用粒子群算法校正三片鏡系統(tǒng)的像差(特邀)

秦 華，韓克禎，類成新

(山東理工大學(xué)理學(xué)院，山東淄博255049)

1 引言

現(xiàn)代光學(xué)設(shè)計(jì)軟件廣泛采用阻尼最小二乘法，但是這種方法設(shè)計(jì)出來(lái)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)一般都是評(píng)價(jià)函數(shù)在結(jié)構(gòu)變量空間的局部最優(yōu)解。除此之外，這種設(shè)計(jì)過(guò)分依賴于原始結(jié)構(gòu)，如果原始結(jié)構(gòu)選擇不合適，很有可能達(dá)不到優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的，這就要求設(shè)計(jì)者具有非常豐富的經(jīng)驗(yàn)。鑒于此，科學(xué)家不斷地尋求光學(xué)自動(dòng)設(shè)計(jì)的新方法，以解決過(guò)分依賴于系統(tǒng)原始結(jié)構(gòu)并實(shí)現(xiàn)全局尋優(yōu)的問(wèn)題，如文獻(xiàn)［1］～［5］。這些方法在不同程度上或者實(shí)現(xiàn)了全局最優(yōu)［1-4］，或者不再依賴于系統(tǒng)原始結(jié)構(gòu)［5］，但這些算法或由于耗用時(shí)間隨變量數(shù)量的增加而呈指數(shù)性增長(zhǎng)，或由于隨機(jī)抽樣而容易得到一些無(wú)法實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)(如出現(xiàn)負(fù)邊、負(fù)中心厚度等)等缺點(diǎn)，并沒(méi)有在光學(xué)自動(dòng)設(shè)計(jì)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)是基于群智能(Swarm Intelligence)的隨機(jī)優(yōu)化算法，已廣泛應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、模式識(shí)別、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練、模糊系統(tǒng)控制以及其他的應(yīng)用領(lǐng)域。PSO在多維空間函數(shù)尋優(yōu)、動(dòng)態(tài)目標(biāo)尋優(yōu)等方面具有收斂速度快、解質(zhì)量高、魯棒性好等優(yōu)點(diǎn)，特別適合工程應(yīng)用［6-8］。文獻(xiàn)［9］利用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行膜系設(shè)計(jì)，在相同設(shè)計(jì)條件下，可以得到比遺傳算法更優(yōu)的膜系結(jié)構(gòu);文獻(xiàn)［10］用粒子群優(yōu)化算法對(duì)二元相位取樣光柵進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)多信道色散和色散斜率的同時(shí)補(bǔ)償;文獻(xiàn)［11］用改進(jìn)的粒子群算法對(duì)光子晶體光纖的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了成功優(yōu)化;文獻(xiàn)［12］使用粒子群優(yōu)化算法對(duì)影響由摻鉺光纖放大器(EDFA)和光纖拉曼放大器(FRA)構(gòu)成的寬帶混合放大器性能的參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化組合。

文獻(xiàn)［13-14］首次將粒子群優(yōu)化算法用于球面及非球面像差的自動(dòng)校正，并對(duì)校正方法和結(jié)果進(jìn)行了有益的探索性研究。本文在文獻(xiàn)［13-14］的基礎(chǔ)上進(jìn)一步把粒子群算法引入到更多的像差自動(dòng)校正和光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，同時(shí)把任意位置的孔徑光闌和漸暈系數(shù)等設(shè)計(jì)要素也引入到算法程序中。

自從粒子群算法誕生以來(lái)，該算法的各種變種以及該算法同其它優(yōu)化算法的各種混合不斷涌現(xiàn)，但是基本的內(nèi)核并沒(méi)有多大的變化。本文把文獻(xiàn)［15］的算法引入到更加復(fù)雜的光學(xué)系統(tǒng)自動(dòng)設(shè)計(jì)中，是一項(xiàng)有益的探索性工作。

2 粒子群優(yōu)化算法模型

考慮全局優(yōu)化問(wèn)題(P):

min{f(x)∶x∈Ω?RD}，f∶Ω?RD→R1，

問(wèn)題(P)的每個(gè)可能解稱為一個(gè)粒子(particle)，多個(gè)粒子集合成一個(gè)種群(swarm)，種群中粒子的個(gè)數(shù)稱為種群規(guī)模(size)。第i個(gè)粒子在D維空間的位置用向量Xi=(xi1，xi2，…，xiD)來(lái)表示，其速度用 vi=(υi1，υi2，…υiD)來(lái)表示。在搜索空間，每個(gè)粒子自身所經(jīng)歷的最佳位置記為Pi=(pi1，pi2，…piD)，稱為 Pbest。種群中所有粒子經(jīng)歷過(guò)的最佳位置用Gbest表示，粒子在每一代中的速度和位置通過(guò)如下兩個(gè)公式計(jì)算［16］:

