線性回歸模型在北京平原地面沉降預(yù)測中的應(yīng)用

范珊珊，郭海朋，朱菊艷，李文鵬

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(北京)水資源與環(huán)境學(xué)院，北京 100083;2.中國地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測院，北京 100081;3.中國地質(zhì)調(diào)查局水文地質(zhì)環(huán)境地質(zhì)調(diào)查中心，河北保定 071051)

0 引言

北京作為國家首都，一座國際性的大都市，隨著城市規(guī)模的不斷擴(kuò)大，經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和人口的持續(xù)增長，對水資源的需求量不斷增加，由于大量開采地下水，造成地下水位大幅下降，導(dǎo)致北京平原形成了大面積的地面沉降區(qū)。由于北京平原的范圍太廣，本文選擇地面沉降較嚴(yán)重的天竺地區(qū)作為典型研究區(qū)域，進(jìn)而推斷整個北京平原地面沉降的發(fā)展趨勢。

隨著數(shù)值模擬技術(shù)的快速發(fā)展，以地面沉降理論為基礎(chǔ)，利用計算機(jī)建立了大量的地面沉降預(yù)測模型，其中應(yīng)用比較廣泛的有灰色預(yù)測模型，包括GM(1，1)模型［1-2］和 GM(2，1)模型［3］，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型［4-5］以及 MODFLOW 模型［6］等。近年來，建立地下水開采與地面沉降的線性回歸方程也被廣泛地應(yīng)用于地面沉降的預(yù)測［7］。這種方法主要是依據(jù)最小二乘法原理得到回歸方程的系數(shù)，建立地下水開采和地面沉降的線性回歸方程，從而對沉降量進(jìn)行預(yù)測。可以用于線性回歸分析的軟件主要有Excel和SPSS，由于Excel使用普遍，操作簡單，本文的回歸分析主要是應(yīng)用這種方法。

1 地下水開采與地面沉降的相關(guān)性分析

由于長期超量開采地下水，造成地下水位的大幅度下降，導(dǎo)致含水層上覆土層的孔隙水壓力減小，使土層失水壓縮固結(jié)，從而形成地面沉降。所以，地面沉降與地下水開采存在著一定的相關(guān)性。圖1為北京市天竺地區(qū)中深部地層沉降的變化與該層段內(nèi)地下水水位變化曲線圖，從圖中可以看出，地面沉降量的變化趨勢與地下水水位變化趨勢基本一致。圖2為累積地面沉降量和累積地下水開采量曲線圖(考慮到地面沉降對地下水位下降有一定的滯后性，所以在分析時采用累積沉降量和累積開采量，從而減少滯后帶來的影響［8］。)，如圖1所示，地面沉降量隨著地下水開采量的增加而增大。由此可見，地面沉降和地下水開采的相關(guān)程度較高。下面就對沉降量和地下水開采量或地下水水位的相關(guān)性進(jìn)行定量分析。

圖1 地面沉降量和地下水位變化曲線圖Fig.1 Curves of subsidence quantity and groundwater level variation

圖2 累積沉降量和累積開采量曲線圖Fig.2 Curves of accumulative subsidence quantity and accumulative groundwater mining

表1為2005～2009年北京天竺地區(qū)地面年沉降量［9］和地下水開采量［10］統(tǒng)計表。

表1 天竺地面年沉降量和地下水開采量統(tǒng)計表Table1 Statistical table of Tianzhu subsidence quantity and groundwater mining

根據(jù)相關(guān)系數(shù)的判別規(guī)則，r＞0表明地面沉降量和地下水開采量成正相關(guān)，與地下水開采量和地面沉降量的曲線圖(圖2)所呈現(xiàn)的趨勢是一致的，即隨著地下水開采量的增加，沉降量也會增大。當(dāng)相關(guān)系數(shù)在0.8≤r≤1時，兩個變量之間為高度相關(guān)，所以地面沉降量和地下水開采量的相關(guān)性十分顯著，可以建立線性回歸方程。

