標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面水力特性的研究

張志昌，李若冰

（西安理工大學(xué)水利水電學(xué)院，西安 710048）

標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面水力特性的研究

張志昌，李若冰

（西安理工大學(xué)水利水電學(xué)院，西安 710048）

為研究標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面正常水深、弗勞德數(shù)和收縮斷面水深的計(jì)算方法，根據(jù)明渠均勻流理論、明渠恒定非均勻流理論和能量方程，分析了標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面的水力特性，提出了3種工況下的正常水深與流量關(guān)系、弗勞德數(shù)，以及2種工況下收縮斷面水深的迭代計(jì)算公式，并通過(guò)算例給出了解題過(guò)程。研究成果計(jì)算簡(jiǎn)單、精度高，可以應(yīng)用于實(shí)際工程。

標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面;正常水深;弗勞德數(shù);收縮斷面水深

1 研究背景

標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面是由底部的弓形、下部?jī)蓚?cè)的扇形以及頂拱半圓形組成的［1］，其中底部弓形和兩側(cè)扇形的半徑均為3r，圓心角α為常數(shù)，頂拱半圓的半徑為r。由于斷面形狀比較復(fù)雜，文獻(xiàn)［2］在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面正常水深流量關(guān)系時(shí)沒(méi)有給出具體計(jì)算公式，而是給出了表格以供查詢。近幾年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，迭代計(jì)算已變得非常簡(jiǎn)單，有些學(xué)者對(duì)標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型、Ⅱ型馬蹄形斷面的水力特性進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［3-5］研究了標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型馬蹄形斷面正常水深與流量的關(guān)系;文獻(xiàn)［6］研究了標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型馬蹄形斷面均勻流水深的簡(jiǎn)化計(jì)算方法;文獻(xiàn)［7］對(duì)標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型和Ⅱ型斷面的正常水深流量關(guān)系給出了迭代計(jì)算公式，但未給出詳細(xì)的公式推導(dǎo)過(guò)程;文獻(xiàn)［8］引入準(zhǔn)一次函數(shù)和準(zhǔn)二次函數(shù)的概念，將馬蹄形斷面分為3種情況，給出了正常水深的近似計(jì)算公式，該公式形式比較簡(jiǎn)潔，在工程常用范圍內(nèi)誤差小于0.31%;文獻(xiàn)［9］引入變量t，通過(guò)逐次逼近及優(yōu)化擬合，給出了標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型和Ⅱ型馬蹄形斷面的正常水深的計(jì)算方法，其優(yōu)點(diǎn)是將2種斷面形式的公式合并為1種公式，公式誤差小于0.5%。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面的弗勞德數(shù)和收縮水深，目前尚未看到研究成果。

本文從明渠均勻流的基本公式出發(fā)，研究了3種工況下標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面正常水深的迭代公式;同時(shí)還研究了標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面的弗勞德數(shù)以及收縮斷面水深的計(jì)算方法，通過(guò)實(shí)例給出了計(jì)算過(guò)程，為工程設(shè)計(jì)提供了方便。

2 標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面的基本形式和圓心角

標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面見(jiàn)圖1，它由底部弓形、下部扇形和頂拱的半圓形斷面組成。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面Fig.1StandardⅠ-type horseshoe cross section

頂拱半圓的半徑為r，下部三圓弧段的半徑均為3r，底部弓形斷面的圓心角為2α，側(cè)面扇形圓心角為α。由圖可見(jiàn)

由上式可以解出α=16.874 49°，可以看出標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面的圓心角為常數(shù)。

3 標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面的正常水深

一般渠道的正常水深流量關(guān)系為［10］式中:Q為流量;C為謝才系數(shù);R為水力半徑;χ為濕周;i為渠道的底坡;n為糙率;A為過(guò)水?dāng)嗝婷娣e。

標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面的水深如圖2所示，可能有3種情況:①水深處于底部弓形斷面內(nèi)，如圖2（a）所示;②水深處于下部扇形斷面內(nèi)，如圖2（b）所示;③水深處于頂拱半圓形斷面內(nèi)，如圖2（c）所示，現(xiàn)對(duì)這3種情況討論如下。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面的水深分類Fig.2Classification for the water depth of standardⅠ-type horseshoe cross section

