改進(jìn)背景值的新陳代謝GM(1,1)在變形預(yù)報中的應(yīng)用

孫昌瑜，朱軍桃

(1.桂林理工大學(xué)測繪地理信息學(xué)院，廣西桂林 541004；2.廣西空間信息與測繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(桂林理工大學(xué))，廣西桂林，541004)

改進(jìn)背景值的新陳代謝GM(1,1)在變形預(yù)報中的應(yīng)用

孫昌瑜1，2?，朱軍桃1，2

(1.桂林理工大學(xué)測繪地理信息學(xué)院，廣西桂林 541004；2.廣西空間信息與測繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(桂林理工大學(xué))，廣西桂林，541004)

文獻(xiàn)[1]根據(jù)GM(1，1)模型的指數(shù)特性，通過在其白化微分方程區(qū)間上求積分推導(dǎo)出了背景值的一個計(jì)算公式。本文在此基礎(chǔ)上，利用該公式建立了新陳代謝GM(1，1)模型。實(shí)際算例表明由此建立的新陳代謝GM(1，1)模型的預(yù)測結(jié)果高于傳統(tǒng)背景值下的新陳代謝GM(1，1)模型，表明了改進(jìn)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型合理性，其可用于測量數(shù)據(jù)處理中的變形分析預(yù)報。

背景值；GM(1，1)模型；新陳代謝GM(1，1)模型

1 引 言

目前，變形預(yù)報的主要方法有回歸分析法、確定函數(shù)法、時間序列分析法等，但這些方法通常要求有大量樣本，而且要求具有典型的概率分布，這在實(shí)際生產(chǎn)中有時難以滿足，同時也限制了其使用范圍?；疑獹M (1，1)模型彌補(bǔ)了這一缺陷，但由于GM(1，1)模型隨著時間的推移，將會不斷地有一些隨機(jī)擾動或驅(qū)動因素進(jìn)入系統(tǒng)，使前端的數(shù)據(jù)對末端的數(shù)據(jù)影響逐漸減弱，導(dǎo)致后期預(yù)測誤差逐漸增大[2]。很多研究者都在尋找各種方法對GM(1，1)模型進(jìn)行改進(jìn)，以提高其預(yù)測的精度。例如殘差GM(1，1)修正模型[3]以及采用加權(quán)，優(yōu)化等方法[4]以提高模型的精度。雖然這些方法在一定程度上提高了GM(1，1)模型的預(yù)測精度，但這些方法較煩瑣，沒有從根本上對GM(1，1)模型進(jìn)行改進(jìn)，不利于實(shí)際生產(chǎn)中的應(yīng)用。基于此，本文在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了改進(jìn)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型，并通過工程實(shí)例驗(yàn)證了改進(jìn)模型的可行性和有效性。

2 改進(jìn)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型

2.1 灰色模型背景值的推導(dǎo)[1]

設(shè)GM(1，1)模型的原始數(shù)據(jù)序列為:x(0)(k)= {x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}，經(jīng)過一次累加生成得到的序列為:x(1)(k)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}，

則生成數(shù)列x(1)(k)的白化微分方程為:

將上式在[k，k+1]上積分，有:

設(shè)背景值Z(1)(k+1)為x(1)(t)在區(qū)間[k，k+1]上時，則有:

由此可知背景值即為x(1)(t)在區(qū)間[k，k+1]上的定積分。

由于方程(2)的解為指數(shù)形式，為方便起見x(1)(t)可用如下指數(shù)曲線近似表示:

并假設(shè)該曲線過x(1)(k+1)和x(1)(k)兩點(diǎn)，因此有:

由式(6)、(7)可得:(1)

因此背景值為:

經(jīng)過一次累減計(jì)算(1-IAGO)可以還原出模型的模擬值為:

2.2 改進(jìn)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型原理

在原始數(shù)據(jù)序列x(0)(k)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}中，置入新的數(shù)據(jù)x(0)(n+1)(該數(shù)據(jù)是采用GM(1，1)模型依據(jù)新的背景值公式(10)式預(yù)測一步所得)，同時去掉最老信息x(0)(1)，用序列{x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n+1)}作為原始序列，在重復(fù)上述步驟建立新背景值得GM(1，1)模型，如此反復(fù)依次遞補(bǔ)，直到完成預(yù)測，此即為改進(jìn)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型。