同理利用Pearson相關(guān)系數(shù)的計算公式可以得到地面沉降量和地下水水位的相關(guān)系數(shù)為r=0.98596，根據(jù)以上分析過程，地面沉降量和地下水位之間也呈高度相關(guān)，同樣適宜建立線性回歸方程。

2 線性回歸分析

2.1 地面沉降量與地下水開采量的線性回歸分析

回歸分析是指從一些反映某些變量之間關(guān)系的觀測值出發(fā)，分析變量間的相關(guān)程度，并建立回歸模型來擬合變量間的關(guān)系，從而提高對變量之間關(guān)系的認(rèn)識。根據(jù)自變量的數(shù)量多少，回歸分析可以分為一元回歸分析和多元回歸分析;根據(jù)自變量和因變量之間的關(guān)系類型，可以分為線性回歸分析和非線性回歸分析。本文所選擇的是一元線性回歸模型來進(jìn)行研究，回歸分析的主要任務(wù)就是根據(jù)若干個觀測值找出兩個變量x，y之間的線性關(guān)系，從而得到兩者間的線性回歸方程^y=ax+b，其中^y是y的估計值。求回歸方程的過程，實(shí)際上是用回歸直線對各個觀測值進(jìn)行擬合的過程，最常用的方法是最小二乘法。由于最小二乘法的計算過程非常繁瑣，通常借助Excel軟件的數(shù)據(jù)分析工具來進(jìn)行回歸分析。

將表1中的累積開采量和累積沉降量的一系列數(shù)據(jù)輸入到Excel中，利用回歸分析工具得到的分析結(jié)果如圖3所示，通過分析結(jié)果中的數(shù)據(jù)可以得到線性回歸方程的系數(shù)，即斜率 a=8.121，截距 b=4.156。

圖3 Excel回歸分析輸出結(jié)果Fig.3 Output results of excel regression analysis

從而建立累積地面沉降量和累積地下水開采量的線性回歸方程:s=8.121 Q+4.156

式中:s——累積地面沉降量;

Q——累積地下水開采量。

圖4為累積地面沉降量和累積地下水開采量的線性回歸直線，通過圖表法得到的線性回歸方程與利用回歸分析工具得到的方程是一致的。從圖4中還能夠看出回歸方程的判定系數(shù)R2=0.997，這表明自變量對因變量的解釋程度較高，即總體的地面沉降有很大比例是由地下水開采引起的，判定系數(shù)可以用來衡量回歸直線的整體擬合效果。

圖4 累積沉降量和累積開采量的線性回歸直線Fig.4 Linear regression line between accumulative subsidence quantity and accumulative groundwater mining

2.2 地面沉降量與地下水水位的線性回歸分析

利用2004～2008年天竺地區(qū)中深部地層沉降量和地下水水位的觀測數(shù)據(jù)同樣可以得到地面沉降量和地下水位的線性回歸方程(圖5):

式中:s——中深部地層沉降量;

H——地下水水位。

圖5 Excel回歸分析輸出結(jié)果Fig.5 Output results of excel regression analysis

圖6為地面沉降量和地下水水位的線性回歸直線，從圖中可以得到該回歸方程的判定系數(shù)R2=0.972，表明回歸直線的擬合效果較好。

上述兩個方程是從面和點(diǎn)兩個不同層面上對地面沉降和地下水開采的相關(guān)性進(jìn)行分析，它們的判定系數(shù)分別為0.997和0.972，說明回歸直線的整體擬合效果都很好。所以，可以分別利用地下水開采量和地下水水位對地面沉降量進(jìn)行預(yù)測。

3 線性回歸方程的驗(yàn)證和預(yù)測

3.1 地面沉降量與地下水開采量回歸方程的驗(yàn)證和預(yù)測

圖6 地面沉降量和地下水位的線性回歸直線Fig.6 Linear regression line between subsidence quantity and groundwater level