3.1 水深處于底部弓形斷面

如圖2（a）所示，此時(shí)斷面面積、濕周和水深的計(jì)算公式分別為

式中:r為頂拱半圓的半徑;φ為水深為h時(shí)的半圓心角;h為水深。

正常水深-流量關(guān)系為

3.2 水深處于頂拱半圓形斷面

由圖2（b）可以看出，過(guò)水?dāng)嗝婷娣e由7部分組成，弓形斷面面積A1=9r2（α-sinαcosα），扇形斷面內(nèi)的面積可以分為兩側(cè)的半弓形面積A2，A3和中間的矩形面積A4，其中A2=A3，A1=A2+A3。由圖中

3.3 水深處于下部扇形斷面

由圖2（c）可以看出，下部水深淹沒(méi)面積為

正常水深-流量關(guān)系為

其中β的取值范圍為0°～24.295 19°，如果水深已知，則可由（15）式求出β，代入（14）式即可計(jì)算出流量。如果已知流量求水深，可以將（14）式寫(xiě)成迭代公式為

例題1:現(xiàn)以文獻(xiàn)［2］為例，驗(yàn)證某馬蹄形標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型斷面。已知頂拱半徑r=1.5 m，渠道底坡i= 1/2 000，糙率n=0.014，試計(jì)算正常水深與流量的關(guān)系。

解:

底部弓形斷面高度為

計(jì)算時(shí)應(yīng)注意:頂拱上要留出一定的余幅，根據(jù)文獻(xiàn)［1］，對(duì)于低流速的無(wú)壓隧洞，在通氣良好的情況下，凈空斷面積一般不得小于隧洞斷面面積的15%，凈空高度不小于40 cm。本例題中隧洞高度為3.0 m，設(shè)水深分別為0.15，0.19，0.30，0.60，0.90，1.20，1.50，1.80，2.10，2.40 m，計(jì)算時(shí)，當(dāng)水深h≤h1時(shí)，用公式（5）計(jì)算流量;當(dāng)水深h1＜h≤r時(shí)，用公式（14）計(jì)算流量;當(dāng)水深h＞r時(shí)，用公式（9）計(jì)算流量。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 正常水深－流量關(guān)系計(jì)算表Table 1Calculation results of the relation between normal water depth and flow

4 標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面的弗勞德數(shù)

弗勞德數(shù)的計(jì)算公式［11］為

式中:B為水面寬度;g為重力加速度。

標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面的弗勞德數(shù)分為3種情況:

（1）水深處于底部弓形斷面內(nèi)

5 標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面收縮斷面水深的計(jì)算

從溢流壩下泄的水流在壩址處水深最小，此處稱為收縮斷面，相應(yīng)的水深為收縮斷面水深（見(jiàn)圖3）。收縮斷面水深是計(jì)算溢流壩消能、臨界水躍的重要參數(shù)，收縮斷面底部以上總水頭E0一般是已知的，由能量方程得

圖3 收縮斷面水深示意圖Fig.3Sketch of contracted section’s water depth

式中:?為流速系數(shù)，其確定方法可查閱文獻(xiàn)［12］;Ac為收縮斷面面積;hc為收縮斷面水深，因?yàn)樵撍顬榍赖淖钚∷?，一般位于馬蹄形斷面的底部弓形斷面內(nèi)或下部的扇形斷面內(nèi)。

當(dāng)水深位于底部弓形斷面內(nèi)時(shí)，斷面面積Ac、收縮斷面水深hc分別用式（2）和式（4）計(jì)算，將Ac，hc代入（21）式可得迭代公式為

由上式迭代求出φ后，由下式即可求得收縮斷面水深hc為

當(dāng)水深位于下部扇形斷面內(nèi)時(shí)，斷面面積Ac、收縮斷面水深hc分別用式（12）和式（15）計(jì)算。將Ac，hc代入式（21）可得迭代公式為

由上式迭代求出β后，由下式即可求得收縮斷面水深hc為

例題2:某溢流壩從壩址算起的上游總水頭為80 m，下游渠道采用標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面，已知頂拱半徑r=5 m，渠道通過(guò)的流量Q=290 m3/s，流速系數(shù)?為0.9，試求壩址處的收縮斷面水深。