慣性權(quán)重w粒子保持運(yùn)動(dòng)慣性，有擴(kuò)展搜索空間的趨勢(shì)。w大則算法具有較強(qiáng)的全局搜索能力，w小則算法傾向于局部搜索。典型做法是采用線性遞減慣性權(quán)重，將w初始值設(shè)為0.9并使其隨進(jìn)化代數(shù)的增加線性遞減至0.1，以期使算法先采用全局搜索，使搜索空間快速收斂于某區(qū)域，然后采用局部的精細(xì)搜索。通常權(quán)重函數(shù)w由下式確定:

式中，wini和wend分別是初始慣性權(quán)重和進(jìn)化至最大代數(shù)時(shí)的慣性權(quán)重;iter、itermax分別是當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)和最大進(jìn)化代數(shù)。

3 用于光學(xué)系統(tǒng)像差校正的粒子群算法

根據(jù)上述粒子群算法模型，將被優(yōu)化的光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)看作一個(gè)粒子，粒子的位置和速度根據(jù)某些條件隨機(jī)初始化生成，粒子位置矢量維數(shù)和速度矢量維數(shù)N由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)變量決定。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)包括系統(tǒng)中每個(gè)球面半徑或者非球面頂點(diǎn)半徑r、系統(tǒng)中各鏡面之間的距離d、透鏡材料的折射率以及非球面方程中各高次項(xiàng)系數(shù)等。下面是粒子群算法實(shí)現(xiàn)光學(xué)自動(dòng)設(shè)計(jì)的具體步驟。

(1)將粒子群位置和速度初始化

首先確定粒子位置范圍，即位置的搜索范圍，這個(gè)搜索范圍要根據(jù)系統(tǒng)中透鏡的形狀大體設(shè)定，為了找到更好的解，也可以反復(fù)地修改這個(gè)搜索范圍。其次確定粒子飛行速度的最大值vmax和最小值vmin。vmax不能太大，不能一次飛行就能從搜索范圍的一端飛出搜索范圍的另一端，vmax太大，還可能使得粒子飛過(guò)好的解;當(dāng)然粒子的速度也不能太小，太小會(huì)導(dǎo)致粒子搜索速度太慢，或是被局部最優(yōu)解所吸引，無(wú)法找到好的解。所以速度最大值和最小值要根據(jù)搜索范圍確定。

(2)適應(yīng)度函數(shù)Φ(fitness function)

光學(xué)設(shè)計(jì)中的光學(xué)評(píng)價(jià)函數(shù)(Merit Function，MF)Φ(Xi)=被用作粒子群算法中的適應(yīng)度函數(shù)，式中ΔFi為系統(tǒng)實(shí)際像差與目標(biāo)值的差，即實(shí)際的像差殘量，qi是權(quán)重系數(shù)。系統(tǒng)實(shí)際像差包括光學(xué)系統(tǒng)的各種幾何像差或波像差，也包括某些近軸光學(xué)的特性參數(shù)，如共軛距Lconj(物像平面間的距離)、像距l(xiāng)'、焦距f'、鏡筒長(zhǎng)TL(第一面到像面的距離)、系統(tǒng)總長(zhǎng)OL(第一面到最后一面的距離)、玻璃總厚度最大值GLmax、全視場(chǎng)主光線在出瞳面上的投射高、出瞳距、最大離焦量等，甚至包括正透鏡的邊緣厚度和負(fù)透鏡的中心厚度等。適應(yīng)度函數(shù)提供了每個(gè)粒子及每一代粒子群的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，依靠這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)可以找出每一代及所有各代的最佳粒子。

(3)依據(jù)適應(yīng)度函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，計(jì)算出群體中每一粒子的適應(yīng)度值，找出每一粒子到目前為止搜尋過(guò)程中的個(gè)體最佳解Pbest和整體最佳解Gbest。

(4)依據(jù)式(1)與式(2)對(duì)每一粒子的速度和位置進(jìn)行更新。之后再回到步驟(3)，如此往復(fù)迭代，直到符合設(shè)定的中止條件為止。

4 設(shè)計(jì)實(shí)例

選擇三片鏡作為應(yīng)用粒子群算法校正像差的實(shí)例，其流程如第3部分所述。三片鏡的光學(xué)特性參數(shù)如下:

物距:物平面位于無(wú)限遠(yuǎn)，L=∞，視場(chǎng)角:2ωmax=50°，光束孔徑:H=6.25(入瞳上最大入射高h(yuǎn)max=6.25)，孔徑光闌:位于系統(tǒng)中第3面上，漸暈系數(shù):K+=1，K-=-1，即沒(méi)有漸暈。目標(biāo)像距l(xiāng)'=44.8307。以上及后文中有關(guān)長(zhǎng)度的物理量單位相同。

三片鏡的大體形狀為:第一片鏡為雙凸透鏡，第二片為雙凹透鏡，第三片為凹凸透鏡，孔徑光闌在第一片和第二片之間，因此共有7個(gè)面。把第一個(gè)至第七個(gè)面的曲率半徑r搜索范圍分別設(shè)定在［15，50］、［-80，-50］、［inf，inf］、［-30，-10］、［15，50］、［-240，-180］、［-30，-10］。三片鏡各鏡面之間的距離d的搜索范圍可以根據(jù)實(shí)際情況分別設(shè)定為［3，8］、［1，3］、［0.5，3］、［1，5］、［1，5］、［3，8］，也可以根據(jù)數(shù)學(xué)計(jì)算設(shè)定厚度搜索范圍，以保證正透鏡的邊緣厚度和負(fù)透鏡的中心厚度不出現(xiàn)負(fù)數(shù)。玻璃材料一定，不作為變量參加像差校正。表1為設(shè)定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的搜索范圍及所用玻璃材料的折射率。nD、nF和nC分別表示黃光、藍(lán)光和紅光的折射率。校正從t1hmax，…，至t5hmax5個(gè)入射點(diǎn)處的五個(gè)球差，這里 t1=1.0，t2=0.85，t3=0.707 1，t4=0.5，t5=0.3。像距(系統(tǒng)最后一面到理想像面的距離)作為廣義的像差同5個(gè)球差一起進(jìn)行優(yōu)化。系統(tǒng)所要達(dá)到的像差目標(biāo)值和公差如下:球差δL'，目標(biāo)值為0，公差為-0.1。像距的目標(biāo)值為44.830 7，公差為 0。自變量 12 個(gè):r1，r2，r4，r5，r6，r7，d1，d2，d3，d4，d5，d6，這 12 個(gè)自變量構(gòu)成粒子位置矢量即，Xi=(x1，x1，…xN)=(r1，r2，r4，r5，r6，r7，d1，d2，d3，d4，d5，d6)。r3是平面孔徑光闌，為固定值。每一個(gè)位置矢量的最大值與最小值之差作為粒子的最大速度，使粒子處在最大速度與負(fù)最大速度之間。

表1 三片鏡系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的搜索范圍Tab.1 Scopes for structural parameters of the three-lens system

對(duì)于一般尋優(yōu)，種群中的粒子數(shù)在10～30即可，較為復(fù)雜的尋優(yōu)，種群中的粒子數(shù)可以適當(dāng)增加［17］。在大多數(shù)情況下，種群數(shù)越大，適應(yīng)度值收斂的速度越快。

根據(jù)以上設(shè)定的粒子群位置和速度搜索范圍，取進(jìn)化代數(shù)500，學(xué)習(xí)因子c1=c2=2，在Intel(R)Core(TM)i5-2300 CPU 2.8GHz，4G 內(nèi)存的聯(lián)想PC上運(yùn)行粒子群優(yōu)化算法程序約2 min就會(huì)得到優(yōu)化結(jié)果。表2記錄了一次運(yùn)行結(jié)果，得到了三片鏡系統(tǒng)的r和d數(shù)值，表3記錄了待優(yōu)化目標(biāo)球差和像距的優(yōu)化后數(shù)值。從表3中所列出的數(shù)值可以看到，5個(gè)球差都已達(dá)到公差要求，像距與目標(biāo)值像差僅為0.051 5。圖1是表2數(shù)據(jù)的光路圖，圖中1表示孔徑光闌，2表示入瞳(下同)。

圖1 用PSO算法校正球差后的光路圖(圖中的數(shù)值表示相應(yīng)的評(píng)價(jià)函數(shù)值)Fig.1 Optical path layout of the three-lens system after correcting spherical aberrations(with numbers indicating corresponding merit function values)

表2 校正球差后的三片鏡系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 Structural parameters of the three-lens system after correcting spherical aberrations

表3 校正球差后的三片鏡系統(tǒng)的球差及像距Tab.3 Spherical aberrations and image distance of the three-lens system after correcting spherical aberrations