3 工程實(shí)例

西安市南郊某18層建筑物布置了11個沉降監(jiān)測點(diǎn)，取其中C5、C6點(diǎn)的施工期間13期數(shù)據(jù)為例進(jìn)行分析[5]。為了說明本文改進(jìn)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的預(yù)測效果，設(shè)計(jì)兩種方案進(jìn)行對比分析，其中用前5期數(shù)據(jù)建立動態(tài)模型進(jìn)行預(yù)測，并與其余8期觀測值進(jìn)行比較分析。

從表1分析得出:方案一(傳統(tǒng)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型)從第10期開始預(yù)測殘差較大，到第13期時預(yù)測殘差達(dá)到了4.13mm，不利于工程實(shí)際的應(yīng)用。方案二(改進(jìn)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型)與方案1相比，預(yù)測精度有了明顯的提高，預(yù)測的最小殘差為0.11mm，最大殘差才只有1.7mm。從殘差還可得知，方案二明顯優(yōu)于方案一，證明了改進(jìn)背景值的新陳代謝GM (1，1)模型的可行性，可應(yīng)用于建筑物的沉降變形預(yù)報。

實(shí)測值與各模型預(yù)測值的比較 表1

為了更直觀的說明改進(jìn)背景值的新陳代謝GM (1，1)模型的優(yōu)越性，現(xiàn)將C5點(diǎn)各模型的預(yù)測值與殘差值如圖1、圖2所示。

圖1 沉降值與各模型預(yù)測值比較

圖2 各模型的預(yù)測殘差值比較

由圖1、圖2可以看出:經(jīng)過改進(jìn)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的預(yù)測值更加接近實(shí)測值，其預(yù)測效果高于傳統(tǒng)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型。傳統(tǒng)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的預(yù)測殘差較大，而改進(jìn)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的預(yù)測殘差相對較小。因此，改進(jìn)背景值的新陳代謝模型可以提高預(yù)測的穩(wěn)定度和精度。

由上述可知:改進(jìn)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的預(yù)測結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型。為了更加充分說明改進(jìn)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的預(yù)測效果，對C6點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測，各模型的預(yù)測值和殘差值如表2所示。

實(shí)測值與各模型預(yù)測值的比較 表2

由表2可知:傳統(tǒng)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型從第10期開始預(yù)測殘差較大，到第13期時預(yù)測殘差達(dá)到了3.5 mm。改進(jìn)背景值下的新陳代謝GM(1，1)模型預(yù)測的最小殘差為0.11 mm，而到第13期預(yù)測殘差才只有1.31 mm。從誤差的角度進(jìn)行分析:傳統(tǒng)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型預(yù)測的最大相對誤差為4.49%，而改進(jìn)背景值下的新陳代謝GM(1，1)模型預(yù)測的最大相對誤差為1.68%，傳統(tǒng)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型預(yù)測的平均相對誤差為1.57%，而改進(jìn)背景值下的新陳代謝GM(1，1)模型預(yù)測的相對誤差為0.58%。這更加充分的說明了改進(jìn)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的可行性和有效性。

4 結(jié) 論

在其白化微分方程上求積分推導(dǎo)了背景值的一個計(jì)算公式，并利用該公式建立了新陳代謝GM(1，1)模型。通過工程實(shí)例表明使用改進(jìn)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的預(yù)測結(jié)果明顯高于傳統(tǒng)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型，證明了改進(jìn)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的合理性，可用于變形監(jiān)測的分析預(yù)報。

[1] 王鐘羨，吳春篤.GM(1，1)改進(jìn)模型及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2003，33(9)：20～26.

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[8] 陳偉清.灰色預(yù)測在建筑物沉降變形分析中的應(yīng)用[J].測繪科學(xué)，2005，30(5)：43～45.

Application Based on Im proved Background Value M etabolic GM(1，1)M odel in Deformation Forecast

Sun Changyu1，2，Zhu Juntao1，2
(1.College of Geomatics and Geoinformation，Guilin University of Technology，Guilin 541004，China；2.Guangxi Key Laboratory of Spatial Information and Geomatics，Guilin 541004，China)

According to the exponential nature of the GM(1，1)model，a background value calculation formula is derived by integrating in albino differential equations interval in references[1].This paper establishesmetabolic GM (1，1)model based on this formula.A practical example demonstrates the metabolic GM(1，1)model thereby established is higher accuracy than the traditional background value GM(1，1)model.It shows that themetabolic GM(1，1) model of improving background value is reasonable and can be used for deformation prediction.

background values；GM(1，1)model；metabolic GM(1，1)model

1672-8262(2013)03-137-03

P258，TU196

A?

2012—11—28

孫昌瑜(1988—)，男，碩士研究生，主要研究方向:變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理。

國家自然科學(xué)基金(41071294)