根據(jù)回歸方程 s=8.121Q+4.156，將2005～2011年的地下水開采量代入其中，可以得到對應(yīng)的地面沉降量預(yù)測值(表2、圖7)。2010年和2011年是新輸入的年份，所以不如前五年的擬合程度好，但總體趨勢是吻合的。為了研究預(yù)測值的可靠程度，可以引入統(tǒng)計學(xué)中的置信區(qū)間來進(jìn)行檢驗(yàn)，即在一定置信度下所要預(yù)測的變量的可能取值范圍。這里取置信度為95%，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可以得到置信度95%的置信區(qū)間為(s-1.96δ，s+1.96δ)，δ是由回歸分析得到的標(biāo)準(zhǔn)誤差，用來表示變量s偏離回歸直線的誤差。在線性回歸直線s=8.121Q+4.156的上下作兩條平行直線(圖8):

表2 地面沉降量的真實(shí)值和預(yù)測值Table2 The measured and predicted values of subsidence quantity

圖7 地面沉降量的真實(shí)值和預(yù)測值擬合圖Fig.7 Fitting curves of the measured and predicted values of subsidence quantity

s'=8.121Q+4.156-1.96δ和 s″=8.121Q+4.156+1.96δ

從圖8中可以看出，2010和2011年累積沉降量真實(shí)值都落在置信度為95%的置信范圍內(nèi)，因此通過線性回歸方程得到的沉降量預(yù)測值可靠程度較高。

圖8 回歸方程的預(yù)測值可靠性檢驗(yàn)圖Fig.8 The reliability of predicted values based on regression equations test chart

假定2012～2014年地下水開采量將會維持2011年的現(xiàn)狀開采水平，那么可以根據(jù)回歸方程得到預(yù)測的累計沉降量，從而算出年沉降量的預(yù)測值(表3)。

表3 2012～2014地面年沉降量的預(yù)測值Table3 Predicted values of subsidence quantity between 2012 and 2014

從表3可以看出，在現(xiàn)狀開采條件下，2012～2014年的年沉降量在2011年的基礎(chǔ)上略有增加或基本持平，地面沉降持續(xù)發(fā)展，累積沉降量逐年增加。

3.2 地面沉降量與地下水位回歸方程的驗(yàn)證和預(yù)測

將2004～2010年天竺地區(qū)中深層地下水水位觀測值代入方程，可以得到中深部地層的沉降量預(yù)測值(表4)。沉降量的預(yù)測值和真實(shí)值的擬合程度較好(圖9)。

表4 2004～2010年中深部地層沉降量的真實(shí)值和預(yù)測值Table4 Predicted values of subsidence quantity in middle-deep strata

將3.1中預(yù)測值可靠程度的驗(yàn)證過程同理應(yīng)用到該方程預(yù)測值可靠性的分析過程中，可以得出根據(jù)地下水位預(yù)測的地面沉降量同樣是十分可靠的。進(jìn)行預(yù)測時可以將預(yù)計的地下水位標(biāo)高值輸入到方程中，從而預(yù)測同層段內(nèi)的地面沉降量。

4 結(jié)論

(1)通過對北京天竺地區(qū)地下水開采和地面沉降的關(guān)系進(jìn)行分析，可以看出兩者之間具有一定的線性關(guān)系，通過地下水開采量或地下水水位，可以對地面沉降量進(jìn)行預(yù)測。

圖9 地面沉降量的真實(shí)值和預(yù)測值擬合圖Fig.9 Fitting chart of the measured and predicted values of subsidence quantity

(2)建立線性回歸方程操作簡單，工作量小，但是預(yù)測誤差是不可避免的。由于資料有限，本文建立的預(yù)測模型沒有考慮地面沉降的其它影響因素如地層巖性、地面荷載等。在以后建立的線性回歸模型中，如果可以將多種影響因素一起考慮，那么預(yù)測精度將會有很大提高。

(3)由以上分析，北京天竺地區(qū)地面沉降的變化趨勢與地下水水位變化趨勢基本一致，地面沉降量與地下水開采量具有高度的相關(guān)性，可以推斷出北京平原地面沉降產(chǎn)生的主要原因是地下水的大量開采。

(4)通過模型預(yù)測可知，在維持地下水現(xiàn)狀開采的條件下，不考慮其它影響因素，北京平原區(qū)的地面沉降將會持續(xù)發(fā)展，整體的地面沉降量仍會繼續(xù)增加。

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