一種改進(jìn)的Montgomery階梯算法及其實(shí)現(xiàn)

袁仕繼，李博章，孫慧慧，張廣吉

（中國人民解放軍63888部隊(duì)，河南 濟(jì)源454650）

大數(shù)模冪運(yùn)算在Diffie-Hellman和RSA系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用[1]。所謂模冪運(yùn)算，就是已知大數(shù)a、x、m，求解ax（mod m）。這里的a、x、m一般為幾百比特甚至上千比特的大整數(shù)，m一般為素?cái)?shù)，因此在此過程中需要做大量的乘法運(yùn)算和模運(yùn)算（即除法運(yùn)算）。在計(jì)算機(jī)運(yùn)行處理過程中，乘法運(yùn)算是很耗時(shí)的運(yùn)算，而除法運(yùn)算更是乘法的幾倍之多。因此，在計(jì)算ax（mod m）的過程中，如何減少乘法，尤其是模運(yùn)算的次數(shù)便成為提高模冪運(yùn)算速度的關(guān)鍵。參考文獻(xiàn)[2]對常用算法進(jìn)行了分析和總結(jié)。

經(jīng)典Montgomery[3]階梯算法是將模運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算和移位運(yùn)算，從而避免計(jì)算模運(yùn)算，在RSA[4]和ECC[5]中得到廣泛應(yīng)用。在該算法中執(zhí)行運(yùn)算的次數(shù)等于冪的二元進(jìn)制長度，且平方運(yùn)算是每步都要執(zhí)行，僅當(dāng)冪為1時(shí)才執(zhí)行乘法運(yùn)算[6]。這種在不同步中運(yùn)算數(shù)量的差異導(dǎo)致系統(tǒng)易受邊道攻擊[7]。在Diffie-Hellman和RSA系統(tǒng)中的模冪運(yùn)算中，冪為其密鑰。一個(gè)成功的SCA攻擊可以計(jì)算模冪運(yùn)算的冪，從而導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)密鑰的丟失。本文利用循環(huán)展開技術(shù)，將兩個(gè)循環(huán)同時(shí)進(jìn)行并行處理，提高了運(yùn)算速度和效率。同時(shí)，根據(jù)Montgomery階梯算法原理，設(shè)計(jì)了該算法的硬件實(shí)現(xiàn)。

1 Montgomery階梯算法

1.1 經(jīng)典Montgomery階梯算法

算法1描述的過程即為經(jīng)典Montgomery階梯算法流程。

由該算法可知，將一次平方運(yùn)算認(rèn)為是一次乘法運(yùn)算，可以完成一次求冪運(yùn)算，經(jīng)典MPL算法至少將運(yùn)用2logk次乘法運(yùn)算，而平方乘的平均運(yùn)算量達(dá)到3/2logk。參考文獻(xiàn)[8]指出MPL算法支持并行運(yùn)算，用一個(gè)雙核處理器，在同一時(shí)鐘內(nèi)將乘法運(yùn)算和平方運(yùn)算同時(shí)進(jìn)行，運(yùn)算速度將提高一倍?；谝陨峡紤]，本文將設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)一種經(jīng)典Montgomery階梯算法。

1.2 MPL算法的快速實(shí)現(xiàn)

算法1的快速實(shí)現(xiàn)如圖1所示，變量R0和R1分別初始化為1和M，分別存儲在存儲器R0和R1中。設(shè)R0和R1可存儲大數(shù)Mk。指數(shù)k存儲在二進(jìn)制移位寄存器中，該寄存器每次循環(huán)左移一位。算法硬件實(shí)現(xiàn)還包括一個(gè)模乘法器、模平方單元、一個(gè)混合器和一個(gè)2×2正交變換器。

圖1 MPL快速實(shí)現(xiàn)（算法1）

假設(shè)模數(shù)M有m比特，存儲器R0和R1可存儲至少m比特。模乘法器和模平方單元輸入、輸出都為m比特。移位寄存器的輸出值ki決定混合器的輸出，輸出值為混合器輸入兩個(gè)m比特值中的一個(gè)。

圖2是圖1中2×2正交變換器的實(shí)現(xiàn)示意圖。它利用兩個(gè)混合器實(shí)現(xiàn)如下變換：

If E=0，then C=A，D=B

If E=1，then D=A，C=B

圖2 2×2正交變換器

設(shè)計(jì)工作原理如下：首先，將R0和R1分別初始化為1和M。在第j（j=0，1，2，…，n-1）輪循環(huán)，指數(shù)中比特kn-1-j是移位寄存器最左邊的比特，由它控制混合器運(yùn)算和2×2正交變換。如果kn-1-j=0，則由R0輸出R0，并作乘法運(yùn)算和平方運(yùn)算，其中，平方運(yùn)算生成R0；如果kn-1-j=1，則由R1輸出R1，并作乘法運(yùn)算和平方運(yùn)算，其中，平方運(yùn)算生成R1。