從圖1中可以看到，此三片鏡系統(tǒng)全視場(chǎng)的子午場(chǎng)曲很大。表4列出了全視場(chǎng)的D光子午場(chǎng)曲，表5列出了全視場(chǎng)的D光子午光線彌散范圍。從這兩個(gè)表可以看出，子午場(chǎng)曲和光線彌散范圍都很大，都需要校正。為了說(shuō)明應(yīng)用PSO校正像差的靈活性和實(shí)用性，下面先把子午場(chǎng)曲加入到適應(yīng)度函數(shù)中進(jìn)行像差校正，然后再把子午光線彌散值加入到適應(yīng)度函數(shù)中進(jìn)行像差校正。

把 1.0ωmax視 場(chǎng) 的 ± 1.0hmax、± 0.85hmax、±0.707 1hmax、±0.5hmax、±0.3hmax處的子午場(chǎng)曲加入到適應(yīng)度函數(shù)中，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的搜索范圍不變，代入程序中重新進(jìn)行優(yōu)化，得到一組優(yōu)化結(jié)果，如表6所示。對(duì)比表6和表2的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)變化較大，比如 r6從 -250變到-149.253 7等。這種變化所引起的像差變化是否滿足設(shè)計(jì)要求呢?表7列出了此結(jié)構(gòu)的球差和像距，表8和表9分別列出了此結(jié)構(gòu)的子午場(chǎng)曲和子午光線彌散值。對(duì)比表8和表4可以看出，子午場(chǎng)曲縮小了10倍左右，優(yōu)化效果明顯，但是子午光線的彌散值依然很大，并且1.0hmax處的球差還變大了。當(dāng)然這只是很多優(yōu)化結(jié)果的一次記錄，由于適應(yīng)度函數(shù)中還要增加更多的像質(zhì)評(píng)價(jià)量，沒(méi)有必要在這里把優(yōu)化的量?jī)?yōu)化到最好。圖2(a)是這次優(yōu)化結(jié)果的光路圖，可以看出子午場(chǎng)曲變小了，但是子午光線彌散值較大。圖2(b)是取了圖2(a)中軸外光束的±1.0hmax子午光線對(duì)與主光線的光路位置情況，可以看出，子午光線對(duì)的場(chǎng)曲已經(jīng)較小了，但是子午彗差還較大，這導(dǎo)致了子午光線彌散值較大。

表4 校正球差后1.0ωmax視場(chǎng)D光的子午場(chǎng)曲Tab.4 Meridional field curvatures of D light at 1.0ωmaxafter correcting spherical aberrations

表5 校正球差后1.0ωmax視場(chǎng)D光的子午光線彌散值Tab.5 Dispersion of meridional rays for D light at 1.0ωmaxafter correcting spherical aberrations

表6 校正了球差、子午場(chǎng)曲的三片鏡系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.6 Structural parameters of the three-lens system after correcting spherical aberrations and meridional field curvatures

圖2 用PSO算法校正球差、子午場(chǎng)曲后的光路圖Fig.2 Optical path layouts of the three-lens system after correcting spherical aberrations and meridional field curvatures

表7 校正球差、子午場(chǎng)曲后三片鏡系統(tǒng)的球差及像距Tab.7 Spherical aberrations and image distance of the three-lens system after correcting spherical aberrations and meridional field curvatures

表8 校正球差、子午場(chǎng)曲后1.0ωmax視場(chǎng)D光的子午場(chǎng)曲Tab.8 Meridional field curvatures of D light at 1.0ωmaxafter correcting spherical aberrations and meridional field curvatures

表9 校正球差、子午場(chǎng)曲后1.0ωmax視場(chǎng)D光的子午光線彌散值Tab.9 Dispersion of meridional ray for D light at 1.0ωmaxafter correcting spherical aberrations and meridional field curvatures

