簡(jiǎn)明推導(dǎo)“三角拉格朗日點(diǎn)”的新方法

胡先進(jìn) 李 力

（1.重慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)，重慶 401320；2.重慶清華中學(xué)，重慶 400054）

任何兩個(gè)大質(zhì)量天體系統(tǒng)，因萬(wàn)有引力作用而相互繞行，在它們的軌道平面上，存在著一些特殊的點(diǎn).當(dāng)在這些點(diǎn)引入小質(zhì)量天體時(shí)，小質(zhì)量天體受到兩個(gè)大質(zhì)量天體引力的合力，恰好等于它與兩個(gè)大質(zhì)量天體一起轉(zhuǎn)動(dòng)需要的向心力.這意味著，小質(zhì)量天體在這些點(diǎn)上，能保持與兩個(gè)大質(zhì)量天體的相對(duì)位置始終不變.

1767年，歐拉求出了這樣的3個(gè)點(diǎn)，記為L(zhǎng)1，L2，L3，它們都在兩大質(zhì)量天體的連線(xiàn)上.1772年，拉格拉日又找到了另外的2個(gè)點(diǎn)，記為L(zhǎng)4，L5，它們?cè)趦纱筚|(zhì)量天體連線(xiàn)之外，這2點(diǎn)關(guān)于兩大質(zhì)量天體的連線(xiàn)是對(duì)稱(chēng)的，它們中的任一點(diǎn)與兩大質(zhì)量天體正好構(gòu)成一個(gè)等邊三角形（如圖1）.后來(lái)，人們習(xí)慣上把這5個(gè)點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為“拉格朗日點(diǎn)”，其中拉格拉日找到的那兩點(diǎn)又叫“三角拉格朗日點(diǎn)”.

圖1

必須明確，位于拉格朗日點(diǎn)的小質(zhì)量天體遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于兩個(gè)大質(zhì)量天體，所以不考慮小質(zhì)量天體的反作用對(duì)兩個(gè)大質(zhì)量天體運(yùn)動(dòng)的影響.同時(shí)，除兩個(gè)大質(zhì)量天體外，也不考慮其他天體對(duì)這個(gè)小質(zhì)量天體的引力作用，即位于拉格朗日點(diǎn)的小質(zhì)量天體的運(yùn)動(dòng)完全由兩個(gè)大質(zhì)量天體的引力決定.

上述求解拉格朗日點(diǎn)的問(wèn)題，是一個(gè)典型的“平面圓型限制性三體問(wèn)題”.眾所周知，兩個(gè)天體在相互引力作用下如何運(yùn)動(dòng)的所謂“二體問(wèn)題”，早已獲得精確而完美的解答.而“三體問(wèn)題”，則是近300年來(lái)數(shù)學(xué)物理中一直未能徹底解決的難題.19世紀(jì)末，法國(guó)大數(shù)學(xué)家龐加萊采用美國(guó)數(shù)學(xué)家希爾提出的簡(jiǎn)化模型：“假定有兩個(gè)天體，它們?cè)谌f(wàn)有引力作用下，圍繞共同質(zhì)心，沿著橢圓形的軌道，作嚴(yán)格的周期性運(yùn)動(dòng)；另有一顆宇宙塵埃，在這兩個(gè)天體的引力場(chǎng)中游蕩.兩天體可完全不必理會(huì)這顆粒產(chǎn)生的引力對(duì)它們之間運(yùn)動(dòng)的影響，因?yàn)轭w粒的質(zhì)量相對(duì)它們自己來(lái)說(shuō)實(shí)在太小了.可是顆粒的運(yùn)動(dòng)會(huì)是怎樣的呢？這簡(jiǎn)化模型稱(chēng)為‘限制性三體問(wèn)題’.”［1］即使是“限制性三體問(wèn)題”，也異常復(fù)雜，龐加萊借助他天才的創(chuàng)造——相圖、拓?fù)浞椒ā⑽⒎址匠潭ㄐ岳碚?，發(fā)現(xiàn)顆粒的運(yùn)動(dòng)是沒(méi)完沒(méi)了的自我纏結(jié)，而且高度不穩(wěn)定.

“平面圓型限制性三體問(wèn)題”是討論得較多的比較簡(jiǎn)單的類(lèi)型，即將“限制性三體問(wèn)題”中兩個(gè)大質(zhì)量天體圍繞質(zhì)心O的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為圓運(yùn)動(dòng).所以，拉格朗日點(diǎn)上的小質(zhì)量天體，在兩個(gè)大質(zhì)量天體引力的作用下，繞質(zhì)心O以同樣的角速度作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這樣才能與兩個(gè)大質(zhì)量天體保持相對(duì)位置不變.

文獻(xiàn)［2］對(duì)“三角拉格朗日點(diǎn)”進(jìn)行了理論驗(yàn)算，證明了L4、L5中任一個(gè)與兩個(gè)大質(zhì)量天體正好構(gòu)成一個(gè)等邊三角形.筆者讀后感到數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)于繁瑣，本文借助向量代數(shù)，將給出一個(gè)導(dǎo)出“三角拉格朗日點(diǎn)”的簡(jiǎn)捷方法.

圖2

如圖2，大質(zhì)量天體M和m之間距離為a，分別位于O1，O2，質(zhì)心在O 點(diǎn).設(shè)L是拉格朗日點(diǎn)，則在此處的小質(zhì)量天體m0，必在M和m引力作用下，繞質(zhì)心O以角速度ω作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其中ω也是M 和m繞質(zhì)心O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度，對(duì)M、m用萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律不難得到［2］

又容易知道質(zhì)心O滿(mǎn)足M·O1O＝m·O O2，將此代入（4）式得O1L＝O2L，再將此式代回（3）式，立即得到O1L＝O2L＝a，這說(shuō)明M、m、m0正好構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，這樣我們就導(dǎo)出了拉格朗日點(diǎn)L4、L5.并且由此可以看出，在兩大質(zhì)量天體連線(xiàn)之外，顯然只有這兩個(gè)拉格朗日點(diǎn).

1 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程（力學(xué)，第2版）.北京：高等教育出版社，2004.276

2 林輝慶.拉格朗日點(diǎn)L4的理論驗(yàn)算.物理教師，2012（4）：42～43