Duncan模型若干修正適用性研究

鄧同春,岑威鈞,董坤明,顧浩欽

(河海大學水利水電學院,江蘇南京210098)

1970年和1980年,Duncan等[1-2]分別提出了 E-μ和E-B模型。該模型物理意義明確,參數(shù)易于確定且工程應用經(jīng)驗豐富,在土石壩應力變形分析中得到了廣泛應用。

針對Duncan模型基于常規(guī)三軸試驗,不能考慮中主應力對土體應力變形的影響,1991年顧淦臣等[3]對其進行了改進,將其推廣至三維計算。顧建議,采用平均應力p代替σ3、廣義剪應力 q代替(σ1-σ3),使用三維情況下M-C準則中的 qf代替(σ1-σ3)f。上述三點修正分別從修正彈模、泊松比以及修正強度準則兩方面考慮中主應力的影響。

在有限元計算中,強度參數(shù)的選擇影響著計算結果的真實性,如何合理、便利地選擇強度參數(shù)顯得至關重要。1986年,方開澤研究了復雜應力條件與常規(guī)三軸條件下土體強度參數(shù)的相互轉換關系。

本文以平面應變這一常見應力狀態(tài),通過理論分析和數(shù)值模擬,研究此三點假設以及使用FKZ修正強度準則在土體應力變形計算中的適用性,以探究Duncan模型推廣至三維情況的關鍵所在,從而為巖土工程數(shù)值分析時本構模型的選用提供參考依據(jù)。

1 Duncan模型及修正

式中:Et為切線彈性模量;Pa為大氣壓;s為應力水平;μt為切線泊松比;Bt為切線體積模量;c、φ、K、Kb、Kur、D 、F 、n 、Rf和m 為材料試驗參數(shù),可根據(jù)三軸試驗測定,一般情況下,n＞m。

按顧淦臣建議,推廣至三維情況,其中 qf滿足[4]:

式中:θσ為應力Lode角,反映中主應力的大小,且滿足。

改進模型中,當應力狀態(tài)同時滿足 si≤0.95si-1和qi≤0.95qi-1時,該土體單元處于卸載或再加載狀態(tài),采用回彈模量。

2 數(shù)值驗證及理論分析

本構模型能否準確反映土體的應力變形特性,首先要研究其在特定應力路徑下的適用性。Duncan模型是在常規(guī)三軸壓縮路徑下提出的,用它預測試樣在三軸壓縮條件下的應力變形特性自然與實測結果接近。記單獨修正 σ3為修正1,單獨修正(σ1-σ3)為修正 2,修正 σ3和(σ1-σ3)為修正 3,修正(σ1-σ3)和(σ1-σ3)f為修正 4,修正 σ3、(σ1-σ3)以及(σ1-σ3)f為修正 5,修正 σ3和(σ1-σ3)f為修正6。平面應變情況下 σ2≠σ3,在此借用常規(guī)三軸試驗確定的參數(shù)計算平面應變試樣的應力變形,以考察原Duncan及以上各修正模型預測平面應變土樣的應力變形能力。參數(shù)借用黃河前葦園粘土試驗參數(shù)[5],E-μ模型參數(shù) c=20 kPa、φ=30°、K=121.5 、D=2.9 、G=0.367 、F=0.143 、n=0.59 、Rf=0.73,E-B模型中擬定參數(shù)Kb=110、m=0.133。限于篇幅,這里只給出原試驗曲線以及σ3=200 kPa和400 kPa時Duncan E-μ及6種修正模型的計算曲線(圖1)。

平面應變條件下,曲線(σ1-σ3)-εa和曲線εv-εa斜率分別為Et/(1+μt)、(1-μt)/(1+μt)。由式(1)～式(6)可知,以平均應力p代替σ3、廣義剪應力 q 代替(σ1-σ3),將使 Et增大 μt減小,從而使 εv-εa修正曲線較原Duncan模型高。由圖1可知,在應變控制條件下,原Duncan E-μ模型能夠較好地預測平面應變試樣的εv-εa曲線,其余各修正都會使μt減小,從而使修正模型的εv-εa預測曲線遠離試驗曲線;修正 σ3或修正(σ1-σ3)都可以使模型的(σ1-σ3)-εa預測能力有所提高,且這兩種修正模型的(σ1-σ3)-εa曲線較原Duncan模型計算曲線更為接近,鑒于該曲線的斜率為Et/(1+μt)且該兩種修正使泊松比 μt減小,故可知這兩種修正不足以反映中主應力對切線彈模的提高作用。

前兩點修正都會使切線彈模變大,使泊松比減小,為了更好更深入地理解Duncan模型還需從土體的破壞準則入手。圖2為M-C準則在p-q平面內的示意圖。

圖2中線AB為土體常規(guī)三軸固結排水剪切試驗的應力路徑。試樣在A點即圍壓σ3下固結,在排水情況下施加偏應力(σ1-σ3)直至剪破,破壞點為B。常規(guī)三軸排水固結剪切試驗中,平均應力p由A點變化到B′。假定C點為應力路徑中某一狀態(tài)點,由公式(2)可知,此時應力水平 ss=CC′/BB′,而按顧淦臣的建議,s修正為CC′/C′C″。由式(7)可知 ,qf(即 C′C″)在壓縮子午面內取極大值 ,在 σ2≠σ3的情況下,s修正還會增大,故在加載過程中按顧淦臣的修正建議會使 s變大從而使Et減小。從以上修正4、修正 5、修正 6可以看出,在 σ2≠σ3的情況下使用qf代替(σ1-σ3)f,會使切線彈性模量減小且該修正對于彈模降低的影響遠大于前兩點修正對彈模的提高作用,由此可知強度準則對土體應力變形計算尤為重要。

