平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深的直接求解

文輝，李風(fēng)玲

（惠州學(xué)院建筑與土木工程系，廣東惠州 516007）

平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深的直接求解

文輝，李風(fēng)玲

（惠州學(xué)院建筑與土木工程系，廣東惠州 516007）

平底Ⅰ型馬蹄形斷面由于其形狀及其尺寸容易控制，是水利水電工程中較常采用的斷面形式之一，但其臨界水深是超越方程，無解析解。為此，通過對平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界流方程進行數(shù)學(xué)變換，對無量綱臨界水深和無量綱參數(shù)之間的關(guān)系進行研究分析，應(yīng)用擬合原理得到了平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深的近似計算公式。該公式克服了傳統(tǒng)的試算法或查表法存在的計算繁瑣、依賴圖表、誤差較大等缺陷。在工程的常用范圍內(nèi)（即臨界水深與拱頂半徑之比:0＜h/r≤1.447 1），該公式表達形式最為簡潔，最大誤差小于0.4%，將為工程設(shè)計及水工設(shè)計手冊的編制提供參考。

平底Ⅰ型馬蹄形斷面;臨界水深;直接算法

在輸水隧洞設(shè)計及水力計算中，臨界水深是一個控制水流形態(tài)變化的關(guān)鍵要素，因此，研究臨界流非常重要。主要的斷面形式:有壓隧洞輸水以圓形斷面為主，無壓輸水以梯形、城門洞形和馬蹄形過水?dāng)嗝鏋橹?。目前國?nèi)外學(xué)者對梯形［1］、圓形［2-3］、城門洞形［4-6］和馬蹄形斷面［7-9］的水力計算問題進行了深入的研究，也得到了不少簡捷計算公式，解決了不少工程實際問題。平底Ⅰ型馬蹄形斷面作為標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面的簡化型，將底拱改為了平底。它適合于基底壓力不大的地質(zhì)情況，具有施工尺寸容易控制和受力條件好等優(yōu)點，是廣泛采用的斷面形式之一。但對于這一斷面形式的水力計算研究尚未見報道。為此，本文通過對平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深基本方程進行數(shù)學(xué)變換，引入無量綱參數(shù)，并對無量綱臨界水深和無量綱參數(shù)之間的關(guān)系進行研究分析;依據(jù)給水排水工程規(guī)范及水利工程規(guī)范等要求，考慮工程實際中的常用范圍，確定公式的應(yīng)用范圍，應(yīng)用擬合原理得到了平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深的近似計算公式。

1 平底Ⅰ型馬蹄形斷面的水力要素和臨界水深基本方程

1.1 平底Ⅰ型馬蹄形斷面形式

平底Ⅰ型馬蹄形斷面是由平底、圓弧側(cè)拱和圓弧頂拱而構(gòu)成，見圖1。

圖1 平底Ⅰ型馬蹄形斷面Fig.1Ⅰ-Type horseshoe cross-section with flat-bottom

1.2 臨界水深的基本方程

式中:Q為過水流量（m3/s）;α為流速分布不均勻系數(shù)（本文取1.0）;g為重力加速度（9.81 m/s2）;AK為相應(yīng)于臨界水深時的過水?dāng)嗝婷娣e（m2）;BK為相應(yīng)于臨界水深時的水面寬度（m）。

1.3 平底Ⅰ型馬蹄形斷面不同水深的水力要素

由于平底Ⅰ型馬蹄形斷面的幾何特點，臨界水深處于2種不同范圍時其水力要素計算公式是不同的，具體見表1。

2 平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深的計算公式

2.1 分界流量的確定

只有首先確定了分界流量，才能根據(jù)流量判別臨界水深將位于的范圍，從而選定相應(yīng)的計算公式，得出正確的結(jié)果。計算特征點水深h=Hd時，對應(yīng)的流量即為分界流量QD。

表1 水力要素計算公式Table 1Calculation equations for hydraulic elements

2.2 平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深的近似計算公式

為了方便研究，令

式中:K為參數(shù);X為無量綱臨界水深。

2.2.1 K參數(shù)的上限值KU

根據(jù)SL279—2002水工隧洞設(shè)計規(guī)范，為了保證無壓隧洞能在水位變化情況下仍能保持無壓流狀態(tài)，要求通過最大流量時洞內(nèi)水面以上的空間面積不小于隧洞橫斷面面積的15%。即為平底Ⅰ型馬蹄形斷面面積。也即

該方程為三角超越方程，試算解得?=1.913 3，KU=12.756 58。

1.3.1 對照組 采取硝苯地平(四川德峰藥業(yè)有限公司，國藥準(zhǔn)字：H21023054)治療：予以硝苯地平10 mg/次，3次/d，口服。

2.2.2 K參數(shù)的分界值KD

臨界水深對應(yīng)于特征點水深h=Hd時，KD= 2.317 56，通過進行大量試算，并采用編程逐步優(yōu)化擬合的方法，得出無量綱臨界水深的近似計算公式:

當(dāng)Q≤QD時，水深位于斷面下半部，即0＜hK≤ Hd，

當(dāng)QD＞Q時，水深位于斷面上半部，即Hd＜hK≤HU，

3 公式評價

將公式（4）和公式（5）的計算誤差列于表2。

表2 公式（4）和公式（5）誤差分析Table 2Distribution of relative errors by using formula（4）and formula（5）

