equidistant mapping curve are put forward according to the theory of differential length ratio between the rotary surface and its developable tangent curved surface. The deformation of mapping will be grasped accurately by the whole and local deformation analysis.

geometry calculation; rotary surface; developable tangent curved surface; mapping analysis

TB 21

A

2095-302X (2013)02-0065-07

2012-04-23；定稿日期：2012-05-07

毛 昕（1954-），男，吉林長(zhǎng)春人，教授，碩士，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)圖形學(xué)及輔助設(shè)計(jì)、理論與應(yīng)用圖學(xué)。E-mail：ddmx54@sina.com