強度準則反映了復雜應力狀態(tài),尤其是中主應力對抗剪強度的影響[6]。如何將常規(guī)三軸試驗中的強度參數(shù)推廣到一般應力狀態(tài)顯得尤為重要。方開澤根據(jù)形變能原理結合Mises準則和M-C準則,提出了FKZ強度準則[7],該準則物理意義明確,可直接使用常規(guī)三軸確定的強度參數(shù),其公式如下:

式中:φ,c為常規(guī)三軸試驗所測土體的內摩擦角和粘聚力;b=(σ2-σ3)/(σ1-σ3);φb,cb為考慮中主應力時的內摩擦角和粘聚力。

以下使用方開澤強度準則修正Duncan E-μ、E-B模型,預測平面應變試樣的變形特性,以檢驗該準則修正Duncan模型的合理性,參數(shù)仍借用黃河前葦園粘土試驗參數(shù)。

圖1 黃河前葦園粘性土平面應變試驗與計算結果

圖2 M-C強度準則在p-q平面內示意圖(壓縮子午面)

計算結果表明,使用方開澤模型修正后的Duncan E-μ、E-B模型都能較好的反映中主應力對土體應力變形的影響,且修正后E-μ擬合曲線與試驗曲線幾乎重合。

3 計算及分析

計算對象為一均質堆石壩,壩高100 m,墊層和過渡層水平寬3 m,壩頂寬12 m。上下游邊坡1∶1.4,河床寬100 m,兩岸邊坡1∶2,壩體分10級加載,面板第11級,第12級蓄水至90 m,一般認為E-B模型更適合堆石壩結構分析,故分別采用Duncan E-B模型、FKZ準則修正后的E-B模型(記為修1),以及顧淦臣提出的Duncan E-B修正模型(記為修正2)。模型參數(shù):ρ=2.24 g/cm3、φ=52.7°、Δ φ=8.2°、K=1068、n=0.2、Rf=0.79、Kb=334、m=0.20,Kur=2 150。

限于篇幅此處只給出E-B模型計算出的蓄水期最大橫剖面位移等值圖(圖3),另兩種修正模型的變形規(guī)律與此類似。

圖3 蓄水期典型橫剖面變形等值線(單位:cm)

表1為三種本構模型計算出的順河向位移及沉降極值。

表1 最大橫剖面位移極值

由此可知,使用FKZ強度準則修正Duncan模型能夠體現(xiàn)中主應力對壩體應力變形的影響,竣工期最大橫剖面順河向位移極值減小約25%,沉降極值減小約12%;而修正2計算沉降量不減反增,相比順河向位移極值,修正2計算值是原E-B模型的2倍以上。

4 結 論

通過以上平面應變土樣應力變形特性的預測以及對某理想壩的有限元計算分析,可以得出以下結論:

(1)以平均應力p代替σ3、廣義剪應力q代替(σ1-σ3)都能使土體切線彈性模量增加、泊松比減小,這兩種方法都不足以彌補中主應力對切線彈性模量的提高作用。

(2)以式(7)修正M-C準則,會使切線彈模和泊松比減小,不能體現(xiàn)中主應力對土體剛度的增大作用。

(3)在土石壩的有限元計算中,使用顧淦臣等提出的修正模型對沉降影響不大,相對誤差在15%以內,而順河向位移極值為原Duncan模型計算值的2倍以上,這一點值得重視。

(4)使用常規(guī)三軸試驗推導的 Et、Bt、μt公式不失一般性。中主應力對硬化型土體應力變形特性的影響,主要體現(xiàn)在土體破壞時的最大偏應力差(σ1-σ3)f上,使用FKZ破壞準則修正破壞時的偏應力差能夠較好的反映中主應力的影響。

綜上,在土石壩有限元計算中,建議使用FKZ準則修正M-C強度準則,以考慮中主應力對堆石料彈性模量、泊松比的影響。

[1] Duncan J M,Chang C Y.Nonlinear analysis of stress and strain in soil[J].Journal of Soil Mechanics and Foundation Division,ACSE,1970,96(5):1629-1653.

[2] Duncan J M,Byrne P,Wong K S,et al.Strength,stressstrain and bulk-modulus parameters for finite element analysis of stresses and movements in soil masses[R].Berkley:University of California,1980.

[3] 顧淦臣,黃金明.混凝土面板堆石壩的堆石本構模型與應力變形分析[J].水力發(fā)電學報,1991,(1):12-24.

[4] 張學言,閆澍旺.巖土塑性力學基礎[M].天津大學出版社,2006:81-82.

[5] 孔德志,朱俊高.鄧肯-張模型幾種改進方法的比較[J].巖土力學,2004,25(6):971-974.

[6] 殷宗澤,等.土工原理[M].北京:中國水利水電出版社,2007:217-218.

[7] 方開澤.土的破壞準則-考慮中主應力的影響[J].華東水利學院學報,1986,14(2):70-81.