2×2正交變換器工作原理：在第j（j=0，1，2，…n-1）輪循環(huán)，如果kn-1-j=0，即控制端輸入E=1，變換表現(xiàn)為交叉關(guān)系，這時(shí)乘法器和平方單元的輸出分別輸入R0和R1中；如果kn-1-j=1，即控制端的輸入為E=0，變換表現(xiàn)為平行關(guān)系，這時(shí)乘法器和平方單元的輸出分別為R0和R1中。

在第j（j=0，1，2…，n-1）輪循環(huán)中，運(yùn)行算法1中i=j的步驟。進(jìn)行n輪循環(huán)后，存儲器R0中的值即為C=Mk。

設(shè)計(jì)包含了一個(gè)模乘法運(yùn)算，一個(gè)模平方運(yùn)算，3個(gè)混合運(yùn)算和2個(gè)存儲器過程。算法時(shí)間復(fù)雜度為：

從圖2中可以看出，2×2正交變換等價(jià)于一個(gè)混合器。由于是對大數(shù)的運(yùn)算，可以認(rèn)為Tmultiplier>>Tsquarer，則一次循環(huán)耗時(shí)T=Tmultiplier+Tmux。整個(gè)模冪運(yùn)算耗時(shí)nT=n（Tmultiplier+Tmux）。

2 一種改進(jìn)的MPL算法及實(shí)現(xiàn)

2.1 一種改進(jìn)的MPL算法

經(jīng)典MPL算法是從k2的最高位循環(huán)到最低位，而且是單位循環(huán)。為了提高運(yùn)算速度，需對經(jīng)典MPL算法進(jìn)行改進(jìn)。將循環(huán)展開技術(shù)應(yīng)用于MPL算法，并將兩個(gè)循環(huán)合并，得到如下改進(jìn)算法：

以上算法與M-ary算法中為m=4的情況類似。

2.2 改進(jìn)MPL算法的實(shí)現(xiàn)

實(shí)現(xiàn)算法2的設(shè)計(jì)如圖3所示。變量R0和R1分別初始化為1和M，存儲在存儲器R0和R1中。設(shè)R0和R1可存儲大數(shù)N-1（N為模數(shù)）。

如圖4所示，二進(jìn)制指數(shù)k存儲在移位寄存器中。n為偶數(shù)時(shí)，寄存器K有n比特，k2m+1=kn-1，即m=n/2-1；n為 奇數(shù)時(shí)，寄存器K有n+1比特，k2m=kn-1，即m=（n-1）/2。寄存器K每循環(huán)一次，有兩個(gè)比特輸出。一個(gè)比特用來控制圖3上方的混合器和2×2的正交變換；另一個(gè)比特用來控制圖3下方的混合器和2×2正交變換。除寄存器外，改進(jìn)MPL設(shè)計(jì)還包括兩個(gè)乘法器，兩個(gè)平方單元，兩個(gè)混合器和兩個(gè)2×2正交變換。

這種設(shè)計(jì)可以分成上下兩部分。兩部分結(jié)構(gòu)都與圖1結(jié)構(gòu)類似。不同之處在于，上方部分2×2正交變換的輸出分別為下方部分乘法器和平方單元的輸入。

分析該算法的實(shí)現(xiàn)，算法時(shí)間復(fù)雜度為：

T=max{2TMultiplier+2T2×2，Tmultiplier+Tsquarer+2T2×2+Tmux，2Tsquarer+2T2×2+2Tmux}

完成模冪運(yùn)算需要m+1=（n+1）/2個(gè)循環(huán)，則整個(gè)運(yùn)算耗時(shí)（M+1）T。

圖3 改進(jìn)MPL快速實(shí)現(xiàn)（算法2）

圖4 移位寄存器

大數(shù)模冪運(yùn)算是公約密碼體質(zhì)研究的熱點(diǎn)內(nèi)容之一。本文結(jié)合經(jīng)典Montgomery階梯算法能并行處理的特點(diǎn)，首先設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)出經(jīng)典Montgomery階梯算法；然后結(jié)合循環(huán)展開技術(shù)，提出了一種改進(jìn)Montgomery階梯算法，設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了該算法。分析表明，該方法能將經(jīng)典Montgomery階梯算法的循環(huán)次數(shù)降低一半，使得該算法能在ECC和其他領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

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