關(guān)于四個收斂性的一個例子

王 龍

(上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海200234)

劉寶碇教授在2007 年提出了基于規(guī)范性、對偶性、次可加性、乘積測度公理的不確定理論［1］，在不確定理論的公理化體系下又相繼提出了不確定規(guī)劃、不確定風(fēng)險分析和不確定可靠性分析等，它成為了處理含有不確定變量模型的強(qiáng)有力工具.如今不確定理論在期權(quán)定價［2－4］，不確定邏輯輯［5－8］，結(jié)構(gòu)可靠性分析［9－11］，不確定推理［12－13］，不確定風(fēng)險值及尾部風(fēng)險值［14］等領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用.并且不確定理論已經(jīng)在相關(guān)領(lǐng)域中取得了很多令人矚目的成就，得到廣大學(xué)者的認(rèn)可和學(xué)習(xí).

劉寶碇教授在不確定理論一書中定義了幾乎處處收斂、平均收斂、依測度收斂和依分布收斂的概念［15］，并證得平均收斂可以推出依分布收斂和依測度收斂.本文將通過一個算例來研究在不平均收斂的情況下，考察依測度收斂、依分布收斂和幾乎處處收斂的斂散性問題，并針對這個問題給出一個不平均收斂的算例，來討論在這個算例下的斂散性.

1 不確定理論基礎(chǔ)知識

定義1.1［15］設(shè)Γ 是一個非空集合L是Γ 上的一個σ－代數(shù)，L中的每一個元素Λ 稱為一個事件.若L上的集函數(shù)M滿足以下公理

公理1 (規(guī)范性)對全集Γ 有M{Γ}=1;

公理2 (對偶性)對任意的事件Λ ∈L，有M{Λ}+ M{Λc}=1;

公理3 (次可加性)對任意的事件列{Λi}，有

公理4 (乘積測度)設(shè)Γk是非空集合，Mk分別為其上的不確定測度，k =1，2，…，n.則乘積測度M是乘積σ－代數(shù)L1× L2×…× Ln上的不確定測度，且滿足

則稱集函數(shù)M 為不確定測度，并稱三元組(Γ，L，M)為不確定空間.

定義1.2［15］不確定變量ξ 是從不確定空間(Γ，L，M)到實數(shù)集的一個可測函數(shù)，即對于實數(shù)上的任意Borel集，{γ|ξ(γ)∈B}∈Γ 是一個事件.

定義1.3［15］設(shè)ξ 是不確定變量，如果M{ξ＜0}=0，則稱ξ 為非負(fù)的.

定義1.4［15］不確定變量ξ 的分布函數(shù)Φ 定義為Φ(x)= M{γ|ξ(γ)≤x}.

定義1.5［15］如果對每一個α ∈(0，1)，它的逆函數(shù)Φ－1(α)唯一存在，那么不確定分布Φ 稱為正則的.

定義1.6［15］如果ξ 是一個不確定變量且正則不確定分布為Φ，那么逆函數(shù)Φ－1(α)稱為不確定變量ξ 的逆不確定分布.

定義1.7［15］設(shè)ξ 是一個不確定變量，則ξ 的期望值被定義為

其中至少有一個積分是有限的.

定義1.8［15］如果不確定變量ξ 有之字形不確定分布

則稱不確定變量ξ 為之字形，記作ξ～Z(a，b，c)且a ＜b ＜c.

定義1.9［15］設(shè)ξ，ξ1，ξ2…是不確定變量，如果對于每一個ε＞0，都有則稱序列{ξi}依測度收斂于ξ.

定義1.10［15］假設(shè)不確定變量ξ，ξ1，ξ2…的不確定分布分別為Φ，Φ1，Φ2…，如果對任意的x∈R，，則稱序列{ξi}依分布收斂于ξ.

定義1.11［15］假設(shè)不確定變量ξ，ξ1，ξ2…且有有限的期望值，如果則稱序列{ξi}平均收斂于ξ.

定義1.12［15］假設(shè)ξ，ξ1，ξ2…是定義在不確定空間(Γ，L，M)，如果存在事件Λ 且M{Λ}=1，使得則稱序列{ξi}幾乎處處收斂于ξ.

定理1.1［15］設(shè)ξ 是一個不確定變量且正則不確定分布為Φ，如果期望值存在，那么E［ξ］=

定理1.2［15］如果不確定變量ξ 是之字形的，那么ξ 的逆分布為

2 算例

例 設(shè)ξi，ξ 是定義在不確定空間(Γ，L，M)上的不確定變量，且ξ ～Z(a，b，c)，ξi～Z(ai，bi，ci)，i=1，2，…，當(dāng)i→∞時，ai→a，bi→b，ci→c，其中c＞b＞a.試討論不確定變量ξi，ξ 的如下關(guān)系:

(1)ξi是否依分布收斂于ξ?