公式（4）和公式（5）為形式簡單的冪函數(shù)型，最大相對誤差為0.4%，完全滿足工程設(shè)計需要。

4 計算步驟及應(yīng)用舉例

4.1 計算臨界水深步驟

①由式（2）求分界流量QD;②由式（3）求參數(shù)K;③判別應(yīng)用公式由式（4）或式（5）求得無量綱臨界水深X;④由式（3）求得臨界水深hK。

4.2 算例

先求界限流量:

由式（2）求分界流量QD=1.522 35g1/2r5/2= 47.12 m3/s。

當(dāng)Q=60 m3/s時，Q＞QD，

由式（3）得hK=X·r=2.537 m，（精確值: 2.534 m），則相對誤差為0.105%。

當(dāng)Q=35 m3/s時，Q≤QD，

由（3）式得hK=X·r=1.800 0 m，（精確值: 1.799 7 m），相對誤差為0.018%。

5 結(jié)語

（1）本文提出的近似公式具有形式簡捷、實用方便的特點，且在工程適用范圍內(nèi)公式最大相對誤差的絕對值為0.4%，滿足工程實際的需要。綜上所述，本文公式是值得推薦的。

（2）在實際工程中由于地質(zhì)地形、工程施工等邊界條件的不同，對于各種類型馬蹄形斷面隧洞，還要繼續(xù)研究適用范圍更廣、更好的新算法。

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［5］趙延風(fēng)，宋松柏，孟秦倩.普通城門洞形斷面臨界水深的近似計算方法［J］.長江科學(xué)院院報，2008，25（4）: 14-15.（ZHAO Yan-feng，SONG Song-bai，MENG Qinqian.Approximate Method Calculating Critical Water Depth in Common City-opening Shaped Cross-section［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2008，25（4）:14-15.（in Chinese））

［6］文輝，李風(fēng)玲.再論城門洞形斷面隧洞臨界水深的近似計算［J］.人民長江，2009，40（11）:78-79. （WEN Hui，LI Feng-ling.Further Discussion on the Approximate Calculation of Critical Depth of an Arched Tunnel Section［J］.Yangtze River，2009，40（11）:78-79. （in Chinese））

［7］文輝，李風(fēng)玲，李霞.標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面正常水深的近似算法［J］.人民黃河，2008，30（7）:89-90. （WEN Hui，LI Feng-ling，LI Xia.Approximate Solution on Normal Depth of Standard I Type Horseshoe Section Tunnel［J］.Yellow River，2008，30（7）:89-90.（in Chinese））

［8］王正中，陳濤，盧琴，等.馬蹄形斷面隧洞臨界水深的直接計算［J］.水力發(fā)電學(xué)報，2005，24（5）:95-98.（WANG Zheng-zhong，CHEN Tao，LU Qin，et al. The Direct Solution on Critical Depth of Horseshoe Section Tunnel［J］.Journal of Hydroelectric Engineering，2005，24（5）:95-98.（in Chinese））

［9］張寬地，呂宏興，陳俊英.馬蹄形過水?dāng)嗝媾R界水深的直接計算法［J］.長江科學(xué)院院報，2008，25（4）:15-18.（ZHANG Kuan-di，LV Hong-xing，CHEN Jun-ying. Direct Calculation of Critical Depth of Horseshoe Section Tunnel［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2008，25（4）:15-18.（in Chinese））

（編輯:劉運飛）

Direct Solution to the Critical Depth of I-Type Horseshoe Cross-Section with Flat Bottom

WEN Hui，LI Feng-ling
（Department of Architecture and Civil Engineering，Huizhou University，Huizhou516007，China）

I-type horseshoe cross-section with flat-bottom is simplified from standard I-type horseshoe cross-section. It is composed of a flat-bottom and three arc sections.Since the shape and size are easy to control，it is commonly applied in hydroelectric engineering.But the critical water depth computation formula is a transcendental equation and has no analytic solution.Mathematics transformation for the critical flow equation was performed，and the relationship between the dimensionless critical water depth and the relative dimensionless parameters was analyzed. Furthermore，an approximate formula for the calculation of critical water depth for I-type horseshoe cross-section with flat-bottom tunnel was obtained according to the fitting principle.This method overcomes the defects of other iterative trial calculating methods，such as calculation step，dependence on special charts and curves，and serious error.The formula is simple and the maximum error is less than 0.4%under the general engineering design condition（0＜h/r≤1.447 1，h/r is the ratio of critical depth to the radius of arch roof）.It can be used for engineering design practice and for the compilation of hydraulic structure design handbooks.

I-type horseshoe cross-section with flat-bottom;critical water depth;direct calculation formula

TV131.4

A

1001-5485（2013）04-0040-04

10.3969/j.issn.1001-5485.2013.04.009 2013，30（04）:40-43

2012-01-31;

2012-04-05

惠州學(xué)院引進教授、博士科研啟動基金項目（C510.0211）

文輝（1963-），男，四川射洪人，教授，主要從事水力學(xué)教學(xué)和研究，（電話）13928325682（電子信箱）wenhui-hzu@163.com。