下面把光線彌散范圍加入到適應(yīng)度函數(shù)中再進(jìn)行像差校正。此時(shí)同時(shí)要校正的像差包括5個(gè)球差，最大視場(chǎng)的5個(gè)子午場(chǎng)曲，最大視場(chǎng)的10條子午光線的彌散范圍，再加上1個(gè)廣義像差像距，共21個(gè)像差需要校正，這21個(gè)像差按照公式Φ(Xi)=組成適應(yīng)度函數(shù)，自變量還是以前的12個(gè)，代入到優(yōu)化算法程序中，程序中的進(jìn)化代數(shù)和學(xué)習(xí)因子不變，程序運(yùn)行約2min后便可得到優(yōu)化結(jié)果，結(jié)果不理想還可以重新運(yùn)行程序，直到得到一個(gè)滿意結(jié)果為止。表10記錄了其中一次較好的優(yōu)化結(jié)果，表11、12、13分別是此次結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的球差、子午場(chǎng)曲和子午光線的彌散值，從這些像差數(shù)據(jù)看，無(wú)論球差、子午場(chǎng)曲還是子午光線彌散值都得到了很好的校正。當(dāng)然由我們自編的光學(xué)設(shè)計(jì)軟件還可以計(jì)算出子午及弧矢彗差、弧矢場(chǎng)曲、弧矢光線的彌散值、畸變以及像散等，由于需要表格太多，這里計(jì)算結(jié)果不一一列出。但是從計(jì)算結(jié)果看，除了弧矢場(chǎng)曲稍微大一些之外，其余像差都非常小。圖3是校正了球差、子午場(chǎng)曲和子午光線彌散范圍后的光路圖，光路圖追跡了0視場(chǎng)和1.0ωmax視場(chǎng)各11條光線的光路情況，可以看出，子午面光線像差校正較好。

圖3 校正了球差、子午場(chǎng)曲和子午光線的彌散值后的光路圖Fig.3 Optical path layouts of the three-lens system after correcting spherical aberrations，meridional field curvatures and the dispersion of meridional rays

表10 校正了球差、子午場(chǎng)曲和子午光線的彌散值的三片鏡系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.10 Structural parameters of the three-lens system after correcting spherical aberrations，meridional field curvatures and the dispersion of meridional rays

表11 校正了球差、子午場(chǎng)曲和子午光線的彌散值后三片鏡系統(tǒng)的球差及像距Tab.11 Spherical aberrations and image distances of the three-lens system after correcting spherical aberrations，meridional field curvatures and the dispersion of meridional rays

表12 校正了球差、子午場(chǎng)曲和子午光線的彌散值后1.0ωmax視場(chǎng)D光的子午場(chǎng)曲Tab.12 Meridional field curvatures of D light at 1.0ωmaxafter correcting spherical aberrations，meridional field curvatures and the dispersion of meridional rays

表13 校正了球差、子午場(chǎng)曲和子午光線的彌散值后1.0ωmax視場(chǎng)D光的子午光線彌散值Tab.13 Dispersion of meridional rays for D light at 1.0ωmaxafter correcting spherical aberrations，meridional field curvatures and the dispersion of meridional rays

5 結(jié)論

利用粒子群算法設(shè)計(jì)出了球差、子午場(chǎng)曲、子午光線彌散值都很小的三片鏡光學(xué)系統(tǒng)。此三片鏡系統(tǒng)剩余球差的最大值在0.707 1hmax處為-0.079 4;剩余子午場(chǎng)曲最大值在 ±1.0hmax處為0.107 1;子午光線彌散值除 1.0hmax處為 0.121 7外，其余都在0.01數(shù)量級(jí)。

從三片鏡系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過(guò)程和設(shè)計(jì)結(jié)果可以看出，用粒子群算法進(jìn)行光學(xué)自動(dòng)設(shè)計(jì)是一種簡(jiǎn)單有效的方法，使用這種方法只需要知道光學(xué)系統(tǒng)中每個(gè)透鏡的大體形狀(如，正透鏡還是負(fù)透鏡、凹面還是凸面、孔徑光闌位置及光束孔徑、系統(tǒng)總長(zhǎng)度、像距等)和所要用的玻璃材料就可以進(jìn)行設(shè)計(jì)，克服了現(xiàn)有光學(xué)設(shè)計(jì)軟件要求必須先有一個(gè)具體初始結(jié)構(gòu)的限制。這種限制導(dǎo)致了設(shè)計(jì)人員找不到合適的初始結(jié)構(gòu)就無(wú)法進(jìn)入到下一個(gè)工作環(huán)節(jié)，大大浪費(fèi)了時(shí)間和精力;這種限制還要求光學(xué)設(shè)計(jì)人員必須有足夠的知識(shí)背景和豐富的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，而PSO的引入基本上克服了這種限制。

利用粒子群算法進(jìn)行光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)可以得到一系列較好的結(jié)果，可以根據(jù)實(shí)際需要選擇其中的一種作為最佳選擇。用粒子群算法進(jìn)行光學(xué)自動(dòng)設(shè)計(jì)的面向?qū)ο髴?yīng)用程序開(kāi)發(fā)將使光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)變得更加簡(jiǎn)單和有趣。

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