(2)ξi是否平均收斂于ξ?

(3)ξi是否依測度收斂于ξ?

(4)ξi是否幾乎處處收斂于ξ?

證 因為ξ ～Z(a，b，c)，所以ξ 的不確定分布為

設(shè)Ψ1，Ψ2分別是不確定變量(ξi －ξ)和(ξ－ξi)的不確定分布，相應(yīng)的逆不確定分布分別為Ψ1－1(α)和Ψ2－1(α).由不確定理論的運(yùn)算法則可知且

從而ξi依分布收斂于ξ.

(2)由期望值定義，得

從而當(dāng)i→+∞時，E［|ξi－ξ|≥ε］→0，所以ξi依測度收斂于ξ.

(4)在不確定空間(Γ，L，M)中，由ξ 和ξi的不確定分布，易得其密度函數(shù)分別為

取Γ=［a，c］，令ξ(γ)=γ，當(dāng)x∈［a，b］時，則M{ξ(γ)≤x}=(x － a)/2(b － a).當(dāng)x∈［b，c］時，則M{ξ(γ)≤x}=(x + c －2b)/2(c － b).

同理取Γ=［ai，bi］，令ξi(γ)=γ.

當(dāng)x∈［ai，bi］時，則M{ξi(γ)≤x}=(x － ai)/2(bi － ai).當(dāng)x∈［bi，ci］時，則M{ξi(γ)≤x}=(x+ ci －2bi)/2(ci － bi).

又因為i→+∞時，［ai，bi］→［a，b］，［bi，ci］→［b，c］且［ai，ci］→［a，c］，

本文列舉了一個算例，并通過本算例給出了證明不確定理論中四個收斂的具體過程，也即證明了對于之字形的不確定變量不是平均收斂的，而是依分布收斂、依測度收斂和幾乎處處收斂的.同樣，對于線性的或正態(tài)的不確定變量仍然可用同樣的方法推理證明.參考文獻(xiàn):

［1］Liu B. Uncertainty Theory［ M］. 2nd ed. Berlin:Springer－Verlag，2007.

［2］ Chen X. American Option Pricing Formula for Uncertain Financial Market［J］. International Journal of Operations Research，2011，8(2):32 －37.

［3］ Peng J，Yao K. A New Option Pricing Model for Stocks in Uncertainty Markets［J］. International Journal of Operations Research，2011，8(2):18 －26.

［4］ Xu J，Peng J. Barrier Options Pricing in Uncertain Financial Market［C］// Proceedings of the Eighth International Conference on Information and Management Sciences. Kunming，China，July 20 －28，2009:821 －826.

［5］ Gao Y.Analysis of k－out－of－n System with Uncertain Lifetimes［C］//Proceedings of the Eighth International Conference on Information and Management Sciences，Kunming，China，July 20 －28，2009:794 －797.

［6］ Wang Z.Structural Reliability Analysis Using Uncertainty Theory［C］//Proceedings of the First International Conference on Uncertainty Theory，Urumchi，China，August 11 －19，2010:166 －170.

［7］ Wang Z. The Application of Uncertainty Theory in Structural Reliability［D］. Tsinghua University，2010.

［8］ Chen X，Ralescu A. A Note on Truth Value in Uncertain Logic［C］//Proceedings of the Eighth International Conference on Information and Management Sciences，Kunming，China，July 20 －28，2009:739 －741.

［9］ Liu B. Uncertain Entailment and Modus Ponens in The Framework of Uncertain Logic［J］. Journal of Uncertain Systems，2009，3(4):243 －251.

［10］ Liu B. Uncertain Logic for Modeling Human Language［J］. Journal of Uncertain Systems，2011，5(1):3 －20.

［11］ Liu B. Why is There a Need for Uncertainty Theory?［J］. Journal of Uncertain Systems，2012，6(1):3 －10.

［12］ Gao X，Gao Y ，Ralescu D.On Liu’s Inference Rule for Uncertain Systems，International Journal of Uncertainty［J］.Fuzziness and Knowledge－Based Systems，2010，18(1):1 －11.

［13］ Liu B.Uncertain Set Theory and Uncertain Inference Rule with Application to Uncertain Control［J］.Journal of Uncertain Systems，2010，4(2):83 －98.

［14］ Peng J. Value at Risk and Tail Value at Risk in Uncertain Environment［C］//Proceedings of the Eighth International Conference on Information and Management Sciences. Kuming，China，July 20 －28，2009:787 －793.

［15］ Liu B. Uncertain Theory［M］. 4th ed. Berlin:Springer－Verlag ，2010.