股票價(jià)格對(duì)數(shù)正態(tài)分布的實(shí)證分析

龍 松，向麗蘋

(1.華中科技大學(xué)武昌分校 基礎(chǔ)科學(xué)部，湖北 武漢430064;2.武漢華大新型電機(jī)科技股份有限公司，湖北 武漢430223)

股票的價(jià)格，一般來講，取決于公司的財(cái)務(wù)因素、經(jīng)濟(jì)因素和股票市場(chǎng)的狀況，對(duì)股票價(jià)格的描述，目前較為流行的稱之為對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)過程。隨著市場(chǎng)的發(fā)展，該過程還能否被接收，值得商討。本文基于此點(diǎn)，隨機(jī)從市場(chǎng)抽取了一支股票進(jìn)行實(shí)證研究。

1 股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)分析［1］

假設(shè)從時(shí)刻t到時(shí)刻T，能觀察到的股票價(jià)格如下:

則每時(shí)間間隔Δt的收益率可表示成其中Ri表示第i個(gè)時(shí)間間隔Δt內(nèi)計(jì)息的利率。

若計(jì)算從時(shí)刻t到時(shí)刻T的收益率R，則有

若以r表示從時(shí)刻t到時(shí)刻T連續(xù)計(jì)息的收益率，則

其中ri表示第i段間隔Δt內(nèi)連續(xù)計(jì)息的連續(xù)復(fù)利率。

根據(jù)以上分析，可假設(shè)股票的價(jià)格的運(yùn)動(dòng)方式為:

1)所有的ri都是獨(dú)立同分布的;2)股票的價(jià)格變化是連續(xù)的。

由以上兩條件，當(dāng)時(shí)間間隔Δt很小時(shí)，即n取很大數(shù)值時(shí)，由中心極限定理可知，隨機(jī)變量r(股票的連續(xù)復(fù)利收益率)服從正態(tài)分布。

設(shè)E(ri)=μΔt，D(ri)=σ2Δt，其中μ，σ2分別表示單位時(shí)間段連續(xù)復(fù)利率的期望和方差。則

以上分析是建立在所做假設(shè)的2 個(gè)條件之上，其中第2 個(gè)條件:股票價(jià)格變化是連續(xù)的，只要我們觀察的間隔Δt足夠小，則價(jià)格的變化可以近似看成是連續(xù)變化的。而對(duì)于第1 個(gè)條件:所有的ri都是獨(dú)立同分布的，則需要做一些檢驗(yàn)。

不過，有效市場(chǎng)理論告訴我們［2］:股票的現(xiàn)價(jià)包含了當(dāng)前所知道的有關(guān)股票的一切信息，當(dāng)然也包含了股票的歷史價(jià)格，股票將來的價(jià)格則只與今天的價(jià)格有關(guān)，與過去的價(jià)格無關(guān)，正因?yàn)槿绱?，?duì)任何不同的，股票的價(jià)格的變化是相互獨(dú)立的。這樣，對(duì)第1 個(gè)條件，我們主要檢驗(yàn)ri都是同分布的，以下將是具體的實(shí)證研究。

2 實(shí)證研究

我們以編號(hào)為600000 的浦發(fā)銀行股票為例，首先選取了2012 年1 月、2 月、3 月、4 月的工作日開盤價(jià)格的數(shù)據(jù)，目的是來檢驗(yàn)4 個(gè)樣本是否來自相同的分布。然后我們又選取了5 月9 號(hào)9:30 到10:09每分鐘的成交價(jià)，分成4 組，同樣來檢驗(yàn)4 組是否來自相同的分布。我們采用多個(gè)獨(dú)立樣本的Kruskal－Wallis H 檢驗(yàn)方法，該方法主要是利用多個(gè)樣本的秩和統(tǒng)計(jì)量推斷它們所代表的總體分布是否相同。具體步驟如下［3］:

1)提出零假設(shè)和備擇假設(shè)。

H0:各樣本代表的總體分布相同;H1:各樣本代表的總體分布不完全相同;

2)求各樣本的秩和統(tǒng)計(jì)量。

將各個(gè)樣本的所有觀測(cè)值混合后，按照由小到大順序排成從1～n的秩次。不同樣本的相同觀測(cè)值(結(jié))，取其平均秩次;一個(gè)樣本內(nèi)的相同觀測(cè)值，不求平均秩次。按照樣本把每個(gè)觀測(cè)值的秩次一一相加，求出各樣本的秩和統(tǒng)計(jì)量。

3)求H統(tǒng)計(jì)量。

4)統(tǒng)計(jì)推斷

當(dāng)樣本數(shù)k ＞3，ni ＞5 時(shí)，H近似呈自由度為k －1 的χ2分布，可對(duì)H進(jìn)行χ2檢驗(yàn)。若P ＜P0.05時(shí)否定H0，即認(rèn)為在0.05 的顯著性水平下，各樣本代表的總體分布不完全相同。

我們?cè)谧C券之星網(wǎng)站上收集到編號(hào)為600000 的浦發(fā)銀行股票的數(shù)據(jù)如表1 所示。

將表1 數(shù)據(jù)應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)軟件SPSS 之中，得到如表2、表3 所示的結(jié)果。

表1 浦發(fā)銀行2012 年1 月、2 月、3 月、4 月的各工作日開盤價(jià)格的數(shù)據(jù)

表2 各樣本秩統(tǒng)計(jì)

表3 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

由表3 可知，漸進(jìn)顯著性水平P=0.2420.05，從而接收原假設(shè)，即認(rèn)為4 樣本來自相同的總體分布。

與此同時(shí)，我們也收集到浦發(fā)銀行的2012 年5 月9 日的9:30 到10:09 成交價(jià)格的數(shù)據(jù)，見表4。

表4 浦發(fā)銀行的2012 年5 月9 日的9:30 到10:09 成交價(jià)格的數(shù)據(jù)

其中，Pij分別表示9:30－9:39;9:40－9:49;9:50－9:59;10:00－10:09 段內(nèi)每分鐘的成交價(jià)，表示第i個(gè)時(shí)間段第j個(gè)間隔分鐘內(nèi)的連續(xù)復(fù)利率。

將表4 數(shù)據(jù)應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)軟件SPSS 之中，得到如表5、表6 所示的結(jié)果。

表5 各樣本秩統(tǒng)計(jì)

表6 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

由表6 可知，漸進(jìn)顯著性水平P=0.9960.05，從而接收原假設(shè)，即認(rèn)為4 樣本來自相同的總體分布。

從以上實(shí)證分析中可知，不論時(shí)間段為較長(zhǎng)的月份，還是時(shí)間段較短的10 分鐘，其間隔內(nèi)的連續(xù)復(fù)利率ri都服從相同的總體分布，這樣，我們所假設(shè)的股票價(jià)格的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)過程也就得到了實(shí)踐上的支持，從而也就能更好的為期權(quán)定價(jià)了。

［1］ 宋逢明.金融工程原理－無套利均衡分析［M］.北京:清華大學(xué)出版社，1999.

［2］ 范龍振，胡畏.金融工程學(xué)［M］. 上海:上海人民出版社，2003.

［3］ 杜強(qiáng)，賈麗艷.SPSS 統(tǒng)計(jì)分析從入門到精通［M］.北京:人民郵電出版社，2009.