解:

底部弓形斷面高度為

假定收縮斷面水深處于下部扇形斷面內(nèi)，用公式（24）計(jì)算夾角β，將有關(guān)參數(shù)代入得

因?yàn)閔1＜hc＜r，所以假定收縮斷面水深位于下部扇形斷面內(nèi)是正確的。

6 結(jié)語(yǔ)

本文綜述了馬蹄型斷面正常水深的研究成果，推導(dǎo)了標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面正常水深、弗勞德數(shù)，以及收縮斷面水深的計(jì)算方法。公式推導(dǎo)過(guò)程詳細(xì)明確，與目前已有的研究成果比較，公式計(jì)算簡(jiǎn)單、迭代方便、精度高，并通過(guò)實(shí)例給出了計(jì)算步驟，可為教學(xué)和工程設(shè)計(jì)提供參考。

［1］林繼鏞.水工建筑物（第四版）［M］.北京:中國(guó)水利水電出版社，2007:402-412.（LIN Ji-yong.Hydraulic Structure（The Fourth Edition）［M］.Beijing:China Water Power Press，2007:402-412.（in Chinese））

［2］武漢水利電力學(xué)院水力學(xué)教研室.水力計(jì)算手冊(cè)［M］.北京:水利電力出版社，1983:390-409.（Teaching and Researching Office of Hydraulics in Wuhan University of Hydraulic and Electrical Engineering.Handbook of Hydraulic Calculation［M］.Beijing:Water Resources and Electric Power Press，1983:390-409.（in Chinese））

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［8］趙延風(fēng)，王正中，蘆琴.馬蹄形斷面正常水深的直接計(jì)算公式［J］.水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2012，31（1）:173-177. （ZHAO Yan-feng，WANG Zheng-zhong，LU Qin.Direct Calculation Formulas for Normal Depth of Horseshoe Section［J］.Journal of Hydroelectric engineering，2012，31 （1）:173-177.（in Chinese））

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［11］清華大學(xué).水力學(xué)（修訂本）上冊(cè)［M］.北京:高等教育出版社，1980.（Tsinghua University.Hydraulics（Revised Edition）［M］.Beijing:Higher Education Press，1980.（in Chinese））

［12］李建中，寧利中.高速水力學(xué)［M］.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，1994:196-201.（LI Jian-zhong，NING Lizhong.High Speed Hydraulics［M］.Xi’an:Northwestern Polytechnic University Press，1994:196-201.（in Chinese ））

（編輯:劉運(yùn)飛）

Hydraulic Characteristics of StandardⅠ-Type Horseshoe Cross Section

ZHANG Zhi-chang，LI Ruo-bing
（Institute of Water Resources and Hydro-electric Engineering，Xi’an University of Technology，Xi’an710048，China）

The present study aims to research the calculation method of normal water depth，F(xiàn)roude number and contracted section’s water depth in standardⅠ-type horseshoe cross section.On the basis of the theories of uniform flow and non-uniform flow in open channel and the energy equation，the hydraulic characteristics of standardⅠ-type horseshoe cross section are analyzed.Iterative calculation formulas of the relationship between normal water depth and flow，F(xiàn)roude number under three conditions and water depth of contracted section under two conditions are put forward.The calculating process is illustrated by examples.The calculation method is simple and convenient with high precision，hence can be applied to engineering practice.

standardⅠ-type horseshoe cross section;normal water depth;Froude number;water depth of contracted section

TV133.1

A

1001-5485（2013）05-0055-05

10.3969/j.issn.1001-5485.2013.05.013

2013，30（05）:55-59

2012-02-27;

2012-03-17

張志昌（1954-），男，陜西西安人，教授級(jí)高級(jí)工程師，主要從事水工水力學(xué)方面的研究，（電話）13991942265（電子信箱）zhangzhichang1954@163.com。

李若冰（1988-），女，河南禹州人，碩士研究生，從事水工水力學(xué)方面的研究，（電話）13679175031（電子信箱）liruobing513@163. com。